giải cách đơn giản nhất

Câu 1. Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=2,$ công sai $d=-3$ a) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là: $u_n=u_1+(n-1)d=2+(n-1)\times (-3)=2-3n+3=-3n+5$ b) Số hạng thứ 10 là: $u_{10}=-3\times 10+5=-30+5=-25$ c) Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: $S_{100}=\frac{(u_1+u_{100})\times 100}{2}=\frac{(2+(-3\times 100+5))\times 100}{2}=\frac{(2-295)\times 100}{2}=\frac{-293\times 100}{2}=-14650$ d) Số hạng của cấp số cộng là số chia hết cho 3 trừ đi 5. Số -6070 không thỏa mãn điều kiện này nên không phải là số hạng của cấp số cộng. Đáp án đúng là: c) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng $(u_n)$ bằng -14650 Câu 2. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định tính đúng đắn của chúng. a) SA là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). - Xét hình chóp S.ABCD, trong đó SA nằm trên cả hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). Do đó, SA là giao tuyến của hai mặt phẳng này. Phát biểu này là đúng. b) MN // AD. - Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD. M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, do đó MN // AD và MN = $\frac{1}{2}$AD. Phát biểu này là đúng. c) OP // (SBC). - Ta xét rằng O là tâm của hình bình hành ABCD, do đó O là trung điểm của AC. P là trung điểm của SA. Ta có thể thấy rằng đường thẳng OP đi qua trung điểm của SA và AC, do đó OP // SC. Vì SC nằm trong mặt phẳng (SBC), nên OP // (SBC). Phát biểu này là đúng. d) Mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (MNP). - Để xác định hai mặt phẳng (SBC) và (MNP) có cắt nhau hay không, ta cần kiểm tra xem có điểm chung nào giữa chúng không. - Mặt phẳng (SBC) bao gồm các điểm S, B, C. - Mặt phẳng (MNP) bao gồm các điểm M, N, P. - Vì M và N nằm trên các cạnh AB và CD của hình bình hành ABCD, và P là trung điểm của SA, ta có thể thấy rằng MNP không nằm trên cùng một đường thẳng với SBC. Do đó, hai mặt phẳng này có thể cắt nhau tại một đường thẳng. Phát biểu này là đúng. Kết luận: Tất cả các phát biểu a, b, c và d đều đúng. Câu 1. Để tính giá trị biểu thức \( P = 3\sin^2 x - 5\cos^2 x \) khi biết \(\cos x = \frac{1}{2}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\sin^2 x\): Ta biết rằng \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Thay \(\cos x = \frac{1}{2}\) vào công thức này: \[ \sin^2 x + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 x + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} \] \[ \sin^2 x = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \] \[ \sin^2 x = \frac{3}{4} \] 2. Thay giá trị của \(\sin^2 x\) và \(\cos^2 x\) vào biểu thức \(P\): Biểu thức \(P\) là: \[ P = 3\sin^2 x - 5\cos^2 x \] Thay \(\sin^2 x = \frac{3}{4}\) và \(\cos^2 x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}\): \[ P = 3 \cdot \frac{3}{4} - 5 \cdot \frac{1}{4} \] \[ P = \frac{9}{4} - \frac{5}{4} \] \[ P = \frac{9 - 5}{4} \] \[ P = \frac{4}{4} \] \[ P = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \(P\) là \(1\). Đáp số: \(P = 1\). Câu 2. Để tính giá trị của \(a + b\), ta sẽ sử dụng công thức tính tang tổng của hai góc: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} \] Trước tiên, ta thay giá trị của \(\tan a\) và \(\tan b\) vào công thức trên: \[ \tan a = \frac{1}{7}, \quad \tan b = \frac{3}{4} \] \[ \tan(a + b) = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}\right)} \] Ta thực hiện phép cộng và nhân trong tử số và mẫu số: \[ \tan(a + b) = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{28}} \] Quy đồng mẫu số để cộng các phân số trong tử số: \[ \tan(a + b) = \frac{\frac{4}{28} + \frac{21}{28}}{1 - \frac{3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{1 - \frac{3}{28}} \] Tiếp theo, quy đồng mẫu số trong mẫu số: \[ \tan(a + b) = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{28}{28} - \frac{3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1 \] Do đó: \[ \tan(a + b) = 1 \] Biết rằng \(\tan 45^\circ = 1\), suy ra: \[ a + b = 45^\circ \] Vậy giá trị của \(a + b\) là: \[ x = 45^\circ \] Câu 3. Để giải bài toán này, ta sẽ áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều. Ta có: - Số dãy ghế là \( n = 35 \). - Số ghế ở dãy đầu tiên là \( a_1 = 18 \). - Mỗi dãy sau có nhiều hơn mỗi dãy trước 4 ghế, tức là khoảng cách \( d = 4 \). Công thức tính số ghế ở dãy thứ \( n \) là: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \] Áp dụng vào bài toán: \[ a_{35} = 18 + (35 - 1) \cdot 4 \] \[ a_{35} = 18 + 34 \cdot 4 \] \[ a_{35} = 18 + 136 \] \[ a_{35} = 154 \] Số ghế trong rạp xiếc là tổng của dãy số cách đều từ 18 đến 154 với khoảng cách là 4. Công thức tính tổng của dãy số cách đều là: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] Áp dụng vào bài toán: \[ S_{35} = \frac{35}{2} \cdot (18 + 154) \] \[ S_{35} = \frac{35}{2} \cdot 172 \] \[ S_{35} = 35 \cdot 86 \] \[ S_{35} = 3010 \] Vậy, rạp xiếc có tất cả 3010 ghế. Đáp số: 3010 ghế. Câu 4. Dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là: \[ 95,93 \times (1 + 0,0133)^7 \approx 105 \text{ (triệu người)} \] Đáp số: 105 triệu người. Câu 1. Để giải phương trình lượng giác $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lượng giác cơ bản: Ta biết rằng $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ khi $x = \frac{\pi}{3}$ hoặc $x = \frac{2\pi}{3}$ trong khoảng $[0, 2\pi)$. 2. Tìm các nghiệm tổng quát: Phương trình lượng giác $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có các nghiệm tổng quát là: \[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] với $k$ là số nguyên bất kỳ. 3. Kết luận: Vậy các nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ là: \[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] với $k$ là số nguyên. Đáp số: \[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] Câu 2. a) Tính giới hạn: - Ta có $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x) = \lim_{x\rightarrow 1^+}(x^2 + 3) = 1^2 + 3 = 4$ - Ta có $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x) = \lim_{x\rightarrow 1^-}(3x + 1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$ b) Xét tính liên tục của hàm số tại $x_0 = 1$: - Để hàm số liên tục tại điểm $x_0 = 1$, ta cần kiểm tra ba điều kiện sau: 1. Hàm số có giá trị tại điểm đó: $f(1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$ 2. Giới hạn của hàm số tồn tại và bằng nhau từ cả hai phía: $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x) = \lim_{x\rightarrow 1^-}f(x) = 4$ 3. Giới hạn của hàm số bằng giá trị của hàm số tại điểm đó: $\lim_{x\rightarrow 1}f(x) = f(1) = 4$ Vì cả ba điều kiện đều thoả mãn, nên hàm số liên tục tại điểm $x_0 = 1$. Câu 3. Để chứng minh rằng mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(B'D'C)$, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song bằng cách chứng minh hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng tương ứng song song với nhau. Trước tiên, ta xác định các điểm M, N, P: - Điểm M là trung điểm của cạnh $A'B'$. - Điểm N là trung điểm của cạnh BC. - Điểm P là trung điểm của cạnh $DD'$. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(MNP)$ song song với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(B'D'C)$. 1. Xét đường thẳng MN trong mặt phẳng $(MNP)$: - Điểm M là trung điểm của $A'B'$, do đó $M = \left(\frac{A' + B'}{2}\right)$. - Điểm N là trung điểm của BC, do đó $N = \left(\frac{B + C}{2}\right)$. - Đường thẳng MN đi qua hai điểm M và N. 2. Xét đường thẳng NP trong mặt phẳng $(MNP)$: - Điểm N là trung điểm của BC, do đó $N = \left(\frac{B + C}{2}\right)$. - Điểm P là trung điểm của $DD'$, do đó $P = \left(\frac{D + D'}{2}\right)$. - Đường thẳng NP đi qua hai điểm N và P. 3. Xét đường thẳng B'D' trong mặt phẳng $(B'D'C)$: - Điểm B' là đỉnh của hình lập phương. - Điểm D' là đỉnh của hình lập phương. - Đường thẳng B'D' đi qua hai điểm B' và D'. 4. Xét đường thẳng DC trong mặt phẳng $(B'D'C)$: - Điểm D là đỉnh của hình lập phương. - Điểm C là đỉnh của hình lập phương. - Đường thẳng DC đi qua hai điểm D và C. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng B'D' và đường thẳng NP song song với đường thẳng DC. - Vì M là trung điểm của $A'B'$ và N là trung điểm của BC, nên đường thẳng MN song song với đường thẳng B'D' (do tính chất của trung tuyến trong tam giác). - Vì N là trung điểm của BC và P là trung điểm của $DD'$, nên đường thẳng NP song song với đường thẳng DC (do tính chất của trung tuyến trong tam giác). Do đó, ta đã chứng minh được rằng hai đường thẳng MN và NP nằm trong mặt phẳng $(MNP)$ song song với hai đường thẳng B'D' và DC nằm trong mặt phẳng $(B'D'C)$. Từ đó suy ra mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(B'D'C)$. Đáp số: $(MNP) // (B'D'C)$