Toán 11( câu 5-6)

Câu 5: Để tính $\lim_{t\rightarrow10}\frac{g(t)-g(10)}{t-10}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số $g(t)$ và giá trị $g(10)$ Hàm số đã cho là: \[ g(t) = 45t^2 - t^3 \] Tính $g(10)$: \[ g(10) = 45 \cdot 10^2 - 10^3 = 45 \cdot 100 - 1000 = 4500 - 1000 = 3500 \] Bước 2: Thay vào biểu thức $\frac{g(t) - g(10)}{t - 10}$ Biểu thức cần tính giới hạn là: \[ \frac{g(t) - g(10)}{t - 10} = \frac{(45t^2 - t^3) - 3500}{t - 10} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức Ta có: \[ \frac{45t^2 - t^3 - 3500}{t - 10} \] Nhận thấy rằng $g(t) - g(10)$ có thể được viết dưới dạng: \[ 45t^2 - t^3 - 3500 = -(t^3 - 45t^2 + 3500) \] Phân tích đa thức $t^3 - 45t^2 + 3500$ để tìm nghiệm gần $t = 10$. Ta nhận thấy rằng $t = 10$ là nghiệm của đa thức này vì: \[ 10^3 - 45 \cdot 10^2 + 3500 = 1000 - 4500 + 3500 = 0 \] Do đó, ta có thể viết: \[ t^3 - 45t^2 + 3500 = (t - 10)(t^2 - 35t - 350) \] Vậy: \[ \frac{-(t^3 - 45t^2 + 3500)}{t - 10} = \frac{-(t - 10)(t^2 - 35t - 350)}{t - 10} = -(t^2 - 35t - 350) \] Bước 4: Tính giới hạn Giới hạn khi $t \to 10$ của biểu thức trên là: \[ \lim_{t \to 10} -(t^2 - 35t - 350) = -(10^2 - 35 \cdot 10 - 350) = -(100 - 350 - 350) = -(100 - 700) = 600 \] Vậy: \[ \lim_{t \to 10} \frac{g(t) - g(10)}{t - 10} = 600 \] Đáp số: 600 Câu 6: Để tìm giá trị của \( k \), ta cần đảm bảo rằng hàm số \( T(t) \) là liên tục tại điểm \( t = 70 \). Điều này có nghĩa là giá trị của hàm số khi \( t \) tiến đến 70 từ bên trái phải bằng giá trị của hàm số khi \( t \) tiến đến 70 từ bên phải. Ta có: \[ T(t) = \begin{cases} 10 + 2t & \text{khi } 0 \leq t \leq 70 \\ k - 3t & \text{khi } 70 < t \leq 100 \end{cases} \] Đầu tiên, ta tính giá trị của hàm số khi \( t = 70 \): \[ T(70) = 10 + 2 \cdot 70 = 10 + 140 = 150 \] Tiếp theo, để hàm số liên tục tại \( t = 70 \), ta cần: \[ k - 3 \cdot 70 = 150 \] Giải phương trình này để tìm \( k \): \[ k - 210 = 150 \] \[ k = 150 + 210 \] \[ k = 360 \] Vậy giá trị của \( k \) là: \[ \boxed{360} \]