Để làm một thùng đựng nước hình trụ người ta cắt 1 tấm tôn có hình là nửa đường tròn bán kính 1m ra hình chữ nhật và cuộn lại để làm mặt xung quanh (cạnh không nằm trên đường kính của nửa hình tròn là...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính và chiều cao của hình trụ. 2. Tính thể tích của hình trụ. 3. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích. Bước 1: Xác định bán kính và chiều cao của hình trụ. - Bán kính của nửa đường tròn là 1 m. - Khi cuộn tấm tôn thành hình trụ, chiều dài của hình chữ nhật (đường sinh của hình trụ) sẽ là chu vi của nửa đường tròn. Chu vi của nửa đường tròn là: $$ Chiều cao của hình trụ là $$. Bước 2: Tính thể tích của hình trụ. Thể tích $$ của hình trụ được tính bằng công thức: $$ Trong đó, $$ m và $$ là chiều cao của hình trụ. Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích. Ta có: $$ Để tối đa hóa thể tích, ta cần tối đa hóa $$. Tuy nhiên, $$ phụ thuộc vào cách cắt và cuộn tấm tôn. Ta cần tìm giá trị của $$ sao cho thể tích lớn nhất. Do đó, ta cần tìm giá trị của $$ sao cho thể tích lớn nhất. Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị cực đại của $$. Tính đạo hàm của $$ theo $$: $$ Đạo hàm này luôn dương, do đó thể tích tăng khi $$ tăng. Tuy nhiên, $$ bị giới hạn bởi kích thước của tấm tôn. Khi $$ đạt giá trị lớn nhất, tức là khi tấm tôn được cuộn hết, ta có: $$ Thay $$ vào công thức thể tích: $$ Tính giá trị của $$: $$ Vậy thể tích của thùng nước lớn nhất là: $$