Cho △ABC, N là trung điểm AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại I. Vẽ điểm K sao cho N là trung điểm của IK a) Tứ giác AICK là hình gì? Vì sao? b) Trên tia đối tia IC lấy H sao cho I là trung điểm c...

a) Ta có N là trung điểm của AC và IK nên tứ giác AICK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo). b) Ta có I là trung điểm của CH nên CI = IH. Ta cũng có AI là tia phân giác của góc A nên góc CAI = góc IAB. Mặt khác, ta có góc CAI = góc IAB (vì AI là tia phân giác của góc A) và góc AIC = góc AIB (vì hai góc này đối đỉnh). Do đó, tam giác AIC và tam giác AIB đồng dạng theo trường hợp góc - góc - góc (góc CAI = góc IAB, góc AIC = góc AIB và góc ACI = góc ABI). Từ đó ta có tỉ lệ cạnh: $\frac{AI}{AI} = \frac{CI}{BI} = \frac{AC}{AB}$. Vì CI = IH nên ta có $\frac{CI}{BI} = \frac{IH}{BI}$. Do đó, tam giác AIC và tam giác AIB đồng dạng theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (AI chung, góc CAI = góc IAB và $\frac{CI}{BI} = \frac{IH}{BI}$). Từ đó ta có AH = IK (vì hai tam giác đồng dạng có tỉ lệ cạnh bằng nhau). c) Ta có M là trung điểm của BC nên BM = MC. Ta cũng có N là trung điểm của AC nên AN = NC. Ta có góc ANC = góc IMB (vì hai góc này đối đỉnh). Do đó, tam giác ANC và tam giác IMB đồng dạng theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (AN = NC, góc ANC = góc IMB và NC = MB). Từ đó ta có tỉ lệ cạnh: $\frac{AN}{IM} = \frac{NC}{MB} = \frac{AC}{IB}$. Vì AN = NC nên ta có $\frac{AN}{IM} = \frac{NC}{MB}$. Do đó, IB . NC = IC . MB (vì hai tam giác đồng dạng có tỉ lệ cạnh bằng nhau). Đáp số: a) Tứ giác AICK là hình bình hành. b) AH = IK. c) IB . NC = IC . MB.