........................... Câu 8. Đơn giản biểu thức $P=\frac{1+\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}.$,$A.~P=-1+2 an^2\alpha.$ $B.~P=1-2 an^2\alpha.$ $C.~P=-1-2 an^2\alpha.$ $D.~P=1+2 an^2\alpha.$

Question

........................... Câu 8. Đơn giản biểu thức $P=\frac{1+\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}.$,$A.~P=-1+2	an^2\alpha.$ $B.~P=1-2	an^2\alpha.$ $C.~P=-1-2	an^2\alpha.$ $D.~P=1+2	an^2\alpha.$

Accepted Answer

Câu 8.
Để đơn giản biểu thức $ P = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta nhận thấy rằng $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $. Do đó, ta có thể viết lại biểu thức $ P $ như sau:
$$ P = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}. $$

Bước 2: Ta chia cả tử và mẫu của phân thức này cho $ \cos^2 \alpha $:
$$ P = \frac{\frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{1}. $$

Bước 3: Ta biết rằng $ \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \sec^2 \alpha $ và $ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha $. Do đó, ta có:
$$ P = \sec^2 \alpha + \tan^2 \alpha. $$

Bước 4: Ta biết rằng $ \sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha $. Do đó, ta có thể thay thế vào biểu thức:
$$ P = (1 + \tan^2 \alpha) + \tan^2 \alpha = 1 + 2\tan^2 \alpha. $$

Vậy, biểu thức $ P $ được đơn giản thành:
$$ P = 1 + 2\tan^2 \alpha. $$

Do đó, đáp án đúng là:
D. $ P = 1 + 2\tan^2 \alpha $.

Đáp số: D. $ P = 1 + 2\tan^2 \alpha $.