Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 16: Câu 1: - Vật chuyển động thẳng với vận tốc \( v(t) = t(4 - t) \) (m/s). - Vật dừng lại khi \( v(t) = 0 \): \[ t(4 - t) = 0 \] \[ t = 0 \text{ hoặc } t = 4 \] - Quãng đường vật đi được từ \( t = 0 \) đến \( t = 4 \) là: \[ s = \int_{0}^{4} v(t) \, dt = \int_{0}^{4} t(4 - t) \, dt \] \[ = \int_{0}^{4} (4t - t^2) \, dt \] \[ = \left[ 2t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{4} \] \[ = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right) \] \[ = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 \] \[ = 32 - \frac{64}{3} \] \[ = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} \] \[ = \frac{32}{3} \] \[ = 10.67 \text{ m} \] Đáp án: B. 10,67 m. Câu 2: - Đồ thị của đạo hàm \( f'(x) \) cho thấy: - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \), do đó \( f(x) \) đồng biến trên các khoảng này. - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-1, 1) \), do đó \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng này. - \( f'(x) = 0 \) tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \), do đó \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = -1 \) và cực tiểu tại \( x = 1 \). Lập luận từng bước: 1. Xác định các khoảng mà \( f'(x) \) dương và âm. 2. Kết luận tính chất đồng biến và nghịch biến của \( f(x) \) dựa vào dấu của \( f'(x) \). 3. Xác định các điểm cực đại và cực tiểu của \( f(x) \) dựa vào các điểm mà \( f'(x) = 0 \). Câu 17: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng hàm số \( f(2x) \) sẽ có các điểm cực trị tương ứng với các điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) nhưng ở vị trí khác nhau do biến đổi \( x \) thành \( 2x \). Bước 1: Xác định các điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) từ đồ thị đã cho. - Từ đồ thị, ta thấy hàm số \( f(x) \) có ba điểm cực trị: \( x = -2 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \). Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số \( f(2x) \). - Khi biến đổi từ \( f(x) \) sang \( f(2x) \), các điểm cực trị của \( f(x) \) sẽ chuyển dịch theo quy luật \( x \rightarrow \frac{x}{2} \). - Do đó: - Điểm cực trị \( x = -2 \) của \( f(x) \) sẽ trở thành điểm cực trị \( x = -1 \) của \( f(2x) \) (vì \( -2 \rightarrow \frac{-2}{2} = -1 \)). - Điểm cực trị \( x = 0 \) của \( f(x) \) sẽ vẫn là điểm cực trị \( x = 0 \) của \( f(2x) \) (vì \( 0 \rightarrow \frac{0}{2} = 0 \)). - Điểm cực trị \( x = 2 \) của \( f(x) \) sẽ trở thành điểm cực trị \( x = 1 \) của \( f(2x) \) (vì \( 2 \rightarrow \frac{2}{2} = 1 \)). Bước 3: Kết luận số lượng điểm cực trị của hàm số \( f(2x) \). - Như vậy, hàm số \( f(2x) \) có ba điểm cực trị: \( x = -1 \), \( x = 0 \), và \( x = 1 \). Đáp án: Hàm số \( f(2x) \) có 3 điểm cực trị. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 18: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tích phân của \( f(t)g(t) \) từ \( t_1 \) đến \( t_2 \). Trước hết, chúng ta sẽ xác định các khoảng thời gian mà \( f(t) \) và \( g(t) \) đều khác 0. 1. Xác định các khoảng thời gian: - \( f(t) \neq 0 \) trong các khoảng: - \( 0 \leq t < \frac{1}{3} \) - \( t \geq 4 \) - \( g(t) \neq 0 \) trong các khoảng: - \( 0 \leq t < \frac{1}{4} \) - \( t \geq 9 \) 2. Tìm giao của các khoảng thời gian: - \( 0 \leq t < \frac{1}{4} \) (vì \( \frac{1}{4} < \frac{1}{3} \)) - \( t \geq 9 \) 3. Tính tích phân trên các khoảng đã xác định: - Trên khoảng \( 0 \leq t < \frac{1}{4} \): \[ f(t) = 3t^2 - 4t + 1 \] \[ g(t) = 1 \] \[ \int_{0}^{\frac{1}{4}} f(t)g(t) \, dt = \int_{0}^{\frac{1}{4}} (3t^2 - 4t + 1) \, dt \] \[ = \left[ t^3 - 2t^2 + t \right]_{0}^{\frac{1}{4}} \] \[ = \left( \left(\frac{1}{4}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{4} \right) - (0) \] \[ = \left( \frac{1}{64} - \frac{2}{16} + \frac{1}{4} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{64} - \frac{8}{64} + \frac{16}{64} \right) \] \[ = \frac{9}{64} \] - Trên khoảng \( t \geq 9 \): \[ f(t) = t - 4 \] \[ g(t) = 1 \] \[ \int_{9}^{16} f(t)g(t) \, dt = \int_{9}^{16} (t - 4) \, dt \] \[ = \left[ \frac{t^2}{2} - 4t \right]_{9}^{16} \] \[ = \left( \frac{16^2}{2} - 4 \cdot 16 \right) - \left( \frac{9^2}{2} - 4 \cdot 9 \right) \] \[ = \left( 128 - 64 \right) - \left( \frac{81}{2} - 36 \right) \] \[ = 64 - \left( \frac{81}{2} - \frac{72}{2} \right) \] \[ = 64 - \frac{9}{2} \] \[ = \frac{128}{2} - \frac{9}{2} \] \[ = \frac{119}{2} \] 4. Tổng các tích phân: \[ \int_{0}^{16} f(t)g(t) \, dt = \frac{9}{64} + \frac{119}{2} \] \[ = \frac{9}{64} + \frac{119 \times 32}{64} \] \[ = \frac{9 + 3808}{64} \] \[ = \frac{3817}{64} \] 5. Phân số tối giản: \[ \frac{3817}{64} \] 6. Tính \( a - b \): \[ a = 3817, \quad b = 64 \] \[ a - b = 3817 - 64 = 3753 \] Đáp án: C. 3753 Câu 19: Để phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4my - 2(m+1)z + 9 = 0\) là phương trình của một mặt cầu, ta cần biến đổi phương trình này về dạng tổng bình phương. Ta thực hiện quy trình hoàn chỉnh bình phương như sau: 1. Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\), \(y\), và \(z\): \[ x^2 + 2x + y^2 + 4my + z^2 - 2(m+1)z + 9 = 0 \] 2. Hoàn chỉnh bình phương: \[ (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4my + 4m^2) + (z^2 - 2(m+1)z + (m+1)^2) = 1 + 4m^2 + (m+1)^2 - 9 \] 3. Viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương: \[ (x + 1)^2 + (y + 2m)^2 + (z - (m+1))^2 = 1 + 4m^2 + (m+1)^2 - 9 \] 4. Tính giá trị bên phải: \[ 1 + 4m^2 + (m+1)^2 - 9 = 1 + 4m^2 + m^2 + 2m + 1 - 9 = 5m^2 + 2m - 7 \] Phương trình trở thành: \[ (x + 1)^2 + (y + 2m)^2 + (z - (m+1))^2 = 5m^2 + 2m - 7 \] Để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu, \(5m^2 + 2m - 7\) phải lớn hơn 0. Ta giải bất phương trình: \[ 5m^2 + 2m - 7 > 0 \] Tìm nghiệm của phương trình \(5m^2 + 2m - 7 = 0\): \[ m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 140}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{10} = \frac{-2 \pm 12}{10} \] \[ m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -\frac{7}{5} \] Bất phương trình \(5m^2 + 2m - 7 > 0\) đúng khi \(m < -\frac{7}{5}\) hoặc \(m > 1\). Trong khoảng \([-1, 4]\), các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn điều kiện trên là \(m = 2, 3, 4\). Vậy có 3 giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu. Đáp án: C. 3.