giảiiuiiiii

BÀI 1. Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta cần dựa vào các tính chất và phương pháp đã học trong chương trình lớp 11. Dưới đây là một ví dụ cụ thể về cách lập luận từng bước để chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Giả sử ta có hai đường thẳng $$ và $$ với phương trình lần lượt là: $$ $$ Để chứng minh rằng hai đường thẳng này vuông góc, ta cần kiểm tra điều kiện về hệ số góc của chúng. Cụ thể, hai đường thẳng vuông góc nếu và chỉ nếu tích của các hệ số góc của chúng bằng -1, tức là: $$ Bây giờ, ta sẽ thực hiện các bước chi tiết: 1. Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng: - Hệ số góc của đường thẳng $$ là $$. - Hệ số góc của đường thẳng $$ là $$. 2. Kiểm tra điều kiện vuông góc: - Ta cần kiểm tra xem liệu $$ hay không. 3. Lập luận kết luận: - Nếu $$, thì hai đường thẳng $$ và $$ vuông góc với nhau. - Ngược lại, nếu $$, thì hai đường thẳng không vuông góc. Ví dụ cụ thể: Giả sử ta có hai đường thẳng: $$ $$ - Hệ số góc của $$ là $$. - Hệ số góc của $$ là $$. Ta kiểm tra điều kiện vuông góc: $$ Vì $$, nên hai đường thẳng $$ và $$ vuông góc với nhau. Kết luận: Hai đường thẳng $$ và $$ vuông góc với nhau. Câu 1. Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm O. Để tìm số lượng đường thẳng vuông góc với đường thẳng d đi qua điểm O, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d: - Qua điểm O, ta có thể xác định duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d. Gọi mặt phẳng này là (P). 2. Xác định các đường thẳng vuông góc với đường thẳng d trong mặt phẳng (P): - Trong mặt phẳng (P), qua điểm O, ta có thể vẽ vô số đường thẳng. Mỗi đường thẳng này đều vuông góc với đường thẳng d vì chúng nằm trong mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) đã được xác định là vuông góc với đường thẳng d. Do đó, qua điểm O, ta có thể vẽ vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng d. Đáp án: B. Vô số. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng trong không gian, nếu một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng khác, thì các đường thẳng đó sẽ nằm trên cùng một mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng đã cho. Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước: 1. Xác định điểm và đường thẳng: Ta có điểm M và đường thẳng A. 2. Xác định các đường thẳng vuông góc: Các đường thẳng đi qua M và vuông góc với A. 3. Tính chất của các đường thẳng vuông góc: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng khác, thì các đường thẳng đó sẽ nằm trên cùng một mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng đã cho. Do đó, các đường thẳng đi qua M và vuông góc với A sẽ cùng thuộc một mặt phẳng. Vậy đáp án đúng là: D. cùng thuộc một mặt phẳng. Câu 3. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một: A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại. - Đây là mệnh đề sai vì nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc, nó không nhất thiết phải vuông góc với đường thẳng còn lại. Ví dụ, trong mặt phẳng, nếu ta có hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng đó nhưng không nhất thiết phải vuông góc với đường thẳng còn lại. B. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. - Đây là mệnh đề đúng theo tính chất của đường thẳng song song. Nếu hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba, thì chúng cũng song song với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. - Đây là mệnh đề đúng. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song, thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại do tính chất của đường thẳng song song và vuông góc. D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. - Đây là mệnh đề sai. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba không nhất thiết phải vuông góc với nhau. Ví dụ, trong mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thứ ba có thể song song với nhau hoặc cắt nhau nhưng không nhất thiết phải vuông góc với nhau. Vậy, các mệnh đề đúng là B và C. Đáp án: B và C. Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là đúng. A. Nếu a $$ c và (P)//c thì a// $$ - Điều này không đúng vì nếu a $$ c và (P)//c, thì a có thể vuông góc với (P) chứ không nhất thiết phải song song với (P). B. Nếu a $$ c và b $$ c thì a // b . - Điều này không đúng vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba không nhất thiết phải song song với nhau. Chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. C. Nếu a $$ b và b $$ c thì a $$ c - Điều này không đúng vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba không nhất thiết phải vuông góc với nhau. Chúng có thể song song hoặc chéo nhau. D. Nếu a $$ b thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau. - Điều này đúng vì hai đường thẳng vuông góc với nhau thì chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau trong không gian. Vậy mệnh đề đúng là: D. Nếu a $$ b thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau. Câu 5. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một: A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. - Đây là khẳng định sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau. B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. - Đây là khẳng định đúng vì hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. C. Trong không gian hai mặt phẳng song song với đường thẳng (d) thì song song với nhau. - Đây là khẳng định sai vì hai mặt phẳng song song với cùng một đường thẳng có thể song song hoặc cắt nhau. D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau. - Đây là khẳng định sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau. Vậy khẳng định đúng là B. Câu 6. Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau, tức là nó là một hình lập phương. A. $$: Vì trong hình lập phương, các mặt là các hình vuông và $$ là đường thẳng đứng từ đỉnh $$ xuống đáy, nên $$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, bao gồm cả $$. Do đó, mệnh đề này đúng. B. $$: Trong hình lập phương, $$ là đường chéo của một mặt phẳng vuông góc với $$. Do đó, $$ vuông góc với $$. Mệnh đề này cũng đúng. C. $$: Trong hình lập phương, $$ là đường thẳng nằm trên mặt phẳng $$ và $$ là đường thẳng nằm trên mặt phẳng $$. Hai đường thẳng này không vuông góc với nhau vì chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng vuông góc. Do đó, mệnh đề này sai. D. $$: Trong hình lập phương, $$ và $$ là hai đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng và vuông góc với nhau. Do đó, mệnh đề này đúng. Vậy mệnh đề sai là: C. $$ Đáp án: C. Câu 7. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh và mặt của nó đều vuông góc với nhau theo các hướng khác nhau. Để tìm đường thẳng vuông góc với BCC', ta cần kiểm tra từng đường thẳng đã cho. A. ID: - ID nằm trên mặt ABB'A' và không trực tiếp vuông góc với BCC'. B. AC: - AC nằm trên mặt ABCD và không trực tiếp vuông góc với BCC'. C. Bi': - Bi' nằm trên mặt BCC'B' và vuông góc với BCC' vì Bi' là đường chéo của mặt BCC'B' và vuông góc với BCC'. D. AD': - AD' nằm trên mặt ADD'A' và không trực tiếp vuông góc với BCC'. Do đó, đường thẳng vuông góc với BCC' là Bi'. Đáp án đúng là: C. Bi'. Câu 8. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và các cạnh SA = SC, SB = SD. - Vì ABCD là hình thoi nên AC và BD vuông góc với nhau tại tâm O. Do đó, ta có: $$ - Xét tam giác SAD và tam giác SCD: + SA = SC (theo đề bài) + AD = CD (vì ABCD là hình thoi) + SD chung Vậy tam giác SAD = tam giác SCD (cạnh - cạnh - cạnh). - Từ đó ta suy ra: $$ Do đó, SD vuông góc với AC tại O (vì hai góc tạo bởi SD với AC bằng nhau và tổng của chúng bằng 90°). - Xét tam giác SAB và tam giác SAD: + SA chung + AB = AD (vì ABCD là hình thoi) + SB = SD (theo đề bài) Vậy tam giác SAB = tam giác SAD (cạnh - cạnh - cạnh). - Từ đó ta suy ra: $$ Do đó, SA vuông góc với BD tại O (vì hai góc tạo bởi SA với BD bằng nhau và tổng của chúng bằng 90°). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng: - $$ là đúng. - $$ là đúng. - $$ là đúng. Nhưng $$ là sai vì không có lập luận nào chứng minh được điều này. Vậy đáp án đúng là: D. $$ Câu 9. Để tính góc giữa hai đường thẳng AC và A'B trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương: Giả sử cạnh lập phương có độ dài là $$. Ta chọn hệ tọa độ sao cho: - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ 2. Tìm vector của các đường thẳng: - Vector $$ từ điểm $$ đến điểm $$: $$ - Vector $$ từ điểm $$ đến điểm $$: $$ 3. Tính tích vô hướng của hai vector: $$ 4. Tính độ dài của hai vector: - Độ dài của $$: $$ - Độ dài của $$: $$ 5. Tính cosin của góc giữa hai vector: $$ 6. Tìm góc $$: $$ Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và A'B là $$. Đáp số: $$