Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 5: Để tính khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các phân vị: - Tìm phân vị thứ 1 (P1) và phân vị thứ 3 (P3). 2. Tìm phân vị thứ 1 (P1): - P1 nằm ở vị trí $\frac{1}{4} \times 50 = 12.5$. - Do đó, P1 nằm trong khoảng từ 4 đến 6 triệu đồng. 3. Tìm phân vị thứ 3 (P3): - P3 nằm ở vị trí $\frac{3}{4} \times 50 = 37.5$. - Do đó, P3 nằm trong khoảng từ 8 đến 10 triệu đồng. 4. Tính khoảng tử phân vị: - Khoảng tử phân vị = P3 - P1. Bây giờ, chúng ta sẽ tính cụ thể hơn: - Phân vị thứ 1 (P1): - Tổng số lượng trong các nhóm trước khi đến nhóm chứa P1 là 5 + 7 = 12. - P1 nằm trong nhóm từ 4 đến 6 triệu đồng. - Số lượng trong nhóm này là 10. - Vị trí của P1 trong nhóm này là 12.5 - 12 = 0.5. - P1 = 4 + (0.5 / 10) (6 - 4) = 4 + 0.1 = 4.1 triệu đồng. - Phân vị thứ 3 (P3): - Tổng số lượng trong các nhóm trước khi đến nhóm chứa P3 là 5 + 7 + 10 + 12 = 34. - P3 nằm trong nhóm từ 8 đến 10 triệu đồng. - Số lượng trong nhóm này là 16. - Vị trí của P3 trong nhóm này là 37.5 - 34 = 3.5. - P3 = 8 + (3.5 / 16) (10 - 8) = 8 + 0.4375 = 8.4375 triệu đồng. - Khoảng tử phân vị: - Khoảng tử phân vị = P3 - P1 = 8.4375 - 4.1 = 4.3375 triệu đồng. Do đó, khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 4.34 triệu đồng (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 6: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng: - Tính trung tâm của mỗi nhóm. - Nhân tần số của mỗi nhóm với trung tâm của nhóm đó. - Cộng tất cả các giá trị đã nhân và chia cho tổng số lượng mẫu. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi giá trị trung tâm và trung bình cộng. - Nhân mỗi bình phương này với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị đã nhân và chia cho tổng số lượng mẫu. 3. Tính độ lệch chuẩn: - Lấy căn bậc hai của phương sai. Bây giờ, ta thực hiện từng bước: Bước 1: Tính trung bình cộng | Nhóm | Trung tâm | Tần số | Trung tâm × Tần số | |------|-----------|--------|-------------------| | [160; 164) | 162 | 3 | 162 × 3 = 486 | | [164; 168) | 166 | 8 | 166 × 8 = 1328 | | [168; 172) | 170 | 18 | 170 × 18 = 3060 | | [172; 176) | 174 | 12 | 174 × 12 = 2088 | | [176; 180) | 178 | 9 | 178 × 9 = 1602 | Tổng trung tâm × tần số: \[ 486 + 1328 + 3060 + 2088 + 1602 = 8564 \] Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{8564}{50} = 171.28 \] Bước 2: Tính phương sai | Nhóm | Trung tâm | Tần số | (Trung tâm - Trung bình) | Bình phương | Bình phương × Tần số | |------|-----------|--------|-------------------------|-------------|---------------------| | [160; 164) | 162 | 3 | 162 - 171.28 = -9.28 | (-9.28)^2 = 86.1184 | 86.1184 × 3 = 258.3552 | | [164; 168) | 166 | 8 | 166 - 171.28 = -5.28 | (-5.28)^2 = 27.8784 | 27.8784 × 8 = 223.0272 | | [168; 172) | 170 | 18 | 170 - 171.28 = -1.28 | (-1.28)^2 = 1.6384 | 1.6384 × 18 = 29.4912 | | [172; 176) | 174 | 12 | 174 - 171.28 = 2.72 | (2.72)^2 = 7.3984 | 7.3984 × 12 = 88.7808 | | [176; 180) | 178 | 9 | 178 - 171.28 = 6.72 | (6.72)^2 = 45.1584 | 45.1584 × 9 = 406.4256 | Tổng bình phương × tần số: \[ 258.3552 + 223.0272 + 29.4912 + 88.7808 + 406.4256 = 1006.08 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{1006.08}{50} = 20.1216 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{20.1216} \approx 4.49 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là 4.49 cm (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 7: Để tìm số lượng đơn vị sản phẩm cần sản xuất và bán ra để đạt lợi nhuận lớn nhất, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực đại của hàm số \( P(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( P(x) \): \[ P'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 450x^2 + 52500x) \] \[ P'(x) = -3x^2 + 900x + 52500 \] Bước 2: Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình \( P'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 900x + 52500 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ x^2 - 300x - 17500 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -300 \), \( c = -17500 \): \[ x = \frac{300 \pm \sqrt{(-300)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17500)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{300 \pm \sqrt{90000 + 70000}}{2} \] \[ x = \frac{300 \pm \sqrt{160000}}{2} \] \[ x = \frac{300 \pm 400}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{300 + 400}{2} = 350 \] \[ x_2 = \frac{300 - 400}{2} = -50 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện thực tế: - \( x = 350 \) là giá trị dương và hợp lý trong ngữ cảnh sản xuất. - \( x = -50 \) là giá trị âm và không hợp lý trong ngữ cảnh này. Bước 5: Xác nhận giá trị cực đại: Tính đạo hàm thứ hai của \( P(x) \): \[ P''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 900x + 52500) \] \[ P''(x) = -6x + 900 \] Kiểm tra tại \( x = 350 \): \[ P''(350) = -6 \cdot 350 + 900 = -2100 + 900 = -1200 \] Vì \( P''(350) < 0 \), nên \( x = 350 \) là điểm cực đại của hàm số \( P(x) \). Kết luận: Để đạt lợi nhuận lớn nhất, công ty cần sản xuất và bán ra 350 đơn vị sản phẩm. Câu 8: Để tìm số lượng tối đa của quần thể cá, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( N(t) = \frac{20(4 + 3t)}{1 + 0,05t} \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( N(t) \): \[ N'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{20(4 + 3t)}{1 + 0,05t} \right) \] Áp dụng quy tắc thương: \[ N'(t) = \frac{(20 \cdot 3)(1 + 0,05t) - (20(4 + 3t))(0,05)}{(1 + 0,05t)^2} \] \[ N'(t) = \frac{60(1 + 0,05t) - 1(4 + 3t)}{(1 + 0,05t)^2} \] \[ N'(t) = \frac{60 + 3t - 4 - 0,15t}{(1 + 0,05t)^2} \] \[ N'(t) = \frac{56 + 2,85t}{(1 + 0,05t)^2} \] Bước 2: Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình \( N'(t) = 0 \): \[ \frac{56 + 2,85t}{(1 + 0,05t)^2} = 0 \] \[ 56 + 2,85t = 0 \] \[ t = -\frac{56}{2,85} \approx -19,65 \] Vì thời gian \( t \) không thể là số âm, ta cần kiểm tra giới hạn của \( N(t) \) khi \( t \to \infty \): \[ \lim_{t \to \infty} N(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{20(4 + 3t)}{1 + 0,05t} \] \[ = \lim_{t \to \infty} \frac{20 \cdot 3t}{0,05t} \] \[ = \lim_{t \to \infty} \frac{60t}{0,05t} \] \[ = \lim_{t \to \infty} 1200 \] \[ = 1200 \] Do đó, số lượng tối đa của quần thể cá là 1200 nghìn con. Đáp số: Số lượng tối đa của quần thể cá là 1200 nghìn con. Câu 9: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}(2;1;-1)\) và \(\overrightarrow{v}(1;-1;m)\) tạo với nhau một góc \(60^\circ\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot m = 2 - 1 - m = 1 - m \] 2. Tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + m^2} = \sqrt{1 + 1 + m^2} = \sqrt{2 + m^2} \] 3. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} \] Vì góc giữa hai vectơ là \(60^\circ\), ta có: \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \frac{1 - m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2 + m^2}} = \frac{1}{2} \] 4. Giải phương trình để tìm \( m \): \[ \frac{1 - m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2 + m^2}} = \frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với \(2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2 + m^2}\): \[ 2(1 - m) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2 + m^2} \] Bình phương cả hai vế: \[ 4(1 - m)^2 = 6(2 + m^2) \] Mở ngoặc và giản ước: \[ 4(1 - 2m + m^2) = 12 + 6m^2 \] \[ 4 - 8m + 4m^2 = 12 + 6m^2 \] Chuyển tất cả về một vế: \[ 4 - 8m + 4m^2 - 12 - 6m^2 = 0 \] \[ -2m^2 - 8m - 8 = 0 \] Chia cả phương trình cho -2: \[ m^2 + 4m + 4 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai hoàn chỉnh: \[ (m + 2)^2 = 0 \] Giải phương trình này: \[ m + 2 = 0 \implies m = -2 \] Vậy giá trị của \( m \) là \( m = -2 \). Đáp số: \( m = -2 \) Câu 10: Để tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng của một số quả bưởi da xanh, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trung điểm của mỗi nhóm: - Nhóm [1,2;1,3): Trung điểm là $\frac{1,2 + 1,3}{2} = 1,25$ - Nhóm [1,3;1,4): Trung điểm là $\frac{1,3 + 1,4}{2} = 1,35$ - Nhóm [1,4;1,5): Trung điểm là $\frac{1,4 + 1,5}{2} = 1,45$ - Nhóm [1,5;1,6): Trung điểm là $\frac{1,5 + 1,6}{2} = 1,55$ - Nhóm [1,6;1,7): Trung điểm là $\frac{1,6 + 1,7}{2} = 1,65$ 2. Nhân tần số của mỗi nhóm với trung điểm tương ứng: - Nhóm [1,2;1,3): $8 \times 1,25 = 10$ - Nhóm [1,3;1,4): $21 \times 1,35 = 28,35$ - Nhóm [1,4;1,5): $8 \times 1,45 = 11,6$ - Nhóm [1,5;1,6): $7 \times 1,55 = 10,85$ - Nhóm [1,6;1,7): $6 \times 1,65 = 9,9$ 3. Tính tổng của các giá trị đã nhân: \[ 10 + 28,35 + 11,6 + 10,85 + 9,9 = 70,7 \] 4. Tính tổng tần số: \[ 8 + 21 + 8 + 7 + 6 = 50 \] 5. Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: \[ \text{Số trung bình} = \frac{70,7}{50} = 1,414 \] 6. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ 1,414 \approx 1,41 \] Vậy, số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng của một số quả bưởi da xanh là 1,41 (kg). Câu 11: Để tính độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung vị của mỗi nhóm: - Nhóm [6,5; 7): Trung vị là $\frac{6,5 + 7}{2} = 6,75$ - Nhóm [7; 7,5): Trung vị là $\frac{7 + 7,5}{2} = 7,25$ - Nhóm [7,5; 8): Trung vị là $\frac{7,5 + 8}{2} = 7,75$ - Nhóm [8; 8,5): Trung vị là $\frac{8 + 8,5}{2} = 8,25$ 2. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh = 5 + 12 + 15 + 3 = 35 học sinh 3. Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(6,75 \times 5) + (7,25 \times 12) + (7,75 \times 15) + (8,25 \times 3)}{35} \] \[ \bar{x} = \frac{33,75 + 87 + 116,25 + 24,75}{35} = \frac{261,75}{35} \approx 7,48 \] 4. Tính phương sai: Phương sai \( S^2 \) được tính theo công thức: \[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó, \( f_i \) là tần số của nhóm, \( x_i \) là trung vị của nhóm, và \( n \) là tổng số học sinh. Ta tính từng phần: \[ (6,75 - 7,48)^2 \times 5 = (-0,73)^2 \times 5 = 0,5329 \times 5 = 2,6645 \] \[ (7,25 - 7,48)^2 \times 12 = (-0,23)^2 \times 12 = 0,0529 \times 12 = 0,6348 \] \[ (7,75 - 7,48)^2 \times 15 = (0,27)^2 \times 15 = 0,0729 \times 15 = 1,0935 \] \[ (8,25 - 7,48)^2 \times 3 = (0,77)^2 \times 3 = 0,5929 \times 3 = 1,7787 \] Tổng phương sai: \[ S^2 = \frac{2,6645 + 0,6348 + 1,0935 + 1,7787}{35} = \frac{6,1715}{35} \approx 0,1763 \] 5. Tính độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn \( S \) là căn bậc hai của phương sai: \[ S = \sqrt{0,1763} \approx 0,42 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 0,42 giờ (làm tròn đến hàng phần trăm).