Giup toi vs

Câu 14. a) Để tìm độ dài đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox, ta cần tìm giao điểm của hàm số $\widehat{f}(x)$ với trục Ox. Điều này tương đương với việc giải phương trình $\widehat{f}(x) = 0$. \[ -0,1x^3 + 0,9x^2 - 1,5x + 5,6 = 0 \] Sử dụng phương pháp thử nghiệm các nghiệm nguyên hoặc sử dụng máy tính để tìm nghiệm, ta nhận thấy rằng $x = 4$ là một nghiệm của phương trình này. Do đó, độ dài đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox là 600m, tức là từ $x = 0$ đến $x = 6$ (vì đơn vị là 100m). b) Để tìm điểm cách gốc O một đoạn 500m có khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối điện là lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $\widehat{f}(x)$ trong khoảng $0 \leq x \leq 6$. Tính đạo hàm của $\widehat{f}(x)$: \[ \widehat{f}'(x) = -0,3x^2 + 1,8x - 1,5 \] Đặt $\widehat{f}'(x) = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ -0,3x^2 + 1,8x - 1,5 = 0 \] Chia cả hai vế cho -0,3: \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ (x - 1)(x - 5) = 0 \] Các nghiệm là $x = 1$ và $x = 5$. Ta kiểm tra giá trị của $\widehat{f}(x)$ tại các điểm này và tại các biên của khoảng: \[ \widehat{f}(0) = 5,6 \] \[ \widehat{f}(1) = -0,1(1)^3 + 0,9(1)^2 - 1,5(1) + 5,6 = 4,9 \] \[ \widehat{f}(5) = -0,1(5)^3 + 0,9(5)^2 - 1,5(5) + 5,6 = 6,1 \] \[ \widehat{f}(6) = -0,1(6)^3 + 0,9(6)^2 - 1,5(6) + 5,6 = 5,6 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của $\widehat{f}(x)$ trong khoảng $0 \leq x \leq 6$ là 6,1, đạt được khi $x = 5$. Do đó, điểm cách gốc O một đoạn 500m có khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối điện là lớn nhất. c) Để tìm khoảng cách nhỏ nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ đến bờ hồ đối diện, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $\widehat{f}(x)$ trong khoảng $0 \leq x \leq 6$. Từ phần b), ta đã biết các giá trị của $\widehat{f}(x)$ tại các điểm cực trị và biên: \[ \widehat{f}(0) = 5,6 \] \[ \widehat{f}(1) = 4,9 \] \[ \widehat{f}(5) = 6,1 \] \[ \widehat{f}(6) = 5,6 \] Như vậy, giá trị nhỏ nhất của $\widehat{f}(x)$ trong khoảng $0 \leq x \leq 6$ là 4,9, đạt được khi $x = 1$. Do đó, khoảng cách nhỏ nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ đến bờ hồ đối diện là 490m. d) Để tìm điểm M(a; b) sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là nhỏ nhất, ta cần tìm điểm trên đồ thị của hàm số $\widehat{f}(x)$ sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng $y = -1,5x + 18$ là nhỏ nhất. Khoảng cách từ một điểm $(x_1, y_1)$ đến đường thẳng $Ax + By + C = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Trong trường hợp này, đường thẳng là $y = -1,5x + 18$, tức là $1,5x + y - 18 = 0$. Do đó, $A = 1,5$, $B = 1$, và $C = -18$. Khoảng cách từ điểm $(x, \widehat{f}(x))$ đến đường thẳng là: \[ d = \frac{|1,5x + \widehat{f}(x) - 18|}{\sqrt{(1,5)^2 + 1^2}} = \frac{|1,5x - 0,1x^3 + 0,9x^2 - 1,5x + 5,6 - 18|}{\sqrt{2,25 + 1}} = \frac{|-0,1x^3 + 0,9x^2 - 12,4|}{\sqrt{3,25}} \] Để khoảng cách này nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của $x$ sao cho biểu thức $|-0,1x^3 + 0,9x^2 - 12,4|$ nhỏ nhất. Điều này tương đương với việc giải phương trình đạo hàm của biểu thức này bằng 0. Tính đạo hàm của biểu thức $g(x) = -0,1x^3 + 0,9x^2 - 12,4$: \[ g'(x) = -0,3x^2 + 1,8x \] Đặt $g'(x) = 0$: \[ -0,3x^2 + 1,8x = 0 \] Chia cả hai vế cho -0,3: \[ x^2 - 6x = 0 \] Factorize: \[ x(x - 6) = 0 \] Các nghiệm là $x = 0$ và $x = 6$. Ta kiểm tra giá trị của $g(x)$ tại các điểm này: \[ g(0) = -12,4 \] \[ g(6) = -0,1(6)^3 + 0,9(6)^2 - 12,4 = -21,6 + 32,4 - 12,4 = -1,6 \] Như vậy, giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ trong khoảng $0 \leq x \leq 6$ là -1,6, đạt được khi $x = 6$. Do đó, điểm M(a; b) là $(6, \widehat{f}(6)) = (6, 5,6)$. Cuối cùng, ta tính $a + 5b$: \[ a + 5b = 6 + 5 \times 5,6 = 6 + 28 = 34 \] Đáp số: 34 Câu hỏi 15 Tất nhiên, mình sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\). Cách giải: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Các điểm cực trị là \( x = 1 \) và \( x = -1 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] \[ f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: \[ f(-2) = 0, \quad f(-1) = 4, \quad f(1) = 0, \quad f(2) = 4 \] Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \).