Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 1. Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, ta cần đảm bảo rằng các vectơ đối边相等，即 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)。 首先，我们计算向量 \(\overrightarrow{AB}\)： \[ \overrightarrow{AB} = (1 - (-2), 5 - 2) = (3, 3) \] 接下来，我们需要找到点 \(D(x, y)\)，使得 \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\)。向量 \(\overrightarrow{DC}\) 可以表示为： \[ \overrightarrow{DC} = (4 - x, 4 - y) \] 由于 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)，我们可以得到以下方程组： \[ 4 - x = 3 \\ 4 - y = 3 \] 解这个方程组，我们得到： \[ x = 4 - 3 = 1 \\ y = 4 - 3 = 1 \] 因此，点 \(D\) 的坐标是 \((1, 1)\)。 最终答案是：点 \(D\) 的坐标是 \((1, 1)\)。 Bài 2. Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, ta cần đảm bảo rằng các vectơ đối边相等，即 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)。 首先，我们计算向量 \(\overrightarrow{AB}\)： \[ \overrightarrow{AB} = (2 - (-1), 1 - 2) = (3, -1) \] 接下来，我们需要找到点 \(D(x, y)\)，使得 \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\)。向量 \(\overrightarrow{DC}\) 可以表示为： \[ \overrightarrow{DC} = (6 - x, 3 - y) \] 由于 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)，我们可以得到以下方程组： \[ 6 - x = 3 \\ 3 - y = -1 \] 解这个方程组，我们得到： \[ x = 6 - 3 = 3 \\ y = 3 + 1 = 4 \] 因此，点 \(D\) 的坐标是 \((3, 4)\)。 最终答案是：点 \(D\) 的坐标是 \((3, 4)\)。 Bài 3. Để chứng minh rằng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{IJ}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vectơ liên quan: - Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$. - Ta có $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}$. - Ta có $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{I}$. 2. Tìm vectơ $\overrightarrow{IJ}$: - Vì I là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2}$. - Vì J là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{J} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}}{2}$. - Do đó, $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}}{2} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}}{2}$. 3. Tính tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$: - Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$. - Ta có $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}$. - Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}$. 4. So sánh $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ và $2\overrightarrow{IJ}$: - Ta đã có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}$. - Ta cũng đã có $\overrightarrow{IJ} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}}{2}$. - Do đó, $2\overrightarrow{IJ} = 2 \cdot \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}}{2} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}$. Như vậy, ta đã chứng minh được $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{IJ}$. Bài 4. a) Ta có: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) + (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}) \] \[ = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \] \[ = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \] \[ = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \] \[ = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \] \[ = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \] Ta cũng có: \[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED}) + (\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FC}) \] \[ = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FC} \] \[ = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FC} \] \[ = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FC} \] \[ = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FC} \] \[ = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \] Mặt khác, ta có: \[ \overrightarrow{EF} = \frac{\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC}}{2} = \frac{\overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC}}{2} \] Như vậy: \[ 2\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} \] Từ đó suy ra: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{EF} \] b) Gọi G là trung điểm của EF. Ta có: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = (\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EA}) + (\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EB}) + (\overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FC}) + (\overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FD}) \] \[ = 2\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + 2\overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{FD} \] \[ = 2(\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GF}) + (\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB}) + (\overrightarrow{FC} + \overrightarrow{FD}) \] \[ = 2\overrightarrow{GG} + (\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB}) + (\overrightarrow{FC} + \overrightarrow{FD}) \] \[ = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} \] \[ = \overrightarrow{0} \] Vậy: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \] Bài 5. Trước tiên, ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ trong hình bình hành để chứng minh đẳng thức đã cho. 1. Ta biết rằng trong hình bình hành ABCD, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \] 2. Bây giờ, ta sẽ nhân cả hai vế của đẳng thức này với 2: \[ 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = 2\overrightarrow{AC} \] Điều này tương đương với: \[ 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AC} \] 3. Ta thêm \(\overrightarrow{AB}\) vào cả hai vế của đẳng thức ban đầu: \[ \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} \] Điều này tương đương với: \[ 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} \] 4. Ta nhận thấy rằng \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\). Thay vào, ta có: \[ 3\overrightarrow{AB} + 2(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} \] Điều này tương đương với: \[ 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} \] 5. Cuối cùng, ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} + (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \] Điều này tương đương với: \[ \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} \] \[ 3\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AC} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AC} \] Bài 6. Trước tiên, ta cần biết rằng trọng tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2:1, với đoạn gần đỉnh gấp đôi đoạn gần cạnh đáy. Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC và G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Ta sẽ chứng minh rằng: \[ \overrightarrow{3GG'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} \] Bước 1: Xác định các trọng tâm G và G' - Trọng tâm G của tam giác ABC là: \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] - Trọng tâm G' của tam giác A'B'C' là: \[ \overrightarrow{G'} = \frac{\overrightarrow{A'} + \overrightarrow{B'} + \overrightarrow{C'}}{3} \] Bước 2: Tính vectơ $\overrightarrow{GG'}$ \[ \overrightarrow{GG'} = \overrightarrow{G'} - \overrightarrow{G} \] Thay các giá trị của $\overrightarrow{G}$ và $\overrightarrow{G'}$ vào: \[ \overrightarrow{GG'} = \left( \frac{\overrightarrow{A'} + \overrightarrow{B'} + \overrightarrow{C'}}{3} \right) - \left( \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \right) \] \[ \overrightarrow{GG'} = \frac{\overrightarrow{A'} + \overrightarrow{B'} + \overrightarrow{C'} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{3} \] Bước 3: Nhân cả hai vế với 3 \[ 3 \cdot \overrightarrow{GG'} = \overrightarrow{A'} + \overrightarrow{B'} + \overrightarrow{C'} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \] Bước 4: Chuyển đổi biểu thức \[ 3 \cdot \overrightarrow{GG'} = (\overrightarrow{A'} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{B'} - \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C'} - \overrightarrow{C}) \] Bước 5: Nhận thấy rằng: \[ \overrightarrow{A'} - \overrightarrow{A} = \overrightarrow{AA'}, \quad \overrightarrow{B'} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{BB'}, \quad \overrightarrow{C'} - \overrightarrow{C} = \overrightarrow{CC'} \] Do đó: \[ 3 \cdot \overrightarrow{GG'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \overrightarrow{3GG'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} \]