Giup mik vs

Câu 1: a) $\lim_{x\rightarrow4}\frac{3x^2-15x+12}{16-x^2}$ Ta thấy rằng khi $x \to 4$, mẫu số $16 - x^2 \to 0$. Ta sẽ phân tích tử số: \[ 3x^2 - 15x + 12 = 3(x^2 - 5x + 4) = 3(x - 1)(x - 4) \] Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow4}\frac{3(x - 1)(x - 4)}{(4 - x)(4 + x)} = \lim_{x\rightarrow4}\frac{-3(x - 1)}{4 + x} = \frac{-3(4 - 1)}{4 + 4} = \frac{-9}{8} \] b) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{2x^2-6x+4}{1-x^3}$ Phân tích tử số: \[ 2x^2 - 6x + 4 = 2(x^2 - 3x + 2) = 2(x - 1)(x - 2) \] Phân tích mẫu số: \[ 1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2) \] Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{2(x - 1)(x - 2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{-2(x - 2)}{1 + x + x^2} = \frac{-2(1 - 2)}{1 + 1 + 1} = \frac{2}{3} \] c) $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x-1}{2x^3+x}$ Chia cả tử và mẫu cho $x^3$: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{2x}{x^3} - \frac{1}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{x}{x^3}} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{0 - 0}{2 + 0} = 0 \] d) $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+3x-2}}{3x+1}$ Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{2}{x^2}}}{3 + \frac{1}{x}} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}}}{3 + \frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1 + 0 - 0}}{3 + 0} = \frac{1}{3} \] e) $\lim_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{2x^2+1}+x)$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{2x^2+1}+x) \cdot \frac{\sqrt{2x^2+1}-x}{\sqrt{2x^2+1}-x} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^2+1-x^2}{\sqrt{2x^2+1}-x} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2+1}{\sqrt{2x^2+1}-x} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x + \frac{1}{x}}{\sqrt{2 + \frac{1}{x^2}} - 1} = \frac{-\infty + 0}{\sqrt{2 + 0} - 1} = \frac{-\infty}{\sqrt{2} - 1} = -\infty \] f) $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2-4x}-x)$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2-4x}-x) \cdot \frac{\sqrt{x^2-4x}+x}{\sqrt{x^2-4x}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2-4x-x^2}{\sqrt{x^2-4x}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-4x}{\sqrt{x^2-4x}+x} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-4}{\sqrt{1-\frac{4}{x}}+1} = \frac{-4}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{-4}{2} = -2 \] g) $\lim_{x\rightarrow1^+}(1-x)\sqrt{\frac{x+5}{x^2+2x-3}}$ Phân tích mẫu số: \[ x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) \] Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow1^+}(1-x)\sqrt{\frac{x+5}{(x-1)(x+3)}} = \lim_{x\rightarrow1^+}\sqrt{\frac{(1-x)(x+5)}{(x-1)(x+3)}} = \lim_{x\rightarrow1^+}\sqrt{\frac{-(x+5)}{x+3}} = \sqrt{\frac{-(1+5)}{1+3}} = \sqrt{\frac{-6}{4}} = \sqrt{-\frac{3}{2}} \] Vì $\sqrt{-\frac{3}{2}}$ không tồn tại trong tập số thực, nên giới hạn này không tồn tại. i) $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{(x-1)^2(5x+2)^2}{(3x+1)^4}$ Chia cả tử và mẫu cho $x^4$: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\left(\frac{x-1}{x}\right)^2 \left(\frac{5x+2}{x}\right)^2}{\left(\frac{3x+1}{x}\right)^4} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right)^2 \left(5 + \frac{2}{x}\right)^2}{\left(3 + \frac{1}{x}\right)^4} = \frac{(1 - 0)^2 (5 + 0)^2}{(3 + 0)^4} = \frac{1 \cdot 25}{81} = \frac{25}{81} \] Đáp số: a) $\frac{-9}{8}$ b) $\frac{2}{3}$ c) $0$ d) $\frac{1}{3}$ e) $-\infty$ f) $-2$ g) Không tồn tại i) $\frac{25}{81}$ Câu 2. Để hàm số liên tục tại \( x_0 = 4 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 4} f(x) = f(4) \] Trước tiên, tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \to 4 \): \[ \lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 21x + 20}{x - 4} \] Ta thực hiện phép chia đa thức \( x^3 - 21x + 20 \) cho \( x - 4 \): 1. Chia \( x^3 \) cho \( x \) được \( x^2 \). 2. Nhân \( x^2 \) với \( x - 4 \) được \( x^3 - 4x^2 \). 3. Trừ đi \( x^3 - 4x^2 \) từ \( x^3 - 21x + 20 \) còn lại \( 4x^2 - 21x + 20 \). 4. Chia \( 4x^2 \) cho \( x \) được \( 4x \). 5. Nhân \( 4x \) với \( x - 4 \) được \( 4x^2 - 16x \). 6. Trừ đi \( 4x^2 - 16x \) từ \( 4x^2 - 21x + 20 \) còn lại \( -5x + 20 \). 7. Chia \( -5x \) cho \( x \) được \( -5 \). 8. Nhân \( -5 \) với \( x - 4 \) được \( -5x + 20 \). 9. Trừ đi \( -5x + 20 \) từ \( -5x + 20 \) còn lại 0. Do đó: \[ \frac{x^3 - 21x + 20}{x - 4} = x^2 + 4x - 5 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} (x^2 + 4x - 5) = 4^2 + 4 \cdot 4 - 5 = 16 + 16 - 5 = 27 \] Tiếp theo, tính \( f(4) \): \[ f(4) = \frac{3}{2} \cdot 4^2 + m \cdot 4 + 2m^2 + m = \frac{3}{2} \cdot 16 + 4m + 2m^2 + m = 24 + 5m + 2m^2 \] Để hàm số liên tục tại \( x = 4 \), ta cần: \[ 27 = 24 + 5m + 2m^2 \] \[ 2m^2 + 5m - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ m = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} \] Có hai nghiệm: \[ m = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{(loại vì yêu cầu giá trị nguyên)} \] \[ m = \frac{-12}{4} = -3 \] Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số liên tục tại \( x_0 = 4 \), đó là \( m = -3 \). Đáp số: 1 giá trị nguyên của \( m \). Câu 3: a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD nên MN // CD và MN = $\frac{1}{2}$ CD. Mặt khác, CD nằm trong mặt phẳng (SCD) nên MN // (SCD). Tương tự, vì N là trung điểm của SD và AB // CD nên AN // SB và AN = $\frac{1}{2}$ SB. Mặt khác, SB nằm trong mặt phẳng (SBC) nên AN // (SBC). b) Xét mặt phẳng (SAD) cắt (SBC) theo đường thẳng SK. Vì AB // CD nên ta có $\frac{AK}{KD} = \frac{AB}{CD} = \frac{1}{2}$. Do đó, K là điểm chia đoạn AD theo tỉ số 1 : 2. Vậy $\frac{SK}{AB} = \frac{SK}{\frac{1}{2}CD} = \frac{SK}{\frac{1}{2}AD} = \frac{SK}{\frac{1}{2} \times 3AK} = \frac{SK}{\frac{3}{2}AK} = \frac{2}{3}$.