giuppppppp

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết và logic. Phần a) MN // (ABCD) - Vì M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB, nên theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ MN \parallel AB \] - Mặt khác, vì ABCD là hình bình hành, nên AB nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó: \[ MN \parallel (ABCD) \] Phần b) SI = (SIC) ∩ (SBD) - Ta cần chứng minh rằng SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SIC) và (SBD). - Xét điểm I, vì I là tâm của hình bình hành ABCD, nên I thuộc cả hai đường chéo AC và BD. Do đó: \[ I \in (SIC) \quad \text{và} \quad I \in (SBD) \] - Mặt khác, điểm S cũng thuộc cả hai mặt phẳng (SIC) và (SBD). Do đó: \[ S \in (SIC) \quad \text{và} \quad S \in (SBD) \] - Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SIC) và (SBD) là đường thẳng đi qua hai điểm S và I, tức là: \[ SI = (SIC) \cap (SBD) \] Phần c) MNCD là hình bình hành - Ta đã biết \(MN \parallel AB\) và \(AB \parallel CD\), do đó: \[ MN \parallel CD \] - Tiếp theo, ta cần chứng minh \(MN = CD\). - Vì M và N là trung điểm của SA và SB, nên: \[ MN = \frac{1}{2} AB \] - Vì ABCD là hình bình hành, nên: \[ AB = CD \] - Do đó: \[ MN = \frac{1}{2} CD \] - Kết hợp với \(MN \parallel CD\), ta có MNCD là hình bình hành. Phần d) E là trung điểm của SI - Ta xét giao điểm E của MC và SI. Để chứng minh E là trung điểm của SI, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành và đường trung bình. - Vì M là trung điểm của SA và C là đỉnh của hình bình hành ABCD, nên MC cắt SI tại trung điểm của SI. Điều này là do tính chất của đường trung bình trong tam giác và hình bình hành. - Do đó: \[ E \text{ là trung điểm của } SI \] Kết luận - \(MN \parallel (ABCD)\) - \(SI = (SIC) \cap (SBD)\) - MNCD là hình bình hành - E là trung điểm của SI Câu 2. Để giải quyết các yêu cầu trong đề bài, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần. a) $\lim_{x \to -1} f(x) = -5$ Ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to -1$ từ cả hai phía: \[ f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 1} \quad \text{khi} \quad x \neq -1 \] Phân tích tử số: \[ 2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1) \] Do đó: \[ f(x) = \frac{(2x - 1)(x + 1)}{x + 1} = 2x - 1 \quad \text{khi} \quad x \neq -1 \] Giới hạn khi $x \to -1$: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (2x - 1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 \] Như vậy, $\lim_{x \to -1} f(x) = -3$, không phải là $-5$. Vậy phần này sai. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ là một số thực dương Ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to -\infty$: \[ f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 1} \quad \text{khi} \quad x \neq -1 \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 1} = \frac{2x + 1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi $x \to -\infty$: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{2x}{1} = 2x \] Vì $x \to -\infty$, nên $2x \to -\infty$. Như vậy, giới hạn này không phải là một số thực dương. Vậy phần này sai. c) $f(-1) = 2a - 1$ Theo định nghĩa của hàm số: \[ f(x) = 2a + x - 2 \quad \text{khi} \quad x = -1 \] Thay $x = -1$ vào: \[ f(-1) = 2a + (-1) - 2 = 2a - 3 \] Như vậy, $f(-1) = 2a - 3$, không phải là $2a - 1$. Vậy phần này sai. d) Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = -1$ thì $a = 0$ Để hàm số liên tục tại $x = -1$, ta cần: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) \] Từ phần a), ta đã tính được: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = -3 \] Từ phần c), ta có: \[ f(-1) = 2a - 3 \] Để hàm số liên tục tại $x = -1$, ta cần: \[ -3 = 2a - 3 \] \[ 2a = 0 \] \[ a = 0 \] Như vậy, để hàm số liên tục tại $x = -1$, thì $a = 0$. Vậy phần này đúng. Kết luận Các phần đúng là: d) Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = -1$ thì $a = 0$. Câu 1. Để phương trình $\sin 2x = 2m + 1$ có nghiệm, ta cần đảm bảo rằng giá trị của $2m + 1$ nằm trong khoảng từ -1 đến 1, vì giá trị của sin luôn nằm trong khoảng này. Do đó, ta có: \[ -1 \leq 2m + 1 \leq 1 \] Ta sẽ giải từng bất đẳng thức này: 1. Giải bất đẳng thức $-1 \leq 2m + 1$: \[ -1 \leq 2m + 1 \\ -1 - 1 \leq 2m \\ -2 \leq 2m \\ -1 \leq m \] 2. Giải bất đẳng thức $2m + 1 \leq 1$: \[ 2m + 1 \leq 1 \\ 2m \leq 1 - 1 \\ 2m \leq 0 \\ m \leq 0 \] Từ hai bất đẳng thức trên, ta có: \[ -1 \leq m \leq 0 \] Giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện trên là $m = -1$ và $m = 0$. Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\sin 2x = 2m + 1$ có nghiệm. Câu 2. Để tính tổng tiền lương của bác V sau 25 năm, ta sẽ áp dụng công thức tính tổng của dãy số hình học. Bước 1: Xác định các thông số: - Số hạng đầu tiên \( a_1 = 48 \) triệu đồng. - Hệ số công bội \( q = 1,05 \). - Số năm làm việc \( n = 25 \). Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng của dãy số hình học: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Bước 3: Thay các giá trị vào công thức: \[ S_{25} = 48 \cdot \frac{(1,05)^{25} - 1}{1,05 - 1} \] Bước 4: Tính toán: \[ S_{25} = 48 \cdot \frac{(1,05)^{25} - 1}{0,05} \] \[ S_{25} = 48 \cdot \frac{3,3864 - 1}{0,05} \] (với \( (1,05)^{25} \approx 3,3864 \)) \[ S_{25} = 48 \cdot \frac{2,3864}{0,05} \] \[ S_{25} = 48 \cdot 47,728 \] \[ S_{25} \approx 2290,944 \] Bước 5: Làm tròn kết quả đến triệu đồng: \[ S_{25} \approx 2291 \text{ triệu đồng} \] Vậy tổng tiền lương của bác V sau 25 năm là khoảng 2291 triệu đồng. Câu 3. Để tính điểm trung bình của học sinh lớp 11E, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của mỗi khoảng: - Khoảng [0,5; 4,5): Trung điểm là $\frac{0,5 + 4,5}{2} = 2,5$ - Khoảng [4,5; 7,5): Trung điểm là $\frac{4,5 + 7,5}{2} = 6$ - Khoảng [7,5; 10): Trung điểm là $\frac{7,5 + 10}{2} = 8,75$ 2. Nhân trung điểm của mỗi khoảng với số lượng học sinh trong khoảng đó: - Khoảng [0,5; 4,5): $2,5 \times 12 = 30$ - Khoảng [4,5; 7,5): $6 \times 22 = 132$ - Khoảng [7,5; 10): $8,75 \times 10 = 87,5$ 3. Tính tổng số học sinh: - Tổng số học sinh là $12 + 22 + 10 = 44$ 4. Tính tổng điểm của tất cả học sinh: - Tổng điểm là $30 + 132 + 87,5 = 249,5$ 5. Tính điểm trung bình: - Điểm trung bình là $\frac{249,5}{44} \approx 5,67$ Vậy điểm trung bình của học sinh lớp 11E là 5,67 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 4. Để tìm hàm số \( f(x) \) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm số chi phí trung bình \( f(x) \): Chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là tổng chi phí chia cho số lượng sản phẩm. Do đó, ta có: \[ f(x) = \frac{C(x)}{x} \] Thay \( C(x) = 100x(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x) \) vào, ta được: \[ f(x) = \frac{100x(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x)}{x} \] Rút gọn biểu thức trên: \[ f(x) = 100(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x) \] 2. Tính giới hạn \( \lim_{x \to \infty} f(x) \): Ta cần tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} 100(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x) \] Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp: \[ \lim_{x \to \infty} 100(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x) = \lim_{x \to \infty} 100 \cdot \frac{(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} - 3x)(\sqrt{9x^2 + 18x + 12} + 3x)}{\sqrt{9x^2 + 18x + 12} + 3x} \] Nhân liên hợp: \[ = \lim_{x \to \infty} 100 \cdot \frac{(9x^2 + 18x + 12) - (3x)^2}{\sqrt{9x^2 + 18x + 12} + 3x} \] Rút gọn biểu thức trong tử: \[ = \lim_{x \to \infty} 100 \cdot \frac{9x^2 + 18x + 12 - 9x^2}{\sqrt{9x^2 + 18x + 12} + 3x} \] \[ = \lim_{x \to \infty} 100 \cdot \frac{18x + 12}{\sqrt{9x^2 + 18x + 12} + 3x} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ = \lim_{x \to \infty} 100 \cdot \frac{18 + \frac{12}{x}}{\sqrt{9 + \frac{18}{x} + \frac{12}{x^2}} + 3} \] Khi \( x \to \infty \), các phân số \( \frac{12}{x} \), \( \frac{18}{x} \), và \( \frac{12}{x^2} \) đều tiến đến 0: \[ = 100 \cdot \frac{18 + 0}{\sqrt{9 + 0 + 0} + 3} \] \[ = 100 \cdot \frac{18}{\sqrt{9} + 3} \] \[ = 100 \cdot \frac{18}{3 + 3} \] \[ = 100 \cdot \frac{18}{6} \] \[ = 100 \cdot 3 \] \[ = 300 \] Vậy, giới hạn của hàm số chi phí trung bình khi số lượng sản phẩm tiến đến vô cùng là: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 300 \] Câu 1. a) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 - n - n^2}{2n^2 + n + 1}$ Chia cả tử và mẫu cho $n^2$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2} - \frac{n}{n^2} - \frac{n^2}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} - 1}{2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \] Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{3}{n^2}$, $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ đều tiến đến 0: \[ = \frac{0 - 0 - 1}{2 + 0 + 0} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \] b) $\lim_{x \to +\infty} (2025 - 3x^3 - 2x^{20x})$ Khi $x \to +\infty$, $x^3$ và $x^{20x}$ đều tiến đến $+\infty$. Do đó: \[ 2025 - 3x^3 - 2x^{20x} \to -\infty \] Vậy: \[ \lim_{x \to +\infty} (2025 - 3x^3 - 2x^{20x}) = -\infty \] c) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2x + 3} - 3}{3x - 9}$ Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{2x + 3} + 3$ để khử căn thức ở tử số: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{2x + 3} - 3)(\sqrt{2x + 3} + 3)}{(3x - 9)(\sqrt{2x + 3} + 3)} \] Tử số trở thành: \[ (\sqrt{2x + 3})^2 - 3^2 = 2x + 3 - 9 = 2x - 6 \] Mẫu số là: \[ (3x - 9)(\sqrt{2x + 3} + 3) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 3} \frac{2x - 6}{(3x - 9)(\sqrt{2x + 3} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{2(x - 3)}{3(x - 3)(\sqrt{2x + 3} + 3)} \] Rút gọn $(x - 3)$ ở tử và mẫu: \[ = \lim_{x \to 3} \frac{2}{3(\sqrt{2x + 3} + 3)} \] Thay $x = 3$ vào biểu thức: \[ = \frac{2}{3(\sqrt{2 \cdot 3 + 3} + 3)} = \frac{2}{3(\sqrt{9} + 3)} = \frac{2}{3(3 + 3)} = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \] Đáp số: a) $-\frac{1}{2}$ b) $-\infty$ c) $\frac{1}{9}$ Câu 2. a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD): - Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD, nên O cũng là trung điểm của cả AC và BD. - Mặt phẳng (SAC) chứa đỉnh S và đường thẳng AC. - Mặt phẳng (SBD) chứa đỉnh S và đường thẳng BD. - Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng đi qua đỉnh S và giao điểm O của AC và BD. - Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO. b. Chứng minh: $EF//(SBD)$ - Ta có E là trung điểm của SA và F là trung điểm của AO. - Theo định lý trung tuyến trong tam giác, ta có EF là đường trung tuyến của tam giác SAO. - Đường trung tuyến của tam giác song song với đường thẳng nối giữa hai điểm còn lại của tam giác và bằng nửa độ dài của đường thẳng đó. - Do đó, EF song song với SO và bằng nửa độ dài của SO. - Mặt phẳng (SBD) chứa đỉnh S và đường thẳng BD, và SO nằm trong mặt phẳng này. - Vì EF song song với SO và SO nằm trong mặt phẳng (SBD), nên EF cũng song song với mặt phẳng (SBD). Vậy ta đã chứng minh được $EF//(SBD)$.