Cho nửa đường tròn (0) và đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyển thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và sẽ cắt nhau tại N. a) Chứng minh rằng CAO = 90° và AC •BD = AB/4 b) Chứng minh rằng MN vuông góc với AB. c) Cho OD=20m. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính OM,OA và cung nhỏ MA cung nhỏ MA.

Question

Cho nửa đường tròn (0) và đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyển thứ ba cắt các tiếp tuyến
Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và sẽ cắt nhau tại N.

a) Chứng minh rằng CAO = 90° và AC •BD = AB/4

b) Chứng minh rằng MN vuông góc với AB.

c) Cho OD=20m. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính OM,OA và cung nhỏ MA

cung nhỏ MA. <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/84ec4edb6ea540bc87cb9880a8d7fd61.jpg />

Accepted Answer

a) Do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A nên OA vuông góc với AC. Vậy $\widehat{CAO} = 90^\circ$.

b) Ta có $AC = CM$ và $BD = DM$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Trong tam giác CAD, ta có $AC \cdot BD = AM \cdot MB$.
Vì M nằm trên đường tròn đường kính AB nên $AM \cdot MB = OM^2$.
Mà $OM = \frac{AB}{2}$ (bán kính), nên $AM \cdot MB = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{AB^2}{4}$.
Vậy $AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4}$. (Lưu ý: đề bài có vẻ sai, phải là $AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4}$ chứ không phải $AC \cdot BD = \frac{AB}{4}$)

Gọi I là giao điểm của MN và AB. Ta cần chứng minh $\widehat{AIM} = 90^\circ$.
Xét tam giác OAC và tam giác OBC, ta có: $OA = OB$, $OC$ chung, $\widehat{OAC} = \widehat{OBC} = 90^\circ$.
Suy ra $\triangle OAC = \triangle OBC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Do đó, $\widehat{AOC} = \widehat{BOC}$.
Xét tam giác OAD và tam giác OBD, ta có: $OA = OB$, $OD$ chung, $\widehat{OAD} = \widehat{OBD} = 90^\circ$.
Suy ra $\triangle OAD = \triangle OBD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Do đó, $\widehat{AOD} = \widehat{BOD}$.
Từ đó suy ra MN là đường trung trực của AB. Vậy MN vuông góc với AB tại I.

c) Cho OD = 20m. Ta có OD = R (bán kính). Vậy R = 20m.
Diện tích hình quạt được tính bằng công thức: $S = \frac{1}{2}R^2\theta$, trong đó $\theta$ là góc ở tâm (tính bằng radian).
Góc $\theta$ cần tìm là góc $\widehat{AOM}$. => thiếu đề

Cho nửa đường tròn (0) và đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyển thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và sẽ c...