Cho nửa đường tròn (0) và đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyển thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và sẽ c...

a) Do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A nên OA vuông góc với AC. Vậy \(\widehat{CAO} = 90^\circ\).

b) Ta có \(AC = CM\) và \(BD = DM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Trong tam giác CAD, ta có \(AC \cdot BD = AM \cdot MB\).
Vì M nằm trên đường tròn đường kính AB nên \(AM \cdot MB = OM^2\).
Mà \(OM = \frac{AB}{2}\) (bán kính), nên \(AM \cdot MB = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{AB^2}{4}\).
Vậy \(AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4}\). (Lưu ý: đề bài có vẻ sai, phải là \(AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4}\) chứ không phải \(AC \cdot BD = \frac{AB}{4}\))

Gọi I là giao điểm của MN và AB. Ta cần chứng minh \(\widehat{AIM} = 90^\circ\).
Xét tam giác OAC và tam giác OBC, ta có: \(OA = OB\), \(OC\) chung, \(\widehat{OAC} = \widehat{OBC} = 90^\circ\).
Suy ra \(\triangle OAC = \triangle OBC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Do đó, \(\widehat{AOC} = \widehat{BOC}\).
Xét tam giác OAD và tam giác OBD, ta có: \(OA = OB\), \(OD\) chung, \(\widehat{OAD} = \widehat{OBD} = 90^\circ\).
Suy ra \(\triangle OAD = \triangle OBD\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Do đó, \(\widehat{AOD} = \widehat{BOD}\).
Từ đó suy ra MN là đường trung trực của AB. Vậy MN vuông góc với AB tại I.

c) Cho OD = 20m. Ta có OD = R (bán kính). Vậy R = 20m.
Diện tích hình quạt được tính bằng công thức: \(S = \frac{1}{2}R^2\theta\), trong đó \(\theta\) là góc ở tâm (tính bằng radian).
Góc \(\theta\) cần tìm là góc \(\widehat{AOM}\). => thiếu đề