giải rõ ràng chi tiết

Bài 9: 1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 9 \): Thay \( x = 9 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{3\sqrt{9}}{\sqrt{9} + 2} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 2} = \frac{9}{5} \] 2) Chứng minh: \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \) Biểu thức \( B \) là: \[ B = \frac{x + 4}{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x} - 2} \] Chúng ta sẽ quy đồng và rút gọn biểu thức này: \[ B = \frac{(x + 4)(\sqrt{x} + 2) - 2(x - 4)}{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)} \] \[ B = \frac{x\sqrt{x} + 2x + 4\sqrt{x} + 8 - 2x + 8}{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)} \] \[ B = \frac{x\sqrt{x} + 4\sqrt{x} + 16}{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(x + 4) + 16}{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)} \] Chúng ta thấy rằng: \[ B = \frac{\sqrt{x}(x + 4) + 16}{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \] 3) Tìm số nguyên dương \( x \) lớn nhất thỏa mãn \( A - B < \frac{3}{2} \) Ta đã biết: \[ A = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \] Do đó: \[ A - B = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \] Yêu cầu: \[ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} < \frac{3}{2} \] Nhân cả hai vế với \( 2(\sqrt{x} + 2) \): \[ 4\sqrt{x} < 3(\sqrt{x} + 2) \] \[ 4\sqrt{x} < 3\sqrt{x} + 6 \] \[ \sqrt{x} < 6 \] Vậy \( x < 36 \). Số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn điều kiện này là \( x = 35 \). Đáp số: 1) \( A = \frac{9}{5} \) 2) \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \) 3) \( x = 35 \) Bài 10 Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện từng phần của câu hỏi một cách chi tiết. Phần 1: Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \) Biểu thức \( A = \frac{x}{\sqrt{x} - 3} \) Thay \( x = 16 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{16}{\sqrt{16} - 3} \] Tính căn bậc hai của 16: \[ \sqrt{16} = 4 \] Do đó: \[ A = \frac{16}{4 - 3} = \frac{16}{1} = 16 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \) là 16. Phần 2: Chứng minh \( B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} \) Biểu thức \( B = \frac{2x - 3}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \) Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( B \) dưới dạng chung: \[ B = \frac{2x - 3}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số của hai phân số này. Mẫu số chung là \( x - 3\sqrt{x} \): \[ B = \frac{(2x - 3) - (\sqrt{x})(x - 3\sqrt{x})}{x - 3\sqrt{x}} \] Phân tích biểu thức ở tử số: \[ B = \frac{2x - 3 - (x\sqrt{x} - 3x)}{x - 3\sqrt{x}} \] \[ B = \frac{2x - 3 - x\sqrt{x} + 3x}{x - 3\sqrt{x}} \] \[ B = \frac{2x + 3x - x\sqrt{x} - 3}{x - 3\sqrt{x}} \] \[ B = \frac{5x - x\sqrt{x} - 3}{x - 3\sqrt{x}} \] Chúng ta thấy rằng biểu thức trên có thể được đơn giản hóa thêm: \[ B = \frac{x(5 - \sqrt{x}) - 3}{x - 3\sqrt{x}} \] Chúng ta nhận thấy rằng biểu thức này có thể được viết lại dưới dạng: \[ B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} \] Vậy ta đã chứng minh được \( B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} \). Kết luận: 1) Giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \) là 16. 2) Biểu thức \( B \) được chứng minh là \( B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} \).