giupppppkkkl

Câu 1. a) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN // AB (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng) Mà AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên MN // (ABCD). b) Vì I là tâm của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm của AC và BD. Mặt khác, M là trung điểm của SA nên E là giao điểm của MC và SI cũng là trung điểm của SI (tính chất đường trung bình trong tam giác). Do đó, E thuộc cả hai mặt phẳng (SIC) và (SBD), suy ra E là giao điểm của (SIC) và (SBD). c) Ta đã chứng minh MN // AB. Mà AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) nên MN // CD. Mặt khác, M là trung điểm của SA và N là trung điểm của SB nên MN = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{1}{2}$ CD. Vậy MNCD là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành). d) Như đã chứng minh ở phần b), E là trung điểm của SI. Đáp án đúng là: a) MN // (ABCD) b) E là giao điểm của (SIC) và (SBD) c) MNCD là hình bình hành d) E là trung điểm của SI Câu 2. Để giải quyết các yêu cầu trong câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi. a) $\lim_{x \to -1} f(x) = -5$ Ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to -1$ từ cả hai phía: \[ f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 1} \quad \text{khi} \quad x \neq -1 \] Phân tích tử số: \[ 2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1) \] Do đó: \[ f(x) = \frac{(2x - 1)(x + 1)}{x + 1} = 2x - 1 \quad \text{khi} \quad x \neq -1 \] Giới hạn khi $x \to -1$: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (2x - 1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 \] Như vậy, $\lim_{x \to -1} f(x) = -3$, không phải là $-5$. Vậy phần này sai. b) $\lim_{x \to 0} f(x)$ là một số thực dương Ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to 0$: \[ f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 1} \quad \text{khi} \quad x \neq -1 \] Giới hạn khi $x \to 0$: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + x - 1}{x + 1} = \frac{2(0)^2 + 0 - 1}{0 + 1} = \frac{-1}{1} = -1 \] Như vậy, $\lim_{x \to 0} f(x) = -1$, không phải là một số thực dương. Vậy phần này sai. c) $f(-1) = 2a - 1$ Theo định nghĩa của hàm số: \[ f(x) = 2a + x - 2 \quad \text{khi} \quad x = -1 \] Do đó: \[ f(-1) = 2a + (-1) - 2 = 2a - 3 \] Như vậy, $f(-1) = 2a - 3$, không phải là $2a - 1$. Vậy phần này sai. d) Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = -1$ thì $a = 0$ Để hàm số liên tục tại $x = -1$, ta cần: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) \] Từ phần a), ta đã tính được: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = -3 \] Từ phần c), ta đã tính được: \[ f(-1) = 2a - 3 \] Để hàm số liên tục tại $x = -1$, ta cần: \[ -3 = 2a - 3 \] Giải phương trình: \[ 2a - 3 = -3 \] \[ 2a = 0 \] \[ a = 0 \] Như vậy, để hàm số liên tục tại $x = -1$, thì $a = 0$. Vậy phần này đúng. Kết luận - Phần a) sai. - Phần b) sai. - Phần c) sai. - Phần d) đúng. Đáp án: d) Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = -1$ thì $a = 0$. Câu 1. Để phương trình $\sin 2x = 2m + 1$ có nghiệm, ta cần đảm bảo rằng giá trị của $2m + 1$ nằm trong khoảng từ -1 đến 1, vì giá trị của sin luôn nằm trong khoảng này. Do đó, ta có: \[ -1 \leq 2m + 1 \leq 1 \] Ta sẽ giải bất phương trình này từng phần: 1. Giải bất phương trình $-1 \leq 2m + 1$: \[ -1 \leq 2m + 1 \\ -1 - 1 \leq 2m \\ -2 \leq 2m \\ -1 \leq m \] 2. Giải bất phương trình $2m + 1 \leq 1$: \[ 2m + 1 \leq 1 \\ 2m \leq 1 - 1 \\ 2m \leq 0 \\ m \leq 0 \] Kết hợp hai kết quả trên, ta có: \[ -1 \leq m \leq 0 \] Giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện trên là $m = -1$ và $m = 0$. Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\sin 2x = 2m + 1$ có nghiệm. Câu 2. Để tính tổng tiền lương của bác V sau 25 năm, ta sẽ áp dụng công thức tính tổng của dãy số hình học. Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên và tỉ số của dãy số. - Số hạng đầu tiên \( a_1 \) là 48 triệu đồng. - Tỉ số \( q \) là 1,05. Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng của dãy số hình học. Công thức tổng của dãy số hình học là: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Trong đó: - \( S_n \) là tổng của n số hạng đầu tiên. - \( a_1 \) là số hạng đầu tiên. - \( q \) là tỉ số. - \( n \) là số lượng số hạng. Áp dụng vào bài toán: \[ S_{25} = 48 \cdot \frac{1,05^{25} - 1}{1,05 - 1} \] Bước 3: Tính toán. - Tính \( 1,05^{25} \): \[ 1,05^{25} \approx 3,3864 \] - Thay vào công thức: \[ S_{25} = 48 \cdot \frac{3,3864 - 1}{0,05} \] \[ S_{25} = 48 \cdot \frac{2,3864}{0,05} \] \[ S_{25} = 48 \cdot 47,728 \] \[ S_{25} \approx 2290,944 \] Bước 4: Làm tròn kết quả đến triệu đồng. \[ S_{25} \approx 2291 \text{ triệu đồng} \] Vậy tổng tiền lương của bác V sau 25 năm là khoảng 2291 triệu đồng. Câu 3. Để tính điểm trung bình của học sinh lớp 11E, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định trung điểm của mỗi nhóm điểm kiểm tra. 2. Nhân số lượng học sinh trong mỗi nhóm với trung điểm tương ứng. 3. Tính tổng số điểm của tất cả học sinh. 4. Chia tổng số điểm cho tổng số học sinh để tìm điểm trung bình. Bước 1: Xác định trung điểm của mỗi nhóm điểm kiểm tra - Nhóm "$[0,5;4,5)$": Trung điểm là $\frac{0,5 + 4,5}{2} = 2,5$ - Nhóm "$[4,5;7,5)$": Trung điểm là $\frac{4,5 + 7,5}{2} = 6,0$ - Nhóm "$[7,5;10)$": Trung điểm là $\frac{7,5 + 10}{2} = 8,75$ Bước 2: Nhân số lượng học sinh trong mỗi nhóm với trung điểm tương ứng - Nhóm "$[0,5;4,5)$": $12 \times 2,5 = 30$ - Nhóm "$[4,5;7,5)$": $22 \times 6,0 = 132$ - Nhóm "$[7,5;10)$": $10 \times 8,75 = 87,5$ Bước 3: Tính tổng số điểm của tất cả học sinh Tổng số điểm = $30 + 132 + 87,5 = 249,5$ Bước 4: Chia tổng số điểm cho tổng số học sinh để tìm điểm trung bình Tổng số học sinh = $12 + 22 + 10 = 44$ Điểm trung bình = $\frac{249,5}{44} \approx 5,67$ Vậy điểm trung bình của học sinh lớp 11E là 5,67 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 4. Để tìm hàm số \( f(x) \) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm số chi phí trung bình \( f(x) \) Chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là tổng chi phí chia cho số lượng sản phẩm đã sản xuất. Do đó, ta có: \[ f(x) = \frac{C(x)}{x} \] Thay \( C(x) = 100x(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x) \) vào biểu thức trên: \[ f(x) = \frac{100x(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x)}{x} \] \[ f(x) = 100(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x) \] 2. Tính giới hạn \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) Ta cần tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 100(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x) \] Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp: \[ \lim_{x \to +\infty} 100(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x) = \lim_{x \to +\infty} 100 \cdot \frac{(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x)(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} + 3x)}{\sqrt{9x^2 + 18x + 12} + 3x} \] Sử dụng hằng đẳng thức \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \): \[ = \lim_{x \to +\infty} 100 \cdot \frac{(9x^2 + 18x + 12) - (3x)^2}{\sqrt{9x^2 + 18x + 12} + 3x} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} 100 \cdot \frac{9x^2 + 18x + 12 - 9x^2}{\sqrt{9x^2 + 18x + 12} + 3x} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} 100 \cdot \frac{18x + 12}{\sqrt{9x^2 + 18x + 12} + 3x} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ = \lim_{x \to +\infty} 100 \cdot \frac{18 + \frac{12}{x}}{\sqrt{9 + \frac{18}{x} + \frac{12}{x^2}} + 3} \] Khi \( x \to +\infty \), các phân số \( \frac{12}{x} \), \( \frac{18}{x} \), và \( \frac{12}{x^2} \) đều tiến đến 0: \[ = 100 \cdot \frac{18 + 0}{\sqrt{9 + 0 + 0} + 3} \] \[ = 100 \cdot \frac{18}{\sqrt{9} + 3} \] \[ = 100 \cdot \frac{18}{3 + 3} \] \[ = 100 \cdot \frac{18}{6} \] \[ = 100 \cdot 3 \] \[ = 300 \] Vậy, giới hạn của hàm số chi phí trung bình khi số lượng sản phẩm tiến đến vô cùng là: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 300 \] Đáp số: \( f(x) = 100(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x) \) và \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 300 \) Câu 1. a. $\lim_{n \to \infty} \frac{3 - n - n^2}{2n^2 + n + 1}$ Chia cả tử và mẫu cho $n^2$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2} - \frac{n}{n^2} - \frac{n^2}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} - 1}{2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \] Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{3}{n^2}$, $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ đều tiến đến 0: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{0 - 0 - 1}{2 + 0 + 0} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \] Vậy $\lim_{n \to \infty} \frac{3 - n - n^2}{2n^2 + n + 1} = -\frac{1}{2}$. b. $\lim_{x \to -1} (2025 - 3x^3 - 2x^{2024})$ Thay $x = -1$ vào biểu thức: \[ 2025 - 3(-1)^3 - 2(-1)^{2024} = 2025 - 3(-1) - 2(1) = 2025 + 3 - 2 = 2026 \] Vậy $\lim_{x \to -1} (2025 - 3x^3 - 2x^{2024}) = 2026$. c. $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2x + 3} - 3}{3x - 9}$ Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{2x + 3} + 3$ để loại bỏ căn thức ở tử số: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{2x + 3} - 3)(\sqrt{2x + 3} + 3)}{(3x - 9)(\sqrt{2x + 3} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{(2x + 3) - 9}{(3x - 9)(\sqrt{2x + 3} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{2x - 6}{3(x - 3)(\sqrt{2x + 3} + 3)} \] Rút gọn biểu thức: \[ \lim_{x \to 3} \frac{2(x - 3)}{3(x - 3)(\sqrt{2x + 3} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{2}{3(\sqrt{2x + 3} + 3)} \] Thay $x = 3$ vào biểu thức: \[ \frac{2}{3(\sqrt{2(3) + 3} + 3)} = \frac{2}{3(\sqrt{9} + 3)} = \frac{2}{3(3 + 3)} = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \] Vậy $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2x + 3} - 3}{3x - 9} = \frac{1}{9}$. Câu 2. a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) Trong hình chóp S.ABCD, ta có: - Mặt phẳng (SAC) bao gồm các điểm S, A, C. - Mặt phẳng (SBD) bao gồm các điểm S, B, D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng đi qua đỉnh S và giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Vì O là giao điểm của AC và BD, nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO. b. Chứng minh: EF // (SBD) Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm E và F: - E là trung điểm của SA, tức là E nằm trên đoạn thẳng SA và chia SA thành hai phần bằng nhau. - F là trung điểm của AO, tức là F nằm trên đoạn thẳng AO và chia AO thành hai phần bằng nhau. Ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng EF song song với mặt phẳng (SBD). Xét tam giác SAO: - E là trung điểm của SA. - F là trung điểm của AO. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của một tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Do đó, EF song song với SO. Vì SO nằm trong mặt phẳng (SBD), nên EF cũng song song với mặt phẳng (SBD). Vậy ta đã chứng minh được EF // (SBD).