Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. Bước 1: Tính căn bậc hai của $(2\sqrt{2} - 3)^2$. \[ \sqrt{(2\sqrt{2} - 3)^2} = |2\sqrt{2} - 3| \] Ta cần kiểm tra xem $2\sqrt{2} - 3$ có dương hay âm để xác định giá trị tuyệt đối. Bước 2: So sánh $2\sqrt{2}$ và 3. \[ 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \] Vì $2.828 < 3$, nên $2\sqrt{2} - 3 < 0$. Do đó: \[ |2\sqrt{2} - 3| = -(2\sqrt{2} - 3) = 3 - 2\sqrt{2} \] Bước 3: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu. \[ \sqrt{(2\sqrt{2} - 3)^2} + 2\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức. \[ 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3 \] Vậy kết quả cuối cùng là: \[ 3 \] Bài 6: 1) $(5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}) \cdot \sqrt{15}$ Ta thực hiện phép nhân phân phối: \[ (5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}) \cdot \sqrt{15} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{15} + 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} \] Áp dụng công thức $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$: \[ = 5\sqrt{3 \cdot 15} + 3\sqrt{5 \cdot 15} = 5\sqrt{45} + 3\sqrt{75} \] Rút gọn các căn thức: \[ = 5\sqrt{9 \cdot 5} + 3\sqrt{25 \cdot 3} = 5 \cdot 3\sqrt{5} + 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{5} + 15\sqrt{3} \] 2) $(\sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$ Ta thực hiện phép nhân phân phối: \[ (\sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = \sqrt{48} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{27} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \] Áp dụng công thức $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$: \[ = \sqrt{48 \cdot 3} - \sqrt{27 \cdot 3} + \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{144} - \sqrt{81} + \sqrt{9} \] Rút gọn các căn thức: \[ = 12 - 9 + 3 = 6 \] Đáp số: 1) $15\sqrt{5} + 15\sqrt{3}$ 2) $6$ Bài 7. 1) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{\sqrt{12}-\sqrt{12}}$ Điều kiện xác định: $\sqrt{12} \neq 0$ (luôn đúng vì căn bậc hai của số dương luôn khác 0) Biểu thức này có mẫu số là $\sqrt{12} - \sqrt{12} = 0$, do đó biểu thức không xác định. 2) $\frac{\sqrt{15}-\sqrt5}{15-1}$ Điều kiện xác định: $15 - 1 \neq 0$ (luôn đúng vì 14 khác 0) Rút gọn: \[ \frac{\sqrt{15}-\sqrt5}{15-1} = \frac{\sqrt{15}-\sqrt5}{14} \] 3) $\frac{5-2\sqrt5}{2\sqrt5-5}$ Điều kiện xác định: $2\sqrt5 - 5 \neq 0$ Rút gọn: \[ \frac{5-2\sqrt5}{2\sqrt5-5} = \frac{-(2\sqrt5-5)}{2\sqrt5-5} = -1 \] 4) $\frac{3\sqrt2-\sqrt3-\sqrt6+\sqrt6}{\sqrt2-\sqrt2-\sqrt2}$ Điều kiện xác định: $\sqrt2 - \sqrt2 - \sqrt2 \neq 0$ (luôn sai vì $\sqrt2 - \sqrt2 - \sqrt2 = -\sqrt2$) Biểu thức này có mẫu số là $\sqrt2 - \sqrt2 - \sqrt2 = -\sqrt2$, do đó biểu thức không xác định. Kết luận: 1) Biểu thức không xác định. 2) $\frac{\sqrt{15}-\sqrt5}{14}$ 3) $-1$ 4) Biểu thức không xác định. Bài 8: 1) $\frac{3+2\sqrt{5}}{5} + \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} - (2-\sqrt{3})$ = $\frac{3+2\sqrt{5}}{5} + 1 - 2 + \sqrt{3}$ = $\frac{3+2\sqrt{5}}{5} - 1 + \sqrt{3}$ 2) $(1 - \frac{5+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})(\frac{5-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} - 1)$ = $(1 - \frac{(5+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})})(\frac{(5-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})} - 1)$ = $(1 - \frac{5 - 5\sqrt{5} + \sqrt{5} - 5}{1 - 5})(\frac{5 + 5\sqrt{5} - \sqrt{5} - 5}{1 - 5} - 1)$ = $(1 - \frac{-4\sqrt{5}}{-4})(\frac{4\sqrt{5}}{-4} - 1)$ = $(1 + \sqrt{5})(-\sqrt{5} - 1)$ = $-1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} - 5$ = $-6 - 2\sqrt{5}$ 3) $(\frac{5-2\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}})(\frac{5+3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}})$ = $\frac{(5-2\sqrt{5})(5+3\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}$ = $\frac{25 + 15\sqrt{5} - 10\sqrt{5} - 30}{6 + 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 5}$ = $\frac{25 + 5\sqrt{5} - 30}{1 - \sqrt{5}}$ = $\frac{-5 + 5\sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$ = $\frac{5(\sqrt{5} - 1)}{1 - \sqrt{5}}$ = $-5$ 4) $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{5}} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{5}}$ = $\frac{3}{0} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{5}}$ = Không xác định (vì mẫu số đầu tiên bằng 0) 5) $\frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{3}} + \sqrt{75} - \frac{6\sqrt{2} - 4}{3 - \sqrt{2}}$ = $\frac{1}{2\sqrt{2} + \sqrt{3}} + 5\sqrt{3} - \frac{6\sqrt{2} - 4}{3 - \sqrt{2}}$ = $\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{(2\sqrt{2} + \sqrt{3})(2\sqrt{2} - \sqrt{3})} + 5\sqrt{3} - \frac{(6\sqrt{2} - 4)(3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})}$ = $\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{8 - 3} + 5\sqrt{3} - \frac{18\sqrt{2} + 12 - 12 - 4\sqrt{2}}{9 - 2}$ = $\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5} + 5\sqrt{3} - \frac{14\sqrt{2}}{7}$ = $\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5} + 5\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$ = $\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3} - 10\sqrt{2}}{5} + 5\sqrt{3}$ = $\frac{-8\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5} + 5\sqrt{3}$ 6) $(\frac{2}{\sqrt{5} - 1} + \frac{3}{\sqrt{5} - 2} + \frac{15}{3 - \sqrt{5}})\frac{1}{\sqrt{5} + 5}$ = $(\frac{2(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} + \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} + \frac{15(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})})\frac{1}{\sqrt{5} + 5}$ = $(\frac{2\sqrt{5} + 2}{5 - 1} + \frac{3\sqrt{5} + 6}{5 - 4} + \frac{45 + 15\sqrt{5}}{9 - 5})\frac{1}{\sqrt{5} + 5}$ = $(\frac{2\sqrt{5} + 2}{4} + \frac{3\sqrt{5} + 6}{1} + \frac{45 + 15\sqrt{5}}{4})\frac{1}{\sqrt{5} + 5}$ = $(\frac{2\sqrt{5} + 2 + 12\sqrt{5} + 24 + 45 + 15\sqrt{5}}{4})\frac{1}{\sqrt{5} + 5}$ = $(\frac{29\sqrt{5} + 71}{4})\frac{1}{\sqrt{5} + 5}$ = $\frac{29\sqrt{5} + 71}{4(\sqrt{5} + 5)}$ 7) $\sqrt{\frac{3}{20}} + \sqrt{60} - 2\sqrt{15}$ = $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{20}} + \sqrt{4 \cdot 15} - 2\sqrt{15}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} + 2\sqrt{15} - 2\sqrt{15}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{\sqrt{15}}{10}$ 8) $(\frac{\sqrt{4} - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{5} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$ = $(\frac{2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}, 0) \cdot \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$ = $(\frac{2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}, 0)$ = $(\frac{2 - \sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{5})}, 0)$ = $(\frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{5} - \sqrt{6} + \sqrt{10}}, 0)$ Bài 9: Để các căn thức có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0. a) $\sqrt{-3x}$ có nghĩa khi: -3x ≥ 0 x ≤ 0 b) $\sqrt{2x-4}$ có nghĩa khi: 2x - 4 ≥ 0 2x ≥ 4 x ≥ 2 c) $\sqrt{3-6x}$ có nghĩa khi: 3 - 6x ≥ 0 -6x ≥ -3 x ≤ $\frac{1}{2}$ d) $\sqrt{-x+7}$ có nghĩa khi: -x + 7 ≥ 0 -x ≥ -7 x ≤ 7 Đáp số: a) x ≤ 0 b) x ≥ 2 c) x ≤ $\frac{1}{2}$ d) x ≤ 7 Bài 10: a) Rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{4x^2+4x+1}}{4x^2-1}$ với $x > \frac{-1}{2}$ Điều kiện xác định: $x > \frac{-1}{2}$ Ta nhận thấy rằng: \[ 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 \] \[ 4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1) \] Do đó, biểu thức có thể viết lại thành: \[ \frac{\sqrt{(2x + 1)^2}}{(2x + 1)(2x - 1)} \] Vì $x > \frac{-1}{2}$, ta có $2x + 1 > 0$, do đó: \[ \sqrt{(2x + 1)^2} = 2x + 1 \] Biểu thức rút gọn thành: \[ \frac{2x + 1}{(2x + 1)(2x - 1)} = \frac{1}{2x - 1} \] Kết luận: \[ \frac{\sqrt{4x^2+4x+1}}{4x^2-1} = \frac{1}{2x - 1} \] b) Rút gọn biểu thức $9 + x + \sqrt{4 - 4x + x^2}$ với $x = 1$ Điều kiện xác định: Không có điều kiện đặc biệt cần thiết. Ta nhận thấy rằng: \[ 4 - 4x + x^2 = (2 - x)^2 \] Do đó, biểu thức có thể viết lại thành: \[ 9 + x + \sqrt{(2 - x)^2} \] Với $x = 1$, ta có: \[ 9 + 1 + \sqrt{(2 - 1)^2} = 9 + 1 + \sqrt{1^2} = 9 + 1 + 1 = 11 \] Kết luận: \[ 9 + x + \sqrt{4 - 4x + x^2} = 11 \] Bài 11: a) $\sqrt{2x^2-9}=2$ Điều kiện xác định: $2x^2 - 9 \geq 0$ Bình phương cả hai vế: \[2x^2 - 9 = 4\] \[2x^2 = 13\] \[x^2 = \frac{13}{2}\] \[x = \pm \sqrt{\frac{13}{2}}\] Kiểm tra điều kiện xác định: \[2 \left( \sqrt{\frac{13}{2}} \right)^2 - 9 = 13 - 9 = 4 \geq 0\] \[2 \left( -\sqrt{\frac{13}{2}} \right)^2 - 9 = 13 - 9 = 4 \geq 0\] Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = \sqrt{\frac{13}{2}} \text{ hoặc } x = -\sqrt{\frac{13}{2}}\] b) $\sqrt{x^2+1}+2=0$ Điều kiện xác định: $x^2 + 1 \geq 0$ Bình phương cả hai vế: \[\sqrt{x^2+1} = -2\] Phương trình này vô nghiệm vì căn bậc hai của một số không âm không thể là số âm. c) $\sqrt{3x-1}=4$ Điều kiện xác định: $3x - 1 \geq 0$ Bình phương cả hai vế: \[3x - 1 = 16\] \[3x = 17\] \[x = \frac{17}{3}\] Kiểm tra điều kiện xác định: \[3 \left( \frac{17}{3} \right) - 1 = 17 - 1 = 16 \geq 0\] Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = \frac{17}{3}\] Bài 12: a) $\sqrt{\frac{x-1}{16}}$ với $x \geq 1$ Điều kiện xác định: $x \geq 1$ Ta có: \[ \sqrt{\frac{x-1}{16}} = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{x-1}}{4} \] b) $\sqrt{\frac{x}{(x-1)^2}}$ với $x < 1$ Điều kiện xác định: $x < 1$ Ta có: \[ \sqrt{\frac{x}{(x-1)^2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(x-1)^2}} = \frac{\sqrt{x}}{|x-1|} \] Vì $x < 1$, nên $|x-1| = 1-x$. Do đó: \[ \sqrt{\frac{x}{(x-1)^2}} = \frac{\sqrt{x}}{1-x} \] c) $\frac{\sqrt{27}(x-5)}{5}$ với $x \geq 5$ Điều kiện xác định: $x \geq 5$ Ta có: \[ \frac{\sqrt{27}(x-5)}{5} = \frac{3\sqrt{3}(x-5)}{5} \] d) $\frac{\sqrt{(x-4)^2}}{\sqrt{b(x-4)^2}}$ với $x < 4$ Điều kiện xác định: $x < 4$ Ta có: \[ \frac{\sqrt{(x-4)^2}}{\sqrt{b(x-4)^2}} = \frac{|x-4|}{\sqrt{b}|x-4|} \] Vì $x < 4$, nên $|x-4| = 4-x$. Do đó: \[ \frac{\sqrt{(x-4)^2}}{\sqrt{b(x-4)^2}} = \frac{4-x}{\sqrt{b}(4-x)} = \frac{1}{\sqrt{b}} \] Đáp số: a) $\frac{\sqrt{x-1}}{4}$ b) $\frac{\sqrt{x}}{1-x}$ c) $\frac{3\sqrt{3}(x-5)}{5}$ d) $\frac{1}{\sqrt{b}}$ Bài 13: Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \). Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức \(\varrho\). Ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{7}{x - 4} \] Phân thức \(\frac{7}{x - 4}\) có thể viết lại dưới dạng: \[ \frac{7}{x - 4} = \frac{7}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Bước 2: Rút gọn phân thức \(\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - 1\). Ta có: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - 1 = \frac{\sqrt{x} - 1 - (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \] Bước 3: Kết hợp các phân thức đã rút gọn. Biểu thức \(\varrho\) trở thành: \[ \varrho = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{7}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức tổng quát. Tìm mẫu chung của các phân thức trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{7}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 2 + 7}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Do đó: \[ \varrho = \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)^2} \] Vậy biểu thức \(\varrho\) đã được rút gọn là: \[ \varrho = \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)^2} \] Bài 14: Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \). a) Rút gọn biểu thức \( M \): \[ M = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right) \left( \frac{2}{x} - \frac{2-x}{\sqrt{x}+x} \right) \] Trước tiên, ta rút gọn từng phần của biểu thức: Phần 1: \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}}{x-1} \) Chúng ta có thể viết lại \( x-1 \) dưới dạng \( (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) \): \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \] Tìm mẫu chung là \( (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) \): \[ = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1) + \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \] Phần 2: \( \frac{2}{x} - \frac{2-x}{\sqrt{x}+x} \) Chúng ta có thể viết lại \( x \) dưới dạng \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \): \[ \frac{2}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} - \frac{2-x}{\sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} \] Tìm mẫu chung là \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x}) \): \[ = \frac{2(\sqrt{x} + \sqrt{x}) - (2-x)\sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x})} \] \[ = \frac{2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 2\sqrt{x} + x\sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x})} \] \[ = \frac{2\sqrt{x} + x\sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x})} \] \[ = \frac{\sqrt{x}(2 + x)}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x})} \] \[ = \frac{2 + x}{\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x})} \] \[ = \frac{2 + x}{x + \sqrt{x}} \] Bây giờ, nhân hai phần đã rút gọn lại với nhau: \[ M = \left( \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \right) \left( \frac{2 + x}{x + \sqrt{x}} \right) \] \[ = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)(2 + x)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x + \sqrt{x})} \] \[ = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)(2 + x)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)x} \] \[ = \frac{(\sqrt{x}+2)(2 + x)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \] \[ = \frac{(\sqrt{x}+2)(2 + x)}{x - 1} \] Vậy biểu thức \( M \) đã được rút gọn thành: \[ M = \frac{(\sqrt{x}+2)(2 + x)}{x - 1} \]