Trả lời câu hỏi _____, của ttuy nguyyui trả tới ngăm 1hí sinh trả lời từ câu 15 đến câu 1,0,5 điểm),Câu 15. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mò.,diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tíc,của đế tháp. Biết diện tích của đế tháp là $12288~m^2.$ Tính diện tích mặt trên cùng của tháp?,Câu 16. Tính giới hạn $\lim\frac{4+5n-6n^2}{2n^2+3}$,Câu 17. Tính $\lim_{x ightarrow1}\frac{x^3-2x^2+5}{2x-1}.$,Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,, N lần lượt là,trung điểm của SC, OB. Gọi I là giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN). Tỉ số,$\frac{SI}{DI}=\frac mn,m\in\Box,n\in O,$ m và n nguyên tố cùng nhau. Tính $m+2n?$,Phần 4: Tự luận.,Câu 19 (0,5 điểm). Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai d của cấp số cộng sau: $\left\{\begin{array}lu_2+u_1=20\u_1+u_4=18\end{array} ight.$,Câu 20 (0,5 điểm). Xét tính tăng giảm của các dãy số $(u_s)$ với $u_1=2n^3-5n+1$,Câu 21 (1,0 điểm). Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một,miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1,,2, 3, 4, ...n,... trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.Giả,sử quy trình tô màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện,tích mà chuột Mickey phải tô màu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).,Mã đề 102 Trang 3

Question

Trả lời câu hỏi _____, của ttuy nguyyui trả tới ngăm  1hí sinh trả lời từ câu 15 đến câu 1,0,5 điểm),Câu 15. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mò.,diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tíc,của đế tháp. Biết diện tích của đế tháp là $12288~m^2.$ Tính diện tích mặt trên cùng của tháp?,Câu 16. Tính giới hạn $\lim\frac{4+5n-6n^2}{2n^2+3}$,Câu 17. Tính $\lim_{xightarrow1}\frac{x^3-2x^2+5}{2x-1}.$,Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,, N lần lượt là,trung điểm của SC, OB. Gọi I là giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN). Tỉ số,$\frac{SI}{DI}=\frac mn,m\in\Box,n\in O,$ m và n nguyên tố cùng nhau. Tính $m+2n?$,Phần 4: Tự luận.,Câu 19 (0,5 điểm). Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai d của cấp số cộng sau: $\left\{\begin{array}lu_2+u_1=20\u_1+u_4=18\end{array}ight.$,Câu 20 (0,5 điểm). Xét tính tăng giảm của các dãy số $(u_s)$ với $u_1=2n^3-5n+1$,Câu 21 (1,0 điểm). Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một,miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1,,2, 3, 4, ...n,... trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.Giả,sử quy trình tô màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện,tích mà chuột Mickey phải tô màu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).,Mã đề 102 Trang 3

Accepted Answer

Câu 15. Diện tích mặt trên của tầng thứ 10 là $\frac{12288}{2} = 6144~m^2$ Diện tích mặt trên của tầng thứ 9 là $\frac{6144}{2} = 3072~m^2$ Diện tích mặt trên của tầng thứ 8 là $\frac{3072}{2} = 1536~m^2$ Diện tích mặt trên của tầng thứ 7 là $\frac{1536}{2} = 768~m^2$ Diện tích mặt trên của tầng thứ 6 là $\frac{768}{2} = 384~m^2$ Diện tích mặt trên của tầng thứ 5 là $\frac{384}{2} = 192~m^2$ Diện tích mặt trên của tầng thứ 4 là $\frac{192}{2} = 96~m^2$ Diện tích mặt trên của tầng thứ 3 là $\frac{96}{2} = 48~m^2$ Diện tích mặt trên của tầng thứ 2 là $\frac{48}{2} = 24~m^2$ Diện tích mặt trên của tầng thứ 1 là $\frac{24}{2} = 12~m^2$ Vậy diện tích mặt trên cùng của tháp là 12 m². Câu 16. Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{4 + 5n - 6n^2}{2n^2 + 3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^2$ (vì đây là bậc cao nhất trong cả tử số và mẫu số). $$ \lim_{n \to \infty} \frac{4 + 5n - 6n^2}{2n^2 + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4}{n^2} + \frac{5n}{n^2} - \frac{6n^2}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2} + \frac{3}{n^2}} $$ Bước 2: Rút gọn các phân số trong biểu thức. $$ = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4}{n^2} + \frac{5}{n} - 6}{2 + \frac{3}{n^2}} $$ Bước 3: Xét giới hạn của từng thành phần khi $n \to \infty$. - $\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^2} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0$ Do đó, ta có: $$ = \frac{0 + 0 - 6}{2 + 0} = \frac{-6}{2} = -3 $$ Vậy, giới hạn của biểu thức là: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{4 + 5n - 6n^2}{2n^2 + 3} = -3 $$ Câu 17. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^3-2x^2+5}{2x-1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay $ x = 1 $ vào tử số và mẫu số để kiểm tra xem có thể thay trực tiếp hay không. Tử số: $ x^3 - 2x^2 + 5 $ Khi $ x = 1 $: $$ 1^3 - 2(1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 $$ Mẫu số: $ 2x - 1 $ Khi $ x = 1 $: $$ 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 $$ Bước 2: Vì cả tử số và mẫu số đều không bằng 0 khi $ x = 1 $, ta có thể thay trực tiếp $ x = 1 $ vào biểu thức. Do đó: $$ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^3-2x^2+5}{2x-1} = \frac{4}{1} = 4 $$ Vậy, giới hạn của biểu thức khi $ x $ tiến đến 1 là 4. Đáp số: 4 Câu 19 Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số cộng, số hạng thứ n được tính theo công thức: $$ u_n = u_1 + (n-1)d $$ Áp dụng vào bài toán, ta có: $$ u_2 = u_1 + d $$ $$ u_4 = u_1 + 3d $$ Thay vào hệ phương trình đã cho: $$ \left\{ \begin{array}{l} u_1 + d + u_1 = 20 \ u_1 + u_1 + 3d = 18 \end{array} \right. $$ Simplifying these equations: $$ \left\{ \begin{array}{l} 2u_1 + d = 20 \quad \text{(1)} \ 2u_1 + 3d = 18 \quad \text{(2)} \end{array} \right. $$ Bây giờ, ta sẽ trừ phương trình (1) từ phương trình (2): $$ (2u_1 + 3d) - (2u_1 + d) = 18 - 20 $$ $$ 2d = -2 $$ $$ d = -1 $$ Thay $ d = -1 $ vào phương trình (1): $$ 2u_1 - 1 = 20 $$ $$ 2u_1 = 21 $$ $$ u_1 = \frac{21}{2} $$ Vậy số hạng đầu $ u_1 $ và công sai $ d $ của cấp số cộng là: $$ u_1 = \frac{21}{2}, \quad d = -1 $$ Câu 20 Để xét tính tăng giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n^3 - 5n + 1$, ta sẽ so sánh $u_{n+1}$ với $u_n$. Bước 1: Tính $u_{n+1}$: $$ u_{n+1} = 2(n+1)^3 - 5(n+1) + 1 $$ $$ = 2(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 5n - 5 + 1 $$ $$ = 2n^3 + 6n^2 + 6n + 2 - 5n - 5 + 1 $$ $$ = 2n^3 + 6n^2 + n - 2 $$ Bước 2: Tính hiệu $u_{n+1} - u_n$: $$ u_{n+1} - u_n = (2n^3 + 6n^2 + n - 2) - (2n^3 - 5n + 1) $$ $$ = 2n^3 + 6n^2 + n - 2 - 2n^3 + 5n - 1 $$ $$ = 6n^2 + 6n - 3 $$ Bước 3: Xét dấu của $u_{n+1} - u_n$: $$ u_{n+1} - u_n = 6n^2 + 6n - 3 $$ Ta thấy rằng $6n^2 + 6n - 3$ là một đa thức bậc hai với hệ số cao nhất dương ($6 > 0$). Để xác định dấu của nó, ta cần tìm nghiệm của phương trình $6n^2 + 6n - 3 = 0$. Tính $\Delta$: $$ \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 36 + 72 = 108 $$ $$ \sqrt{\Delta} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} $$ Các nghiệm của phương trình là: $$ n_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 - 6\sqrt{3}}{12} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} $$ $$ n_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + 6\sqrt{3}}{12} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} $$ Vì $n$ là số tự nhiên, ta chỉ quan tâm đến phần dương của khoảng nghiệm. Ta thấy rằng $\frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \approx 0.366$. Do đó, với $n \geq 1$, ta có $6n^2 + 6n - 3 > 0$. Vậy $u_{n+1} - u_n > 0$ với mọi $n \geq 1$. Điều này chứng tỏ dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng. Kết luận: Dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n^3 - 5n + 1$ là dãy số tăng. Câu 21 Đầu tiên, ta tính diện tích của mỗi hình vuông nhỏ theo thứ tự từ 1 đến n. Diện tích của hình vuông đầu tiên (cạnh bằng 1) là: $$ S_1 = 1^2 = 1 $$ Diện tích của hình vuông thứ hai (cạnh bằng $\frac{1}{2}$) là: $$ S_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$ Diện tích của hình vuông thứ ba (cạnh bằng $\frac{1}{4}$) là: $$ S_3 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} $$ Diện tích của hình vuông thứ tư (cạnh bằng $\frac{1}{8}$) là: $$ S_4 = \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64} $$ Cứ như vậy, diện tích của hình vuông thứ n (cạnh bằng $\frac{1}{2^{n-1}}$) là: $$ S_n = \left(\frac{1}{2^{n-1}}\right)^2 = \frac{1}{4^{n-1}} $$ Tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu là tổng của dãy số: $$ S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + \ldots $$ $$ S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \ldots $$ Dãy số này là dãy số lũy thừa với công bội là $\frac{1}{4}$. Tổng của dãy số lũy thừa vô hạn với công bội q (0 < |q| < 1) là: $$ S = \frac{a}{1 - q} $$ Trong đó, a là số hạng đầu tiên của dãy số và q là công bội. Áp dụng vào bài toán: $$ a = 1 $$ $$ q = \frac{1}{4} $$ Tổng diện tích là: $$ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \approx 1.33 $$ Vậy tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu là khoảng 1.33 (đơn vị diện tích). Đáp số: 1.33