Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức \( A \): Đầu tiên, ta xét từng phân thức trong biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{2x - x^2}{2x^2 + 8} - \frac{2x^2}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} \right) \left( \frac{2}{x^2} + \frac{1 - x}{x} \right) \] Ta thấy rằng: \[ 2x^2 + 8 = 2(x^2 + 4) \] \[ x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x - 2) + 4(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 4) \] Do đó: \[ \frac{2x - x^2}{2(x^2 + 4)} = \frac{-x(x - 2)}{2(x^2 + 4)} \] \[ \frac{2x^2}{(x - 2)(x^2 + 4)} \] Tiếp theo, ta rút gọn biểu thức: \[ \frac{2}{x^2} + \frac{1 - x}{x} = \frac{2 + x(1 - x)}{x^2} = \frac{2 + x - x^2}{x^2} \] Bây giờ, ta có: \[ A = \left( \frac{-x(x - 2)}{2(x^2 + 4)} - \frac{2x^2}{(x - 2)(x^2 + 4)} \right) \left( \frac{2 + x - x^2}{x^2} \right) \] Rút gọn tiếp: \[ A = \left( \frac{-x(x - 2) - 2x^2}{2(x - 2)(x^2 + 4)} \right) \left( \frac{2 + x - x^2}{x^2} \right) \] \[ A = \left( \frac{-x^2 + 2x - 2x^2}{2(x - 2)(x^2 + 4)} \right) \left( \frac{2 + x - x^2}{x^2} \right) \] \[ A = \left( \frac{-3x^2 + 2x}{2(x - 2)(x^2 + 4)} \right) \left( \frac{2 + x - x^2}{x^2} \right) \] \[ A = \left( \frac{-x(3x - 2)}{2(x - 2)(x^2 + 4)} \right) \left( \frac{2 + x - x^2}{x^2} \right) \] 2) Tính giá trị của \( A \) biết \( x \) thỏa mãn \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \): Giải phương trình \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \): \[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \] \[ (2x - 1)(x - 2) = 0 \] \[ x = \frac{1}{2} \text{ hoặc } x = 2 \] Vì \( x \neq 2 \), ta có \( x = \frac{1}{2} \). Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{-\frac{1}{2}(3 \cdot \frac{1}{2} - 2)}{2(\frac{1}{2} - 2)(\frac{1}{4} + 4)} \right) \left( \frac{2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} \right) \] \[ A = \left( \frac{-\frac{1}{2}(\frac{3}{2} - 2)}{2(-\frac{3}{2})(\frac{17}{4})} \right) \left( \frac{2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} \right) \] \[ A = \left( \frac{-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})}{2(-\frac{3}{2})(\frac{17}{4})} \right) \left( \frac{\frac{8}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} \right) \] \[ A = \left( \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{51}{4}} \right) \left( \frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{4}} \right) \] \[ A = \left( -\frac{1}{51} \right) \left( 9 \right) \] \[ A = -\frac{9}{51} = -\frac{3}{17} \] 3) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên: Để \( A \) nhận giá trị nguyên, ta cần \( \frac{-x(3x - 2)}{2(x - 2)(x^2 + 4)} \) và \( \frac{2 + x - x^2}{x^2} \) đều là số nguyên. Kiểm tra các giá trị nguyên của \( x \): - \( x = 1 \): \( A = \left( \frac{-1(3 \cdot 1 - 2)}{2(1 - 2)(1^2 + 4)} \right) \left( \frac{2 + 1 - 1^2}{1^2} \right) = \left( \frac{-1}{-10} \right) \left( 2 \right) = \frac{1}{5} \times 2 = \frac{2}{5} \) (không phải số nguyên) - \( x = -1 \): \( A = \left( \frac{-(-1)(3 \cdot (-1) - 2)}{2(-1 - 2)((-1)^2 + 4)} \right) \left( \frac{2 - 1 - (-1)^2}{(-1)^2} \right) = \left( \frac{5}{10} \right) \left( 0 \right) = 0 \) (số nguyên) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên là \( x = -1 \). Đáp số: 1) \( A = \left( \frac{-x(3x - 2)}{2(x - 2)(x^2 + 4)} \right) \left( \frac{2 + x - x^2}{x^2} \right) \) 2) \( A = -\frac{3}{17} \) 3) \( x = -1 \) Câu 2: 1) Ta có $P(x)=x^4-2x^3+7x^2+ax+b=(x^2+x+c)^2$ $=x^4+2x^3+(c^2+2c)x^2+2cx+c^2$ So sánh hệ số ta có $-2=2$ (loại) $7=c^2+2c$ $a=2c$ $b=c^2$ Giải hệ phương trình trên ta tìm được $c=-3$ hoặc $c=1$ Với $c=-3$ ta tìm được $a=-6$ và $b=9$ Với $c=1$ ta tìm được $a=2$ và $b=1$ Vậy $(a,b)=(-6,9)$ hoặc $(a,b)=(2,1)$ Nếu $(a,b)=(-6,9)$ thì $P(x)=(x^2+x-3)^2$ $P(7)=(7^2+7-3)^2=55^2=3025$ Nếu $(a,b)=(2,1)$ thì $P(x)=(x^2+x+1)^2$ $P(7)=(7^2+7+1)^2=57^2=3249$ 2) Ta có $ab+bc+ca=1$ $\Rightarrow ab+1=ca+cb$ $\Rightarrow (a+b)(c+1)=(c+a)(b+1)$ $\Rightarrow \frac{a+b}{b+1}=\frac{c+a}{c+1}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{b+1}-1=\frac{c+a}{c+1}-1$ $\Rightarrow \frac{a-1}{b+1}=\frac{c-1}{c+1}$ $\Rightarrow \frac{a-1}{a+1}+\frac{b-1}{b+1}+\frac{c-1}{c+1}=0$ $\Rightarrow \frac{2a}{a+1}+\frac{2b}{b+1}+\frac{2c}{c+1}=3$ $\Rightarrow \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=\frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}=\frac{a+b+c-abc}{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}$ $\Rightarrow Q=0$ Câu 3: 1) Ta có: $2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$ $\Leftrightarrow x(y^2-xy+x)+y(1-y)=0$ $\Leftrightarrow x(y-x)(y+1)+y(1-y)=0$ $\Leftrightarrow (y-x)(xy+x)-y(y-1)=0$ $\Leftrightarrow (y-x)(xy+x-y)=0$ $\Rightarrow y=x$ hoặc $xy+x=y$ Nếu $y=x$ thì thay vào ta có $x^3-x^2-x+1=0$ $\Leftrightarrow (x-1)(x^2+1)=0$ $\Rightarrow x=1$ hoặc $x^2=-1$ (loại) Vậy ta có $(x,y)=(1,1)$ Nếu $xy+x=y$ thì $x(y+1)=y$ $\Rightarrow y+1|y$ (loại) Vậy cặp số duy nhất là $(1,1)$ 2) Ta có $\frac{x^2+py^2}{xy}$ là số nguyên $\Rightarrow xy|x^2+py^2$ $\Rightarrow x|py^2$ $\Rightarrow x|y$ (vì p là số nguyên tố) Tương tự $y|x$ $\Rightarrow x=y$ Thay vào ta có $\frac{x^2+py^2}{xy}=\frac{x^2+px^2}{x^2}=p+1$ Câu 4: 1) Ta có $\angle QAH = \angle AIB = 90^\circ$. Ta cũng có $\angle AQH = \angle IAB$ vì chúng là góc so le trong do $d \perp AI$ và $AI \parallel CH$. Do đó, $\Delta QAH$ đồng dạng với $\Delta AIB$ theo trường hợp góc - góc. 2) Vì $Q$ là trung điểm của $GH$, ta có $GQ = QH$. Lại có $\angle GQA = \angle HQA = 90^\circ$ nên $\Delta GQA$ đồng dạng với $\Delta HQA$ theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn. Từ đó ta có $\frac{AG}{AQ} = \frac{AQ}{AH}$, suy ra $AG \cdot AH = AQ^2$. Mặt khác, vì $K$ là trung điểm của $BI$, ta có $BK = \frac{1}{2} BI$. Do $\Delta QAH$ đồng dạng với $\Delta AIB$, ta có $\frac{AQ}{AH} = \frac{AI}{IB} = \frac{1}{2}$, suy ra $AQ = \frac{1}{2} AH$. Vậy $AG \cdot BK = AG \cdot \frac{1}{2} BI = AG \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot IB = AG \cdot IB = AK \cdot AH$. Cuối cùng, vì $Q$ là trung điểm của $GH$, ta có $AG = 2AJ$. 3) Vì tam giác $ABC$ cân tại $C$, ta có $AB = AC$ và $BE = CF$. Gọi $O$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Ta có $CE \cdot CN = CF \cdot CO$ (vì $C$ là điểm chung và $E, F, O, N$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEF$). Mặt khác, $FE \cdot FN = FE \cdot FO$ (vì $F$ là điểm chung và $E, O, N$ nằm trên đường thẳng). Vậy $CE \cdot CN - FE \cdot FN = CF \cdot CO - FE \cdot FO = CF^2$ (theo tính chất đường kính và dây cung trong đường tròn). Câu 5: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y + z \) với điều kiện \( x \geq 1 \), \( y \geq 1 \), \( z \geq 1 \) và \( x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 30 \), ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và ước lượng. Bước 1: Xác định giá trị nhỏ nhất của \( x \), \( y \), và \( z \) - Vì \( x \geq 1 \), \( y \geq 1 \), \( z \geq 1 \), ta có thể thử các giá trị nhỏ nhất của \( x \), \( y \), và \( z \) là 1. Bước 2: Thử giá trị \( x = 1 \), \( y = 1 \), \( z = 1 \) - Ta thay vào phương trình \( x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 30 \): \[ 1^2 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1^2 = 1 + 2 + 3 = 6 \] - Kết quả này nhỏ hơn 30, nên ta cần tăng giá trị của \( x \), \( y \), hoặc \( z \). Bước 3: Thử giá trị \( x = 1 \), \( y = 1 \), \( z = 2 \) - Ta thay vào phương trình \( x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 30 \): \[ 1^2 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 2^2 = 1 + 2 + 12 = 15 \] - Kết quả này vẫn nhỏ hơn 30, nên ta cần tiếp tục tăng giá trị của \( z \). Bước 4: Thử giá trị \( x = 1 \), \( y = 1 \), \( z = 3 \) - Ta thay vào phương trình \( x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 30 \): \[ 1^2 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 3^2 = 1 + 2 + 27 = 30 \] - Kết quả này đúng với điều kiện \( x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 30 \). Bước 5: Tính giá trị của biểu thức \( P = x + y + z \) - Với \( x = 1 \), \( y = 1 \), \( z = 3 \): \[ P = 1 + 1 + 3 = 5 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y + z \) là 5, đạt được khi \( x = 1 \), \( y = 1 \), và \( z = 3 \). Đáp số: \( P_{min} = 5 \)