quy đồng toán 9 $B=\frac2{\sqrt x-1}-\frac{\sqrt x-2}{x-\sqrt x}$,2) chứng minh biểu thức $B=\frac{\sqrt x+2}{x-\sqrt x}$

Question

Accepted Answer

Để quy đồng và chứng minh biểu thức $B$, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

Bước 1: Quy đồng biểu thức $B$
Biểu thức ban đầu:
$$ B = \frac{2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 2}{x - \sqrt{x}} $$

Điều kiện xác định: $ x > 0 $ và $ x \neq 1 $

Chúng ta nhận thấy rằng $ x - \sqrt{x} = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) $. Do đó, mẫu số chung của hai phân thức là $ \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) $.

Quy đồng từng phân thức:
$$ \frac{2}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2 \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} $$

$$ \frac{\sqrt{x} - 2}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} $$

Vậy biểu thức $B$ sau khi quy đồng là:
$$ B = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} $$

Bước 2: Trừ hai phân thức
$$ B = \frac{2\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} $$
$$ B = \frac{2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} $$
$$ B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} $$

Bước 3: Chứng minh biểu thức $B = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x}}$
Ta đã quy đồng và rút gọn biểu thức $B$ thành:
$$ B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} $$

Nhận thấy rằng:
$$ x - \sqrt{x} = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) $$

Do đó:
$$ B = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x}} $$

Vậy, ta đã chứng minh được biểu thức $B = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x}}$.