Gaghbwbsvsbeb 11D5,,Các mệnh đề sau đúng hay sai?,a) Đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là $x=\log_32.$,b) Bất phương trình $f(x)\geq-1$ có nghiệm duy nhất.,c) Bất phương trình $f(x)\geq0$ có tập nghiệm là: $(-\infty;\log_32).$,d) Đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.,Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}&khi~x e1\a&khi~x=1\end{array} ight.$,a) Ta có $\lim_{x ightarrow-1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$,b) Với $a=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,c) Với $a=2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,d) Với $a=m_b$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1.$ khi đó : $\lim_{x ightarrow1}(x^2+2x-3)=5$,Phần 3. Câu trả lời ngắn.,Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Một trường học có tỉ lệ học sinh thích bóng đá là 45%, thích bóng rổ là 60% và thích cả hai,môn này là 30%. Tính xác suất để gặp một học sinh trong trường mà học sinh đó không thích bóng đá hoặc,bóng rổ.,Câu 2. Một chiếc túi chứa 5 quả bóng màu đỏ và 6 quả bóng màu xanh có cùng kích thước và khối lượng.,Lần lượt lấy ngẫu nhiên một quả bóng rồi trả lại vào túi. Tính xác suất lấy được ít nhất một quả bóng máu,xanh sau 3 lượt lấy.,Câu 3. Một hộp phấn không bụi có dạng hình hộp chữ nhật, chiều cao hộp phấn bằng 8, 2 cm và đáy của,nó có hai kích thước là $8,5~cm;10,5~cm$ (xem hình vẽ sau). Tìm góc phẳng nhị diện $[A,B^\prime D^\prime,A]$ (tính theo,độ, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).,

Question

Gaghbwbsvsbeb 11D5,

,Các mệnh đề sau đúng hay sai?,a) Đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là $x=\log_32.$,b) Bất phương trình $f(x)\geq-1$ có nghiệm duy nhất.,c) Bất phương trình $f(x)\geq0$ có tập nghiệm là: $(-\infty;\log_32).$,d) Đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.,Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}&khi~x e1\a&khi~x=1\end{array} ight.$,a) Ta có $\lim_{x ightarrow-1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$,b) Với $a=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,c) Với $a=2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,d) Với $a=m_b$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1.$ khi đó : $\lim_{x ightarrow1}(x^2+2x-3)=5$,Phần 3. Câu trả lời ngắn.,Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Một trường học có tỉ lệ học sinh thích bóng đá là 45%, thích bóng rổ là 60% và thích cả hai,môn này là 30%. Tính xác suất để gặp một học sinh trong trường mà học sinh đó không thích bóng đá hoặc,bóng rổ.,Câu 2. Một chiếc túi chứa 5 quả bóng màu đỏ và 6 quả bóng màu xanh có cùng kích thước và khối lượng.,Lần lượt lấy ngẫu nhiên một quả bóng rồi trả lại vào túi. Tính xác suất lấy được ít nhất một quả bóng máu,xanh sau 3 lượt lấy.,Câu 3. Một hộp phấn không bụi có dạng hình hộp chữ nhật, chiều cao hộp phấn bằng 8, 2 cm và đáy của,nó có hai kích thước là $8,5~cm;10,5~cm$ (xem hình vẽ sau). Tìm góc phẳng nhị diện $[A,B^\prime D^\prime,A]$ (tính theo,độ, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).,

Accepted Answer

Câu 4.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của hàm số và xác định giá trị của $a$ sao cho hàm số có đạo hàm tại $x = 1$.

Bước 1: Xác định giới hạn của hàm số khi $x \to 1$

Hàm số đã cho là:
$$ f(x) = \begin{cases} 
\frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \
a & \text{khi } x = 1 
\end{cases} $$

Ta cần tính giới hạn của hàm số khi $x \to 1$:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} $$

Chúng ta nhận thấy rằng $x^2 - 1$ có thể được phân tích thành $(x - 1)(x + 1)$. Do đó:
$$ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad \text{khi } x \neq 1 $$

Vậy:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 $$

Bước 2: Xác định giá trị của $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$

Để hàm số liên tục tại $x = 1$, giá trị của hàm số tại điểm đó phải bằng giới hạn của hàm số khi $x \to 1$. Do đó:
$$ a = 2 $$

Bước 3: Kiểm tra đạo hàm của hàm số tại $x = 1$

Đạo hàm của hàm số tại $x = 1$ tồn tại nếu:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} $$
tồn tại.

Khi $x = 1 + h$, ta có:
$$ f(1 + h) = \frac{(1 + h)^2 - 1}{(1 + h) - 1} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h $$

Do đó:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1 $$

Vậy đạo hàm của hàm số tại $x = 1$ tồn tại và bằng 1 khi $a = 2$.

Kết luận

Đáp án đúng là:
c) Với $a = 2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x = 1$.

Câu 1.
Để tính xác suất gặp một học sinh không thích bóng đá hoặc bóng rổ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm xác suất học sinh thích bóng đá hoặc bóng rổ:
   - Xác suất học sinh thích bóng đá là $ P(A) = 0.45 $.
   - Xác suất học sinh thích bóng rổ là $ P(B) = 0.60 $.
   - Xác suất học sinh thích cả hai môn là $ P(A \cap B) = 0.30 $.

2. Áp dụng công thức xác suất của sự kiện tổng hợp:
   $$
   P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
   $$
   Thay các giá trị vào:
   $$
   P(A \cup B) = 0.45 + 0.60 - 0.30 = 0.75
   $$

3. Tìm xác suất học sinh không thích bóng đá hoặc bóng rổ:
   - Xác suất học sinh không thích bóng đá hoặc bóng rổ là:
   $$
   P(\text{không thích bóng đá hoặc bóng rổ}) = 1 - P(A \cup B)
   $$
   Thay giá trị đã tính:
   $$
   P(\text{không thích bóng đá hoặc bóng rổ}) = 1 - 0.75 = 0.25
   $$

Vậy xác suất để gặp một học sinh trong trường mà học sinh đó không thích bóng đá hoặc bóng rổ là $ 0.25 $.

Câu 2.
Để tính xác suất lấy được ít nhất một quả bóng màu xanh sau 3 lượt lấy, ta có thể tính xác suất không lấy được quả bóng màu xanh nào trong 3 lượt lấy và sau đó lấy kết quả này từ 1.

Bước 1: Xác định tổng số quả bóng trong túi.
Tổng số quả bóng trong túi là:
$$ 5 + 6 = 11 $$

Bước 2: Xác định xác suất lấy được một quả bóng màu đỏ trong một lần lấy.
Xác suất lấy được một quả bóng màu đỏ là:
$$ \frac{5}{11} $$

Bước 3: Xác định xác suất không lấy được quả bóng màu xanh trong 3 lượt lấy.
Xác suất không lấy được quả bóng màu xanh trong một lần lấy là xác suất lấy được quả bóng màu đỏ, tức là:
$$ \frac{5}{11} $$
Vì mỗi lần lấy đều trả lại quả bóng vào túi, nên xác suất này không thay đổi qua các lần lấy. Do đó, xác suất không lấy được quả bóng màu xanh trong 3 lượt lấy là:
$$ \left( \frac{5}{11} \right)^3 = \frac{125}{1331} $$

Bước 4: Xác định xác suất lấy được ít nhất một quả bóng màu xanh sau 3 lượt lấy.
Xác suất lấy được ít nhất một quả bóng màu xanh là:
$$ 1 - \frac{125}{1331} = \frac{1331 - 125}{1331} = \frac{1206}{1331} $$

Vậy xác suất lấy được ít nhất một quả bóng màu xanh sau 3 lượt lấy là:
$$ \frac{1206}{1331} $$

Câu 3.
Để tìm góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan:
   - Điểm $A$ là đỉnh của hộp phấn.
   - Đường thẳng $B^\prime D^\prime$ nằm trên mặt đáy của hộp phấn.

2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
   - Giao tuyến của hai mặt phẳng $AB^\prime D^\prime$ và $AD^\prime C^\prime$ là đường thẳng $AD^\prime$.

3. Xác định góc phẳng nhị diện:
   - Góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A]$ là góc giữa hai đường thẳng hạ từ điểm $A$ vuông góc xuống mặt phẳng $B^\prime D^\prime$ và mặt phẳng $AD^\prime C^\prime$.

4. Tính toán góc phẳng nhị diện:
   - Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng hạ từ điểm $A$ vuông góc xuống mặt phẳng $B^\prime D^\prime$ và mặt phẳng $AD^\prime C^\prime$.
   - Gọi $H$ là chân đường thẳng hạ từ điểm $A$ vuông góc xuống mặt phẳng $B^\prime D^\prime$.
   - Gọi $K$ là chân đường thẳng hạ từ điểm $A$ vuông góc xuống mặt phẳng $AD^\prime C^\prime$.
   - Góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A]$ là góc giữa hai đường thẳng $AH$ và $AK$.

5. Áp dụng công thức tính góc phẳng nhị diện:
   - Ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian để tìm góc phẳng nhị diện.
   - Gọi $\theta$ là góc giữa hai đường thẳng $AH$ và $AK$.
   - Ta có:
     $$
     \cos \theta = \frac{\vec{AH} \cdot \vec{AK}}{|\vec{AH}| |\vec{AK}|}
     $$

6. Tính toán các vector:
   - Vector $\vec{AH}$ là vector từ điểm $A$ đến điểm $H$.
   - Vector $\vec{AK}$ là vector từ điểm $A$ đến điểm $K$.
   - Ta cần tìm các tọa độ của các điểm $H$ và $K$ để tính toán các vector $\vec{AH}$ và $\vec{AK}$.

7. Lập phương trình và giải phương trình:
   - Ta cần lập phương trình để tìm tọa độ của các điểm $H$ và $K$.
   - Sau đó, ta tính toán các vector $\vec{AH}$ và $\vec{AK}$.
   - Cuối cùng, ta tính toán góc $\theta$ bằng công thức trên.

8. Kết luận:
   - Góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A]$ là góc $\theta$ đã tính toán.

Đáp số: Góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A]$ là $\theta$ (độ, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).