Giúp mình với!

Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 1 \) a) Rút gọn biểu thức: \[ M = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} \right) \cdot \frac{x^2 - 2x + 1}{2} \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức này. Phân tích các mẫu số: \[ x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) \] \[ x + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1)^2 \] Rút gọn biểu thức: \[ M = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)^2} \right) \cdot \frac{(x - 1)^2}{2} \] Tìm mẫu chung: \[ M = \left( \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} \right) \cdot \frac{(x - 1)^2}{2} \] Rút gọn tử số: \[ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1) = x - 2\sqrt{x} + \sqrt{x} - 2 = x - \sqrt{x} - 2 \] \[ (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1) = x + 2\sqrt{x} - \sqrt{x} - 2 = x + \sqrt{x} - 2 \] Do đó: \[ M = \left( \frac{x - \sqrt{x} - 2 - (x + \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} \right) \cdot \frac{(x - 1)^2}{2} \] \[ = \left( \frac{x - \sqrt{x} - 2 - x - \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} \right) \cdot \frac{(x - 1)^2}{2} \] \[ = \left( \frac{-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} \right) \cdot \frac{(x - 1)^2}{2} \] Chúng ta thấy rằng: \[ (x - 1)^2 = (\sqrt{x} - 1)^2 (\sqrt{x} + 1)^2 \] Do đó: \[ M = \left( \frac{-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} \right) \cdot \frac{(\sqrt{x} - 1)^2 (\sqrt{x} + 1)^2}{2} \] \[ = \frac{-2\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)^2 (\sqrt{x} + 1)^2}{2 (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} \] \[ = -\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) \] \[ = -x + \sqrt{x} \] b) Tìm x nguyên để M nhận giá trị nguyên: \[ M = -x + \sqrt{x} \] Để M nhận giá trị nguyên, \(\sqrt{x}\) phải là số nguyên. Do đó, x phải là số chính phương. Kiểm tra các giá trị x nguyên: - \(x = 0\): \(M = 0\) - \(x = 1\) (loại vì \(x \neq 1\)) - \(x = 4\): \(M = -4 + 2 = -2\) - \(x = 9\): \(M = -9 + 3 = -6\) Vậy các giá trị x nguyên để M nhận giá trị nguyên là \(x = 0, 4, 9\).