cho hình vuông abcd , e là trung điểm trên cạnh dc, f là trung điểm trên tia đối của tia bc sao cho hình vuông bf=de a) cm tam giác aef vuông cân b) gọi i là trung điểm của ef . cm i thuộc bd c) lấy k...

a) Ta có DE = BF nên DF = BE. Xét tam giác ADF và tam giác ABE có: AD = AB (hình vuông) DF = BE (chứng minh trên) $\widehat{ADF} = \widehat{ABE} = 90^\circ$ Do đó tam giác ADF và tam giác ABE bằng nhau (cạnh góc vuông và cạnh huyền) Suy ra AF = AE và $\widehat{DAF} = \widehat{BAE}$. Mà $\widehat{DAF} + \widehat{BAE} = 90^\circ$ nên $\widehat{FAE} = 90^\circ$. Vậy tam giác AEF là tam giác vuông cân tại A. b) Ta có I là trung điểm của EF nên AI là đường trung tuyến của tam giác AEF. Mà tam giác AEF là tam giác vuông cân tại A nên AI cũng là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy EF. Do đó AI vuông góc với EF. Ta lại có BD là đường chéo của hình vuông ABCD nên BD vuông góc với AC tại O (giao điểm của hai đường chéo). Mà AC song song với EF (vì cả hai đều vuông góc với BD) nên AI song song với AC. Vậy I nằm trên BD (vì AI song song với AC và vuông góc với BD). c) Vì K đối xứng với A qua I nên AK = IK và AK vuông góc với IK. Lại có AE = AF (chứng minh ở phần a) và EF = EF (cùng một đoạn thẳng) nên tam giác AEF và tam giác KFE bằng nhau (cạnh huyền và hai cạnh góc vuông). Suy ra KE = AF và $\widehat{AEF} = \widehat{KFE}$. Mà $\widehat{AEF} + \widehat{AFE} = 90^\circ$ nên $\widehat{KFE} + \widehat{AFE} = 90^\circ$. Vậy $\widehat{AFK} = 90^\circ$. Từ đó ta có tứ giác AEFK có các góc vuông ở đỉnh A và đỉnh K, và các cạnh đối bằng nhau (AE = FK và AF = EK). Vậy tứ giác AEFK là hình vuông.