Giải giúp mình vs ạ

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm số tổng doanh thu \(B(x)\). 2. Xác định hàm số lợi nhuận \(L(x)\). 3. Tìm giá trị cực đại của hàm số lợi nhuận \(L(x)\). Bước 1: Xác định hàm số tổng doanh thu \(B(x)\) Tổng doanh thu khi bán x mét vải lụa là: \[ B(x) = 220x \] Bước 2: Xác định hàm số lợi nhuận \(L(x)\) Lợi nhuận \(L(x)\) là sự chênh lệch giữa tổng doanh thu và tổng chi phí: \[ L(x) = B(x) - C(x) \] \[ L(x) = 220x - (x^3 - 3x^2 - 20x + 500) \] \[ L(x) = 220x - x^3 + 3x^2 + 20x - 500 \] \[ L(x) = -x^3 + 3x^2 + 240x - 500 \] Bước 3: Tìm giá trị cực đại của hàm số lợi nhuận \(L(x)\) Để tìm giá trị cực đại của \(L(x)\), chúng ta cần tính đạo hàm của \(L(x)\) và tìm điểm cực đại. Tính đạo hàm của \(L(x)\): \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 + 240x - 500) \] \[ L'(x) = -3x^2 + 6x + 240 \] Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình \(L'(x) = 0\): \[ -3x^2 + 6x + 240 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 80 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 18}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2 + 18}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{2 - 18}{2} = -8 \] Vì \(x\) phải nằm trong khoảng \(1 \leq x \leq 18\), ta loại nghiệm \(x = -8\) và giữ lại nghiệm \(x = 10\). Kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của điểm cực đại: \[ L''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x + 240) \] \[ L''(x) = -6x + 6 \] Tại \(x = 10\): \[ L''(10) = -6(10) + 6 = -60 + 6 = -54 \] Vì \(L''(10) < 0\), nên \(x = 10\) là điểm cực đại của hàm số \(L(x)\). Bước 4: Tính lợi nhuận tối đa Thay \(x = 10\) vào hàm số lợi nhuận \(L(x)\): \[ L(10) = -(10)^3 + 3(10)^2 + 240(10) - 500 \] \[ L(10) = -1000 + 300 + 2400 - 500 \] \[ L(10) = 1200 \] Vậy, hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng. Câu 2. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (3; 0; 1)$ và $\overrightarrow{v} = (2; 1; 0)$ được tính theo công thức sau: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \] Trong đó: - \(u_x = 3\) - \(u_y = 0\) - \(u_z = 1\) - \(v_x = 2\) - \(v_y = 1\) - \(v_z = 0\) Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \] Tính toán từng phần: \[ 3 \cdot 2 = 6 \] \[ 0 \cdot 1 = 0 \] \[ 1 \cdot 0 = 0 \] Cộng lại các kết quả: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6 + 0 + 0 = 6 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là 6. Đáp số: 6 Câu 3. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - \( OM = 14 \) - \( \angle NOB = 32^\circ \) - \( \angle MOC = 65^\circ \) Ta cần tìm tọa độ của điểm \( M(a, b, c) \). Bước 1: Xác định tọa độ của điểm \( N \) Do \( N \) là hình chiếu của \( M \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \), nên tọa độ của \( N \) sẽ là \( (a, b, 0) \). Bước 2: Xác định tọa độ của điểm \( M \) - \( M \) nằm trên đường thẳng \( OM \) với \( OM = 14 \). - \( \angle MOC = 65^\circ \) nghĩa là góc giữa \( OM \) và trục \( Oz \) là \( 65^\circ \). Từ đó, ta có: \[ c = OM \cdot \cos(65^\circ) = 14 \cdot \cos(65^\circ) \] Bước 3: Xác định tọa độ của điểm \( N \) trên mặt phẳng \( (Oxy) \) - \( \angle NOB = 32^\circ \) nghĩa là góc giữa \( ON \) và trục \( Ox \) là \( 32^\circ \). Từ đó, ta có: \[ a = ON \cdot \cos(32^\circ) \] \[ b = ON \cdot \sin(32^\circ) \] Bước 4: Xác định \( ON \) - \( ON \) là khoảng cách từ \( O \) đến \( N \) trên mặt phẳng \( (Oxy) \). Từ đó, ta có: \[ ON = OM \cdot \sin(65^\circ) = 14 \cdot \sin(65^\circ) \] Bước 5: Tính toán các giá trị cụ thể - \( c = 14 \cdot \cos(65^\circ) \approx 14 \cdot 0.4226 \approx 5.9164 \) - \( ON = 14 \cdot \sin(65^\circ) \approx 14 \cdot 0.9063 \approx 12.6882 \) - \( a = 12.6882 \cdot \cos(32^\circ) \approx 12.6882 \cdot 0.8480 \approx 10.799 \) - \( b = 12.6882 \cdot \sin(32^\circ) \approx 12.6882 \cdot 0.5299 \approx 6.719 \) Bước 6: Tính tổng \( a + 2b + 3c \) \[ a + 2b + 3c \approx 10.799 + 2 \cdot 6.719 + 3 \cdot 5.9164 \] \[ \approx 10.799 + 13.438 + 17.7492 \] \[ \approx 42.0 \] Vậy, tổng \( a + 2b + 3c \) là \( 42 \). Đáp số: \( 42 \) Câu 4. Để tính tổng độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực A và B, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính trung bình cộng của mỗi mẫu số liệu Lĩnh vực A: - Số nhà đầu tư: 2 + 5 + 8 + 6 + 4 = 25 nhà đầu tư - Tiền lãi trung bình: \[ \bar{x}_A = \frac{(7.5 \times 2) + (12.5 \times 5) + (17.5 \times 8) + (22.5 \times 6) + (27.5 \times 4)}{25} = \frac{15 + 62.5 + 140 + 135 + 110}{25} = \frac{462.5}{25} = 18.5 \text{ (triệu đồng)} \] Lĩnh vực B: - Số nhà đầu tư: 8 + 4 + 2 + 5 + 6 = 25 nhà đầu tư - Tiền lãi trung bình: \[ \bar{x}_B = \frac{(7.5 \times 8) + (12.5 \times 4) + (17.5 \times 2) + (22.5 \times 5) + (27.5 \times 6)}{25} = \frac{60 + 50 + 35 + 112.5 + 165}{25} = \frac{422.5}{25} = 16.9 \text{ (triệu đồng)} \] Bước 2: Tính phương sai của mỗi mẫu số liệu Lĩnh vực A: \[ s^2_A = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x}_A)^2}{n} = \frac{(2 \times (7.5 - 18.5)^2) + (5 \times (12.5 - 18.5)^2) + (8 \times (17.5 - 18.5)^2) + (6 \times (22.5 - 18.5)^2) + (4 \times (27.5 - 18.5)^2)}{25} = \frac{(2 \times 121) + (5 \times 36) + (8 \times 1) + (6 \times 16) + (4 \times 81)}{25} = \frac{242 + 180 + 8 + 96 + 324}{25} = \frac{840}{25} = 33.6 \] Lĩnh vực B: \[ s^2_B = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x}_B)^2}{n} = \frac{(8 \times (7.5 - 16.9)^2) + (4 \times (12.5 - 16.9)^2) + (2 \times (17.5 - 16.9)^2) + (5 \times (22.5 - 16.9)^2) + (6 \times (27.5 - 16.9)^2)}{25} = \frac{(8 \times 88.36) + (4 \times 19.36) + (2 \times 0.36) + (5 \times 31.36) + (6 \times 116.64)}{25} = \frac{706.88 + 77.44 + 0.72 + 156.8 + 699.84}{25} = \frac{1641.68}{25} = 65.67 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu Lĩnh vực A: \[ s_A = \sqrt{s^2_A} = \sqrt{33.6} \approx 5.79 \] Lĩnh vực B: \[ s_B = \sqrt{s^2_B} = \sqrt{65.67} \approx 8.10 \] Bước 4: Tính tổng độ lệch chuẩn \[ s_{\text{tổng}} = s_A + s_B = 5.79 + 8.10 = 13.89 \] Vậy tổng độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực A và B là 13.89 (triệu đồng). Câu 5. Câu 6: Chiều dài và chiều rộng của khu đất hình chữ nhật lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị: mét) Diện tích khu đất là: $xy = 200$ Tổng chiều dài lưới thép cần dùng là: \[ P = x + 2y \] Thay $x = \frac{200}{y}$ vào công thức trên ta có: \[ P(y) = \frac{200}{y} + 2y \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của $P(y)$, ta tính đạo hàm của $P(y)$: \[ P'(y) = -\frac{200}{y^2} + 2 \] Đặt $P'(y) = 0$: \[ -\frac{200}{y^2} + 2 = 0 \] \[ \frac{200}{y^2} = 2 \] \[ y^2 = 100 \] \[ y = 10 \quad (\text{vì } y > 0) \] Kiểm tra điều kiện $y \leq 15$, ta thấy $y = 10$ thỏa mãn. Do đó, chiều rộng của khu đất này là 10 mét để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất. Đáp số: Chiều rộng của khu đất này là 10 mét.