Giúp mình với!

a) $\sqrt{8} - 4\sqrt{2} + \sqrt{72} - 3\sqrt{50}$ Ta thực hiện phép cộng trừ các căn bậc hai như sau: \[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \] \[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \] \[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 3 \times 5\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 15\sqrt{2} \] Cộng trừ các số hạng: \[ (2 - 4 + 6 - 15)\sqrt{2} = -11\sqrt{2} \] Vậy: \[ \sqrt{8} - 4\sqrt{2} + \sqrt{72} - 3\sqrt{50} = -11\sqrt{2} \] b) $\sqrt{(2\sqrt{6} - 4)^2} + \sqrt{(\sqrt{6} - 3)^2}$ Ta biết rằng $\sqrt{a^2} = |a|$, do đó: \[ \sqrt{(2\sqrt{6} - 4)^2} = |2\sqrt{6} - 4| \] \[ \sqrt{(\sqrt{6} - 3)^2} = |\sqrt{6} - 3| \] Ta cần kiểm tra dấu của các biểu thức trong trị tuyệt đối: - $2\sqrt{6} \approx 2 \times 2.45 = 4.9$, nên $2\sqrt{6} - 4 > 0$. Do đó, $|2\sqrt{6} - 4| = 2\sqrt{6} - 4$ - $\sqrt{6} \approx 2.45$, nên $\sqrt{6} - 3 < 0$. Do đó, $|\sqrt{6} - 3| = -( \sqrt{6} - 3 ) = 3 - \sqrt{6}$ Vậy: \[ \sqrt{(2\sqrt{6} - 4)^2} + \sqrt{(\sqrt{6} - 3)^2} = (2\sqrt{6} - 4) + (3 - \sqrt{6}) = 2\sqrt{6} - 4 + 3 - \sqrt{6} = \sqrt{6} - 1 \] c) $\frac{3}{3 - \sqrt{7}} - \frac{3}{3 + \sqrt{7}}$ Ta có thể quy đồng mẫu số để trừ hai phân số này: \[ \frac{3}{3 - \sqrt{7}} - \frac{3}{3 + \sqrt{7}} = \frac{3(3 + \sqrt{7}) - 3(3 - \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})} \] Tính tử số: \[ 3(3 + \sqrt{7}) - 3(3 - \sqrt{7}) = 9 + 3\sqrt{7} - 9 + 3\sqrt{7} = 6\sqrt{7} \] Tính mẫu số: \[ (3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2 \] Vậy: \[ \frac{3}{3 - \sqrt{7}} - \frac{3}{3 + \sqrt{7}} = \frac{6\sqrt{7}}{2} = 3\sqrt{7} \] Đáp số: a) $-11\sqrt{2}$ b) $\sqrt{6} - 1$ c) $3\sqrt{7}$ Câu 2: a) $\sqrt{4x^2+4x+1}=5$ Điều kiện xác định: $4x^2 + 4x + 1 \geq 0$ (luôn đúng với mọi x) Bình phương hai vế: \[4x^2 + 4x + 1 = 25\] \[4x^2 + 4x - 24 = 0\] Chia cả hai vế cho 4: \[x^2 + x - 6 = 0\] Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, ta sử dụng công thức nghiệm: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}\] \[x = \frac{-1 \pm 5}{2}\] \[x_1 = 2, x_2 = -3\] b) $\frac{1}{2}\sqrt{12x-4} + 2\sqrt{75x-25} = -\sqrt{3x-1} + 36$ Điều kiện xác định: $12x - 4 \geq 0$, $75x - 25 \geq 0$, $3x - 1 \geq 0$ \[x \geq \frac{1}{3}\] Nhân cả hai vế với 2: \[\sqrt{12x-4} + 4\sqrt{75x-25} = -2\sqrt{3x-1} + 72\] Đặt $t = \sqrt{3x-1}$, ta có: \[2t + 4(5t) = -2t + 72\] \[2t + 20t = -2t + 72\] \[24t = 72\] \[t = 3\] Do đó: \[\sqrt{3x-1} = 3\] \[3x - 1 = 9\] \[3x = 10\] \[x = \frac{10}{3}\] c) $\frac{x-3}{3} - \frac{x-1}{6} \leq \frac{x+2}{4} + 2$ Quy đồng mẫu số: \[\frac{2(x-3)}{6} - \frac{x-1}{6} \leq \frac{x+2}{4} + 2\] \[\frac{2x - 6 - x + 1}{6} \leq \frac{x+2}{4} + 2\] \[\frac{x - 5}{6} \leq \frac{x+2}{4} + 2\] Quy đồng mẫu số: \[\frac{2(x - 5)}{12} \leq \frac{3(x + 2)}{12} + \frac{24}{12}\] \[2x - 10 \leq 3x + 6 + 24\] \[2x - 10 \leq 3x + 30\] \[-10 - 30 \leq x\] \[x \geq -40\] d) $\frac{x-5}{x+5} - \frac{2x}{x-5} = \frac{x(x+10)}{25-x^2}$ Điều kiện xác định: $x \neq \pm 5$ Quy đồng mẫu số: \[\frac{(x-5)^2 - 2x(x+5)}{(x+5)(x-5)} = \frac{x(x+10)}{(5-x)(5+x)}\] \[(x-5)^2 - 2x(x+5) = -x(x+10)\] \[x^2 - 10x + 25 - 2x^2 - 10x = -x^2 - 10x\] \[-x^2 - 20x + 25 = -x^2 - 10x\] \[-20x + 25 = -10x\] \[25 = 10x\] \[x = \frac{5}{2}\] Câu 3: 1) a) Với $m=2$, ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 2 \\ 3x + 2y = 5 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 4x - 2y = 4 \] Cộng phương trình này với phương trình thứ hai: \[ (4x - 2y) + (3x + 2y) = 4 + 5 \\ 7x = 9 \\ x = \frac{9}{7} \] Thay $x = \frac{9}{7}$ vào phương trình $2x - y = 2$: \[ 2 \cdot \frac{9}{7} - y = 2 \\ \frac{18}{7} - y = 2 \\ y = \frac{18}{7} - 2 \\ y = \frac{18}{7} - \frac{14}{7} \\ y = \frac{4}{7} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(\frac{9}{7}, \frac{4}{7}\right)$. b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần: \[ m \neq -3 \] Giả sử hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y)$ thỏa mãn $x + y = 1 - \frac{m^2}{m^2 + 3}$. Từ hệ phương trình: \[ mx - y = 2 \quad \text{(1)} \] \[ 3x + my = 5 \quad \text{(2)} \] Nhân phương trình (1) với $m$: \[ m^2x - my = 2m \quad \text{(3)} \] Cộng phương trình (2) và (3): \[ (m^2 + 3)x = 2m + 5 \\ x = \frac{2m + 5}{m^2 + 3} \] Thay $x = \frac{2m + 5}{m^2 + 3}$ vào phương trình (1): \[ m \cdot \frac{2m + 5}{m^2 + 3} - y = 2 \\ y = m \cdot \frac{2m + 5}{m^2 + 3} - 2 \\ y = \frac{2m^2 + 5m - 2(m^2 + 3)}{m^2 + 3} \\ y = \frac{2m^2 + 5m - 2m^2 - 6}{m^2 + 3} \\ y = \frac{5m - 6}{m^2 + 3} \] Ta có: \[ x + y = \frac{2m + 5}{m^2 + 3} + \frac{5m - 6}{m^2 + 3} \\ x + y = \frac{2m + 5 + 5m - 6}{m^2 + 3} \\ x + y = \frac{7m - 1}{m^2 + 3} \] Theo đề bài: \[ x + y = 1 - \frac{m^2}{m^2 + 3} \] Do đó: \[ \frac{7m - 1}{m^2 + 3} = 1 - \frac{m^2}{m^2 + 3} \\ \frac{7m - 1}{m^2 + 3} = \frac{m^2 + 3 - m^2}{m^2 + 3} \\ \frac{7m - 1}{m^2 + 3} = \frac{3}{m^2 + 3} \\ 7m - 1 = 3 \\ 7m = 4 \\ m = \frac{4}{7} \] Vậy $m = \frac{4}{7}$. 2) Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là $l$ và $w$ (đơn vị: mét). Theo đề bài: \[ (l + 5)(w - 2) = lw \quad \text{(1)} \] \[ (l + 9)(w - 3) = lw + 30 \quad \text{(2)} \] Từ phương trình (1): \[ lw - 2l + 5w - 10 = lw \\ -2l + 5w = 10 \quad \text{(3)} \] Từ phương trình (2): \[ lw - 3l + 9w - 27 = lw + 30 \\ -3l + 9w = 57 \quad \text{(4)} \] Nhân phương trình (3) với 3: \[ -6l + 15w = 30 \quad \text{(5)} \] Nhân phương trình (4) với 2: \[ -6l + 18w = 114 \quad \text{(6)} \] Lấy phương trình (6) trừ phương trình (5): \[ (-6l + 18w) - (-6l + 15w) = 114 - 30 \\ 3w = 84 \\ w = 28 \] Thay $w = 28$ vào phương trình (3): \[ -2l + 5 \cdot 28 = 10 \\ -2l + 140 = 10 \\ -2l = 10 - 140 \\ -2l = -130 \\ l = 65 \] Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu là: \[ A = l \times w = 65 \times 28 = 1820 \text{ m}^2 \] Đáp số: Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu là 1820 m². Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính độ dài đoạn đường dốc Ta có: - Độ cao của đỉnh dốc so với phương nằm ngang là 70 m. - Độ nghiêng của đoạn đường dốc là $7^\circ$. Áp dụng công thức lượng giác trong tam giác vuông, ta có: \[ \sin(7^\circ) = \frac{\text{độ cao}}{\text{độ dài đoạn đường dốc}} \] Do đó: \[ \text{độ dài đoạn đường dốc} = \frac{70}{\sin(7^\circ)} \] Tính $\sin(7^\circ)$: \[ \sin(7^\circ) \approx 0,121869 \] Vậy: \[ \text{độ dài đoạn đường dốc} = \frac{70}{0,121869} \approx 574,3 \text{ m} \] b) Tính thời gian để tới đỉnh dốc Biết vận tốc trung bình của người đi xe đạp là 6 km/h, ta chuyển đổi vận tốc này sang đơn vị mét/giây: \[ 6 \text{ km/h} = 6 \times \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = 1,6667 \text{ m/s} \] Thời gian để đi hết đoạn đường dốc: \[ \text{thời gian} = \frac{\text{độ dài đoạn đường dốc}}{\text{vận tốc}} = \frac{574,3}{1,6667} \approx 344,3 \text{ giây} \] Chuyển đổi thời gian từ giây sang phút: \[ 344,3 \text{ giây} \approx 5,74 \text{ phút} \] Vậy, người đó phải mất khoảng 6 phút để tới đỉnh dốc. Đáp số: a) Độ dài đoạn đường dốc: 574 m b) Thời gian để tới đỉnh dốc: 6 phút