Giải giúp mình cs ạ

Câu 5. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình hộp ABCD-A'B'C'D', các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, và $\overrightarrow{AA'}$ lần lượt tương ứng với các cạnh AB, AD, và AA'. Theo quy tắc cộng vectơ trong không gian, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \] Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{C'A}$ C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{A'C}$ D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$ Trong đó, $\overrightarrow{AC'}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C' của hình hộp, do đó phát biểu đúng là: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$. Câu 6. Theo quy tắc cộng vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \] Lập luận từng bước: - Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là vectơ từ điểm A đến điểm B. - Vectơ \(\overrightarrow{BC}\) là vectơ từ điểm B đến điểm C. - Khi cộng hai vectơ này lại, ta sẽ có vectơ từ điểm A đến điểm C, tức là \(\overrightarrow{AC}\). Do đó, đáp án đúng là: A. \(\overrightarrow{AC}\). Câu 7. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow u . \overrightarrow v = |\overrightarrow u| \cdot |\overrightarrow v| \cdot \cos(\overrightarrow u, \overrightarrow v) \] Trong đó: - $|\overrightarrow u| = 2$ - $|\overrightarrow v| = 3$ - $\cos(\overrightarrow u, \overrightarrow v) = \frac{1}{2}$ Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ \overrightarrow u . \overrightarrow v = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \] \[ \overrightarrow u . \overrightarrow v = 3 \] Vậy đáp án đúng là: A. 3. Câu 8. Trong không gian Oxyz, vectơ $\overrightarrow a$ được cho dưới dạng $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow k$. - Vectơ $\overrightarrow i$ tương ứng với trục Ox, có toạ độ là (1, 0, 0). - Vectơ $\overrightarrow k$ tương ứng với trục Oz, có toạ độ là (0, 0, 1). Do đó, vectơ $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow k$ sẽ có toạ độ là: \[ \overrightarrow a = (2, 0, 3) \] Vậy đáp án đúng là: A. $(2;0;3)$ Câu 9. Để tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ của hai điểm M và N: - Điểm M có tọa độ $(1; 0; 2)$. - Điểm N có tọa độ $(1; -2; 4)$. Bước 2: Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$: - Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$ được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm N trừ đi tọa độ của điểm M: \[ \overrightarrow{MN} = (1 - 1, -2 - 0, 4 - 2) = (0, -2, 2) \] Bước 3: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$: - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(0)^2 + (-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$ là $2\sqrt{2}$. Đáp án đúng là: B. $2\sqrt{2}$. Câu 10. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u - \overrightarrow v$, ta thực hiện phép trừ từng thành phần tương ứng của hai vectơ. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $(3, 2, -1)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $(5, -4, 2)$. Ta thực hiện phép trừ từng thành phần: - Thành phần thứ nhất: $3 - 5 = -2$ - Thành phần thứ hai: $2 - (-4) = 2 + 4 = 6$ - Thành phần thứ ba: $-1 - 2 = -3$ Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u - \overrightarrow v$ là $(-2, 6, -3)$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(-2, 6, -3)$. Câu 11. Để xác định mệnh đề đúng, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. Là giá trị xấp xỉ cho khoảng tử phân vị của mẫu số liệu gốc. - Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thường là giá trị xấp xỉ cho khoảng tử phân vị của mẫu số liệu gốc, nhưng không phải lúc nào cũng chính xác. Do đó, mệnh đề này không hoàn toàn đúng. B. Không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường trong mẫu số liệu. - Khoảng tử phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) và tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$). Các giá trị bất thường nằm ngoài khoảng này sẽ không ảnh hưởng đến khoảng tử phân vị. Mệnh đề này đúng. C. Có thể dùng để đo mức độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu. - Khoảng tử phân vị đo mức độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu, cụ thể là từ $Q_1$ đến $Q_3$. Mệnh đề này đúng. D. Là hiệu số giữa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó. - Khoảng tử phân vị được tính bằng cách lấy hiệu giữa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) và tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$). Mệnh đề này đúng. Tóm lại, cả ba mệnh đề B, C và D đều đúng. Tuy nhiên, nếu chỉ chọn một mệnh đề duy nhất, thì mệnh đề D là chính xác nhất vì nó mô tả trực tiếp cách tính khoảng tử phân vị. Đáp án: D. Là hiệu số giữa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó. Câu 12. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu \( s^2 \), được tính theo công thức sau: \[ s^2 = \frac{m_1(x_1 - \bar{x})^2 + m_2(x_2 - \bar{x})^2 + ... + m_k(x_k - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó: - \( m_i \) là tần số của nhóm thứ \( i \), - \( x_i \) là trung điểm của nhóm thứ \( i \), - \( \bar{x} \) là trung bình cộng của mẫu số liệu, - \( n \) là tổng số lượng các giá trị trong mẫu số liệu. Do đó, đáp án đúng là: A. \( s^2 = \frac{m_1(x_1 - \bar{x})^2 + ... + m_k(x_k - \bar{x})^2}{n} \) Lập luận từng bước: 1. Xác định trung điểm của mỗi nhóm. 2. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 3. Tính hiệu giữa trung điểm của mỗi nhóm và trung bình cộng. 4. Bình phương hiệu này. 5. Nhân bình phương này với tần số của nhóm tương ứng. 6. Cộng tất cả các kết quả trên lại. 7. Chia tổng này cho tổng số lượng các giá trị trong mẫu số liệu để tìm phương sai. Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức đã chọn ở trên. Câu 1: Để giải quyết các yêu cầu liên quan đến hàm số \( y = f(x) = x^3 - 3x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Hàm số \( y = x^3 - 3x \) là một đa thức, do đó tập xác định của nó là tất cả các số thực: \[ D = \mathbb{R} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số Để tìm các điểm cực trị, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số và tìm các điểm mà đạo hàm bằng không. Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3 \] Tìm các điểm mà đạo hàm bằng không: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị Chúng ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) ở các khoảng giữa các điểm cực trị để xác định tính chất của các điểm này. - Khi \( x < -1 \), chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \] Do đó, \( f(x) \) tăng trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Khi \( -1 < x < 1 \), chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \] Do đó, \( f(x) \) giảm trên khoảng \( (-1, 1) \). - Khi \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \] Do đó, \( f(x) \) tăng trên khoảng \( (1, \infty) \). Từ đó, ta kết luận: - \( x = -1 \) là điểm cực đại vì \( f(x) \) tăng trước khi đến \( x = -1 \) và giảm sau khi qua \( x = -1 \). - \( x = 1 \) là điểm cực tiểu vì \( f(x) \) giảm trước khi đến \( x = 1 \) và tăng sau khi qua \( x = 1 \). Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \] Vậy giá trị cực đại của hàm số là 2, đạt được khi \( x = -1 \). - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là -2, đạt được khi \( x = 1 \). Kết luận - Tập xác định của hàm số: \( D = \mathbb{R} \) - Điểm cực đại: \( x = -1 \), giá trị cực đại là 2 - Điểm cực tiểu: \( x = 1 \), giá trị cực tiểu là -2 Đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x \) sẽ có dạng như sau: - Hàm số tăng từ \( -\infty \) đến \( x = -1 \) - Hàm số giảm từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \) - Hàm số tăng từ \( x = 1 \) đến \( \infty \) Điểm cực đại là \( (-1, 2) \) và điểm cực tiểu là \( (1, -2) \).