giải chi tiết

a) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (-2 - 0, 1 + 1, -1 - 1) = (-2, 2, -2) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-1 - 0, 3 + 1, 2 - 1) = (-1, 4, 1) \] Ta kiểm tra xem ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không bằng cách kiểm tra xem \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) có cùng phương hay không. Nếu có cùng phương thì tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}\). Giả sử \(\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}\), ta có: \[ (-2, 2, -2) = k \cdot (-1, 4, 1) \] Từ đó ta có hệ phương trình: \[ -2 = -k \quad \Rightarrow \quad k = 2 \] \[ 2 = 4k \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{2} \] \[ -2 = k \quad \Rightarrow \quad k = -2 \] Nhìn vào các giá trị của \(k\) ta thấy chúng không đồng nhất, do đó \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương. Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Ta có: \[ \overrightarrow{AD} = (-1 - 0, 0 + 1, 0 - 1) = (-1, 1, -1) \] Ta kiểm tra xem ba điểm A, B, D có thẳng hàng hay không bằng cách kiểm tra xem \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\) có cùng phương hay không. Nếu có cùng phương thì tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AD}\). Giả sử \(\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AD}\), ta có: \[ (-2, 2, -2) = k \cdot (-1, 1, -1) \] Từ đó ta có hệ phương trình: \[ -2 = -k \quad \Rightarrow \quad k = 2 \] \[ 2 = k \quad \Rightarrow \quad k = 2 \] \[ -2 = -k \quad \Rightarrow \quad k = 2 \] Nhìn vào các giá trị của \(k\) ta thấy chúng đồng nhất, do đó \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\) cùng phương. Vậy ba điểm A, B, D thẳng hàng. c) Ta có: \[ \overrightarrow{CB} = (-2 + 1, 1 - 3, -1 - 2) = (-1, -2, -3) \] Ta tính cosin của góc giữa \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CB}\): \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CB}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = (-2) \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-3) = 2 - 4 + 6 = 4 \] Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] \[ |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] Do đó: \[ \cos(\theta) = \frac{4}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{4}{2\sqrt{42}} = \frac{2}{\sqrt{42}} = \frac{2\sqrt{42}}{42} = \frac{\sqrt{42}}{21} \] Vậy cosin của góc giữa \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CB}\) là \(-\frac{\sqrt{42}}{21}\). d) Ta kiểm tra xem bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không bằng cách kiểm tra xem vectơ \(\overrightarrow{AD}\) có nằm trong mặt phẳng chứa ba điểm A, B, C hay không. Nếu nằm trong mặt phẳng thì tồn tại các số thực \(x\) và \(y\) sao cho \(\overrightarrow{AD} = x \cdot \overrightarrow{AB} + y \cdot \overrightarrow{AC}\). Giả sử \(\overrightarrow{AD} = x \cdot \overrightarrow{AB} + y \cdot \overrightarrow{AC}\), ta có: \[ (-1, 1, -1) = x \cdot (-2, 2, -2) + y \cdot (-1, 4, 1) \] Từ đó ta có hệ phương trình: \[ -1 = -2x - y \] \[ 1 = 2x + 4y \] \[ -1 = -2x + y \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ nhất: \[ -1 = -2x - y \quad \Rightarrow \quad y = -1 + 2x \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 1 = 2x + 4(-1 + 2x) \quad \Rightarrow \quad 1 = 2x - 4 + 8x \quad \Rightarrow \quad 1 = 10x - 4 \quad \Rightarrow \quad 10x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \] Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào \(y = -1 + 2x\): \[ y = -1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = -1 + 1 = 0 \] Kiểm tra lại với phương trình thứ ba: \[ -1 = -2 \cdot \frac{1}{2} + 0 \quad \Rightarrow \quad -1 = -1 \] Nhìn vào các giá trị của \(x\) và \(y\) ta thấy chúng thỏa mãn tất cả các phương trình, do đó \(\overrightarrow{AD}\) nằm trong mặt phẳng chứa ba điểm A, B, C. Vậy bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Đáp án: d) Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.