giải rõ ràng

Bài 12: 1) Rút gọn biểu thức \( P \): Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 1 \) Ta có: \[ P = \left( \frac{2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{5}{x + \sqrt{x} - 2} \right) : \left( 1 + \frac{3 - x}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) \] Phân tích mẫu số của các phân thức: \[ x + \sqrt{x} - 2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2) \] Do đó: \[ P = \left( \frac{2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{5}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) : \left( 1 + \frac{3 - x}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) \] Tìm mẫu chung và rút gọn: \[ P = \left( \frac{2(\sqrt{x} + 2) - 5}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) : \left( \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2) + 3 - x}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) \] \[ P = \left( \frac{2\sqrt{x} + 4 - 5}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) : \left( \frac{x + 2\sqrt{x} - 2 + 3 - x}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) \] \[ P = \left( \frac{2\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) : \left( \frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) \] \[ P = \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} + 1} \] 2) Tính giá trị của \( P \) khi \( x = 6 - 2\sqrt{5} \): \[ \sqrt{x} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1 \] Thay vào biểu thức đã rút gọn: \[ P = \frac{2(\sqrt{5} - 1) - 1}{2(\sqrt{5} - 1) + 1} = \frac{2\sqrt{5} - 2 - 1}{2\sqrt{5} - 2 + 1} = \frac{2\sqrt{5} - 3}{2\sqrt{5} - 1} \] 3) Tìm giá trị của \( x \) để \( P = \frac{1}{2\sqrt{x}} \): \[ \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Nhân cả hai vế với \( 2\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1) \): \[ 2\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1) = 2\sqrt{x} + 1 \] \[ 4x - 2\sqrt{x} = 2\sqrt{x} + 1 \] \[ 4x - 4\sqrt{x} - 1 = 0 \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ 4t^2 - 4t - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2} \] Vì \( t = \sqrt{x} \geq 0 \), nên: \[ t = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \] \[ x = \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{4} \] 4) Tìm \( x \) để \( P < 1 - \sqrt{x} \): \[ \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} + 1} < 1 - \sqrt{x} \] Nhân cả hai vế với \( 2\sqrt{x} + 1 \): \[ 2\sqrt{x} - 1 < (1 - \sqrt{x})(2\sqrt{x} + 1) \] \[ 2\sqrt{x} - 1 < 2\sqrt{x} + 1 - 2x - \sqrt{x} \] \[ -1 < 1 - 2x - \sqrt{x} \] \[ 2x + \sqrt{x} < 2 \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ 2t^2 + t < 2 \] \[ 2t^2 + t - 2 < 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4} \] Vì \( t = \sqrt{x} \geq 0 \), nên: \[ 0 \leq t < \frac{-1 + \sqrt{17}}{4} \] \[ 0 \leq x < \left( \frac{-1 + \sqrt{17}}{4} \right)^2 \] 5) So sánh \( P \) với \( -\frac{3}{2} \): \[ \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} + 1} \quad \text{so sánh với} \quad -\frac{3}{2} \] Nhân cả hai vế với \( 2(2\sqrt{x} + 1) \): \[ 4\sqrt{x} - 2 < -3(2\sqrt{x} + 1) \] \[ 4\sqrt{x} - 2 < -6\sqrt{x} - 3 \] \[ 10\sqrt{x} < -1 \] Điều này là vô lý, do đó \( P \) luôn lớn hơn \( -\frac{3}{2} \). 6) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của \( x \) để \( P \) nhận giá trị dương: \[ \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} + 1} > 0 \] Điều này đúng khi \( 2\sqrt{x} - 1 > 0 \): \[ \sqrt{x} > \frac{1}{2} \] \[ x > \frac{1}{4} \] Giá trị nguyên nhỏ nhất của \( x \) là 1. 7) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \): \[ P = \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} + 1} \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ P = \frac{2t - 1}{2t + 1} \] Đạo hàm \( P \) theo \( t \): \[ P' = \frac{4}{(2t + 1)^2} \] \( P' > 0 \) với mọi \( t \), do đó \( P \) là hàm đồng biến. Giá trị nhỏ nhất của \( P \) khi \( t \to 0 \): \[ P \to -1 \] 8) Tìm giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) nhận giá trị nguyên: \[ \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} + 1} = k \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Nhân cả hai vế với \( 2\sqrt{x} + 1 \): \[ 2\sqrt{x} - 1 = k(2\sqrt{x} + 1) \] \[ 2\sqrt{x} - 1 = 2k\sqrt{x} + k \] \[ 2\sqrt{x} - 2k\sqrt{x} = k + 1 \] \[ \sqrt{x}(2 - 2k) = k + 1 \] \[ \sqrt{x} = \frac{k + 1}{2 - 2k} \] Để \( \sqrt{x} \) là số nguyên, \( \frac{k + 1}{2 - 2k} \) phải là số nguyên. Kiểm tra các giá trị \( k \): - \( k = 0 \): \( \sqrt{x} = \frac{1}{2} \) (loại) - \( k = 1 \): \( \sqrt{x} = \frac{2}{0} \) (loại) - \( k = -1 \): \( \sqrt{x} = \frac{0}{4} = 0 \) (loại) - \( k = -2 \): \( \sqrt{x} = \frac{-1}{6} \) (loại) Không có giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn. 9) Tìm giá trị của \( x \) để \( P \) nhận giá trị nguyên: \[ \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} + 1} = k \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Nhân cả hai vế với \( 2\sqrt{x} + 1 \): \[ 2\sqrt{x} - 1 = k(2\sqrt{x} + 1) \] \[ 2\sqrt{x} - 1 = 2k\sqrt{x} + k \] \[ 2\sqrt{x} - 2k\sqrt{x} = k + 1 \] \[ \sqrt{x}(2 - 2k) = k + 1 \] \[ \sqrt{x} = \frac{k + 1}{2 - 2k} \] Để \( \sqrt{x} \) là số nguyên, \( \frac{k + 1}{2 - 2k} \) phải là số nguyên. Kiểm tra các giá trị \( k \): - \( k = 0 \): \( \sqrt{x} = \frac{1}{2} \) (loại) - \( k = 1 \): \( \sqrt{x} = \frac{2}{0} \) (loại) - \( k = -1 \): \( \sqrt{x} = \frac{0}{4} = 0 \) (loại) - \( k = -2 \): \( \sqrt{x} = \frac{-1}{6} \) (loại) Không có giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn.