Cousuu tôiiui

Câu 2: Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có bảng biến thiên như sau [](https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/88370c3802774e30acef175653b332de.jpg) Khi đó: a) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2.$ b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1).$ c) Trên khoảng $(-\infty;2).$ hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và có giá trị nhỏ nhất là -2. d) Đồ thị hàm số $y=\frac{2024}{f(x)+1}$ có 4 đường tiệm cận. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Ta xét từng đáp án một: a) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2.$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$. Do đó, đáp án này đúng. b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1).$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;1)$. Do đó, đáp án này sai. c) Trên khoảng $(-\infty;2).$ hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và có giá trị nhỏ nhất là -2. - Từ bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng $(-\infty;2)$, giá trị lớn nhất của hàm số là 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2. Do đó, đáp án này đúng. d) Đồ thị hàm số $y=\frac{2024}{f(x)+1}$ có 4 đường tiệm cận. - Ta xét hàm số $y=\frac{2024}{f(x)+1}$. Để tìm đường tiệm cận đứng, ta cần tìm các giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0, tức là $f(x) + 1 = 0$ hay $f(x) = -1$. Từ bảng biến thiên, ta thấy $f(x) = -1$ tại hai điểm $x = 0$ và $x = 1$. Do đó, đồ thị hàm số $y=\frac{2024}{f(x)+1}$ có hai đường tiệm cận đứng là $x = 0$ và $x = 1$. - Để tìm đường tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2024}{f(x) + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2024}{ax^3 + bx^2 + cx + d + 1} = 0 \] Vì bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số, nên giới hạn này bằng 0. Do đó, đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là $y = 0$. - Vậy tổng cộng, đồ thị hàm số $y=\frac{2024}{f(x)+1}$ có 3 đường tiệm cận (2 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang). Do đó, đáp án này sai. Kết luận: Đáp án đúng là a) và c). Đáp số: a) và c). Câu 3: a) Véc tơ đối của véc tơ $\overrightarrow{AB}$ là véc tơ $\overrightarrow{BA}$, không phải là véc tơ $\overrightarrow{GH}$. Do đó, phát biểu này sai. b) Ta có: - $\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ Do đó: \[ \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \] Nhưng theo đề bài, $\overrightarrow{EH} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EG}$. Ta kiểm tra lại: \[ \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} \] Vậy phát biểu này đúng. c) Điểm M là trung điểm của cạnh HD. Ta tính toạ độ của M: - Điểm H có toạ độ (0, 2, 2) - Điểm D có toạ độ (0, 2, 0) Trung điểm M của HD sẽ có toạ độ: \[ M = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{2+0}{2} \right) = (0, 2, 1) \] Vậy phát biểu này đúng. d) Ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC}$: - Điểm A có toạ độ (0, 0, 0) - Điểm M có toạ độ (0, 2, 1) - Điểm C có toạ độ (2, 2, 0) Véc tơ $\overrightarrow{AM}$: \[ \overrightarrow{AM} = (0 - 0, 2 - 0, 1 - 0) = (0, 2, 1) \] Véc tơ $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = (2 - 0, 2 - 0, 0 - 0) = (2, 2, 0) \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = (0, 2, 1) \cdot (2, 2, 0) = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 0 + 4 + 0 = 4 \] Vậy phát biểu này sai. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Đúng - d) Sai Câu 4: a) $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$: - Vì M là trung điểm của BB', nên $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$. Đúng. b) $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$: - Ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$. - Mà $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$, nên $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$. Đúng. c) $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$: - Ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$. - Mà $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$, nên $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$. - Ta thấy $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}$, nên $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB'} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$. - Do đó, $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$. Đúng. d) $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$: - Ta biết rằng trọng tâm G của tam giác ABC chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2 : 1. - Do đó, $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$. - Ta có $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}$. - Suy ra $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{0} = 3\overrightarrow{MG}$. Đúng. Vậy cả 4 phát biểu đều đúng.