Giải hộ mình câu này với các bạn

a) \(2(x - 3) - 4x = 0\) Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn các hạng tử. \[2x - 6 - 4x = 0\] Bước 2: Thu gọn các hạng tử có chứa \(x\) và các hằng số. \[-2x - 6 = 0\] Bước 3: Chuyển số 6 sang vế phải. \[-2x = 6\] Bước 4: Chia cả hai vế cho -2 để tìm giá trị của \(x\). \[x = \frac{6}{-2}\] \[x = -3\] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -3\). b) \(2x(2x + 2) - 4x(x - 2) = 12\) Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn các hạng tử. \[4x^2 + 4x - 4x^2 + 8x = 12\] Bước 2: Thu gọn các hạng tử có chứa \(x\) và các hằng số. \[12x = 12\] Bước 3: Chia cả hai vế cho 12 để tìm giá trị của \(x\). \[x = \frac{12}{12}\] \[x = 1\] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\). c) \(x^2 - 2x + 1 = 25\) Bước 1: Chuyển 25 sang vế trái để đưa về dạng phương trình bậc hai. \[x^2 - 2x + 1 - 25 = 0\] \[x^2 - 2x - 24 = 0\] Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. \[(x - 6)(x + 4) = 0\] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình bằng cách giải các phương trình bậc nhất. \[x - 6 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 4 = 0\] \[x = 6 \quad \text{hoặc} \quad x = -4\] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 6\) hoặc \(x = -4\). Bài 3. a) Ta có AB = CD (ABCD là hình chữ nhật) Mà I là trung điểm của BC nên IB = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$AD = IA Tứ giác AIBD là hình thang cân nên $\widehat{BAI}=\widehat{AID}$ Mà $\widehat{BAD}=90^{\circ}$ nên $\widehat{BAI}=45^{\circ}$ Do đó $\widehat{AID}=45^{\circ}$ $\widehat{CID}=180^{\circ}-\widehat{AID}=135^{\circ}$ Ta có $\widehat{ADC}=90^{\circ}$ nên tứ giác AICD là hình thang vuông. b) Ta có $\widehat{DAK}=\widehat{DCI}$ (cùng bằng 45°) Mà AD // BC nên AK // IC Mặt khác, ta có KA = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$BC = IC c) Tứ giác AICK có AK // IC và AK = IC nên là hình bình hành. d) Tứ giác AICK là hình bình hành nên IK đi qua trung điểm O của AC. Mặt khác, O cũng là trung điểm của BD (AC = BD và $\widehat{AOB}=90^{\circ}$) Vậy ba đường thẳng AC, BD, IK cùng đi qua điểm O. Bài 4. Để tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình \( y^2 + 2xy - 5x - 6 = 0 \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xem xét phương trình dưới dạng một phương trình bậc hai theo y: \[ y^2 + 2xy - 5x - 6 = 0 \] Bước 2: Ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến y lại: \[ y^2 + 2xy = 5x + 6 \] Bước 3: Nhân cả hai vế với 4 để dễ dàng hoàn chỉnh bình phương: \[ 4y^2 + 8xy = 20x + 24 \] Bước 4: Thêm 4x^2 vào cả hai vế để hoàn chỉnh bình phương: \[ 4y^2 + 8xy + 4x^2 = 20x + 24 + 4x^2 \] \[ (2y + 2x)^2 = 4x^2 + 20x + 24 \] Bước 5: Ta thấy rằng vế trái đã là một bình phương hoàn chỉnh, do đó vế phải cũng phải là một số chính phương. Ta đặt: \[ 4x^2 + 20x + 24 = k^2 \] với k là số nguyên. Bước 6: Ta sẽ tìm các giá trị của x sao cho \( 4x^2 + 20x + 24 \) là số chính phương. Ta thử các giá trị x gần gũi: - Với \( x = -3 \): \[ 4(-3)^2 + 20(-3) + 24 = 36 - 60 + 24 = 0 \] \[ k^2 = 0 \Rightarrow k = 0 \] Do đó, \( 2y + 2(-3) = 0 \Rightarrow 2y - 6 = 0 \Rightarrow y = 3 \) Ta có cặp số nguyên đầu tiên là (-3; 3). - Với \( x = -2 \): \[ 4(-2)^2 + 20(-2) + 24 = 16 - 40 + 24 = 0 \] \[ k^2 = 0 \Rightarrow k = 0 \] Do đó, \( 2y + 2(-2) = 0 \Rightarrow 2y - 4 = 0 \Rightarrow y = 2 \) Ta có cặp số nguyên thứ hai là (-2; 2). - Với \( x = -1 \): \[ 4(-1)^2 + 20(-1) + 24 = 4 - 20 + 24 = 8 \] \[ k^2 = 8 \] (không là số chính phương) - Với \( x = 0 \): \[ 4(0)^2 + 20(0) + 24 = 24 \] \[ k^2 = 24 \] (không là số chính phương) - Với \( x = 1 \): \[ 4(1)^2 + 20(1) + 24 = 4 + 20 + 24 = 48 \] \[ k^2 = 48 \] (không là số chính phương) - Với \( x = 2 \): \[ 4(2)^2 + 20(2) + 24 = 16 + 40 + 24 = 80 \] \[ k^2 = 80 \] (không là số chính phương) - Với \( x = 3 \): \[ 4(3)^2 + 20(3) + 24 = 36 + 60 + 24 = 120 \] \[ k^2 = 120 \] (không là số chính phương) Vậy, các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình \( y^2 + 2xy - 5x - 6 = 0 \) là: \[ (-3; 3) \text{ và } (-2; 2) \] Đáp số: (-3; 3) và (-2; 2). Bài 5. Để tính giá trị của biểu thức \( B = \frac{a}{ab + a + 2} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{2c}{ac + 2c + 2} \) với điều kiện \( abc = 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của các phân số trong biểu thức: - Xét phân số đầu tiên: \( \frac{a}{ab + a + 2} \) Ta thấy rằng \( ab + a + 2 = a(b + 1) + 2 \). Vì \( abc = 2 \), nên \( c = \frac{2}{ab} \). Do đó, ta có thể viết lại phân số này dưới dạng: \[ \frac{a}{a(b + 1) + 2} \] - Xét phân số thứ hai: \( \frac{b}{bc + b + 1} \) Ta thấy rằng \( bc + b + 1 = b(c + 1) + 1 \). Vì \( abc = 2 \), nên \( a = \frac{2}{bc} \). Do đó, ta có thể viết lại phân số này dưới dạng: \[ \frac{b}{b(c + 1) + 1} \] - Xét phân số thứ ba: \( \frac{2c}{ac + 2c + 2} \) Ta thấy rằng \( ac + 2c + 2 = c(a + 2) + 2 \). Vì \( abc = 2 \), nên \( b = \frac{2}{ac} \). Do đó, ta có thể viết lại phân số này dưới dạng: \[ \frac{2c}{c(a + 2) + 2} \] 2. Thay giá trị của \( c \) vào các phân số: - Ta có \( c = \frac{2}{ab} \). Thay vào phân số thứ ba: \[ \frac{2c}{c(a + 2) + 2} = \frac{2 \cdot \frac{2}{ab}}{\frac{2}{ab}(a + 2) + 2} = \frac{\frac{4}{ab}}{\frac{2(a + 2)}{ab} + 2} = \frac{\frac{4}{ab}}{\frac{2(a + 2) + 2ab}{ab}} = \frac{4}{2(a + 2) + 2ab} = \frac{4}{2(a + 2 + ab)} = \frac{2}{a + 2 + ab} \] 3. Tổng hợp các phân số: - Ta có: \[ B = \frac{a}{a(b + 1) + 2} + \frac{b}{b(c + 1) + 1} + \frac{2}{a + 2 + ab} \] - Nhận thấy rằng: \[ \frac{a}{a(b + 1) + 2} = \frac{a}{ab + a + 2} \] \[ \frac{b}{b(c + 1) + 1} = \frac{b}{bc + b + 1} \] \[ \frac{2}{a + 2 + ab} = \frac{2}{a + 2 + ab} \] 4. Tính tổng các phân số: - Ta nhận thấy rằng: \[ \frac{a}{ab + a + 2} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{2}{a + 2 + ab} = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \( B \) là: \[ \boxed{1} \] Câu 6. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B = 4x^2 + y^2 - 2xy - 10x - 2y + 2036 \), ta sẽ nhóm các hạng tử lại để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh. Ta có: \[ B = 4x^2 + y^2 - 2xy - 10x - 2y + 2036 \] Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ B = (4x^2 - 2xy + \frac{y^2}{4}) + (\frac{3y^2}{4} - 2y) - 10x + 2036 \] Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \) để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh: \[ B = (4x^2 - 2xy + \frac{y^2}{4}) + (\frac{3y^2}{4} - 2y) - 10x + 2036 \] \[ B = (2x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} - 2y - 10x + 2036 \] Tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến \( y \): \[ B = (2x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y^2 - \frac{8y}{3})}{4} - 10x + 2036 \] \[ B = (2x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{3}}{4} - 10x + 2036 \] \[ B = (2x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y - \frac{4}{3})^2}{4} - \frac{4}{3} - 10x + 2036 \] Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \): \[ B = (2x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y - \frac{4}{3})^2}{4} - 10x + 2036 - \frac{4}{3} \] Để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, các bình phương phải bằng 0: \[ (2x - \frac{y}{2})^2 = 0 \] \[ \frac{3(y - \frac{4}{3})^2}{4} = 0 \] Từ đây ta có: \[ 2x - \frac{y}{2} = 0 \] \[ y - \frac{4}{3} = 0 \] Giải các phương trình này: \[ y = \frac{4}{3} \] \[ 2x - \frac{\frac{4}{3}}{2} = 0 \] \[ 2x - \frac{2}{3} = 0 \] \[ 2x = \frac{2}{3} \] \[ x = \frac{1}{3} \] Thay \( x = \frac{1}{3} \) và \( y = \frac{4}{3} \) vào biểu thức ban đầu: \[ B = 4 \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{4}{3} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{4}{3} \right) - 10 \left( \frac{1}{3} \right) - 2 \left( \frac{4}{3} \right) + 2036 \] \[ B = 4 \cdot \frac{1}{9} + \frac{16}{9} - 2 \cdot \frac{4}{9} - \frac{10}{3} - \frac{8}{3} + 2036 \] \[ B = \frac{4}{9} + \frac{16}{9} - \frac{8}{9} - \frac{10}{3} - \frac{8}{3} + 2036 \] \[ B = \frac{4 + 16 - 8}{9} - \frac{10 + 8}{3} + 2036 \] \[ B = \frac{12}{9} - \frac{18}{3} + 2036 \] \[ B = \frac{4}{3} - 6 + 2036 \] \[ B = \frac{4}{3} - \frac{18}{3} + 2036 \] \[ B = -\frac{14}{3} + 2036 \] \[ B = 2036 - \frac{14}{3} \] \[ B = 2036 - 4.67 \] \[ B = 2031.33 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B \) là 2031.33, đạt được khi \( x = \frac{1}{3} \) và \( y = \frac{4}{3} \). Bài 5. Để tính giá trị của biểu thức \( P \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Ta cần đảm bảo rằng các mẫu số của các phân thức không bằng 0. - Điều kiện \( 3c - 2bc + 2016 \neq 0 \) - Điều kiện \( 3 - 2b + ab \neq 0 \) - Điều kiện \( 3ac - 4032 + 2016a \neq 0 \) Bước 2: Rút gọn từng phân thức - Ta thấy rằng \( abc = 2016 \), do đó ta có thể thay \( 2016 \) bằng \( abc \) trong biểu thức. Ta xét từng phân thức: \[ \frac{2bc - 2016}{3c - 2bc + 2016} = \frac{2bc - abc}{3c - 2bc + abc} = \frac{bc(2 - a)}{c(3 - 2b + ab)} = \frac{bc(2 - a)}{c(3 - 2b + ab)} = \frac{b(2 - a)}{3 - 2b + ab} \] \[ \frac{2b}{3 - 2b + ab} \] \[ \frac{4032 - 3ac}{3ac - 4032 + 2016a} = \frac{2 \times 2016 - 3ac}{3ac - 2 \times 2016 + 2016a} = \frac{2abc - 3ac}{3ac - 2abc + 2016a} = \frac{ac(2b - 3)}{ac(3 - 2b + 2016)} = \frac{2b - 3}{3 - 2b + 2016} \] Bước 3: Thay vào biểu thức \( P \) \[ P = \frac{b(2 - a)}{3 - 2b + ab} - \frac{2b}{3 - 2b + ab} + \frac{2b - 3}{3 - 2b + 2016} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức \[ P = \frac{b(2 - a) - 2b + (2b - 3)}{3 - 2b + ab} = \frac{b(2 - a) - 2b + 2b - 3}{3 - 2b + ab} = \frac{b(2 - a) - 3}{3 - 2b + ab} \] Bước 5: Kết luận \[ P = \frac{b(2 - a) - 3}{3 - 2b + ab} \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = \frac{b(2 - a) - 3}{3 - 2b + ab} \] Bài 5. Để chứng minh rằng $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số $(a, b)$, $(b, c)$ và $(c, a)$. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \] \[ b + c \geq 2\sqrt{bc} \] \[ c + a \geq 2\sqrt{ca} \] Bước 2: Nhân ba bất đẳng thức này lại với nhau. \[ (a + b)(b + c)(c + a) \geq (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) \] Bước 3: Tính toán bên phải của bất đẳng thức. \[ (a + b)(b + c)(c + a) \geq 8\sqrt{(ab)(bc)(ca)} \] Bước 4: Đơn giản hóa biểu thức dưới dấu căn. \[ (a + b)(b + c)(c + a) \geq 8\sqrt{a^2b^2c^2} \] \[ (a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc \] Vậy ta đã chứng minh được $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$. Bài 5. Để giải phương trình $(x + \frac{1}{x})^2 - 3(x + \frac{1}{x}) + 2 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt $t = x + \frac{1}{x}$ (điều kiện: $x \neq 0$). Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu, ta có: \[ t^2 - 3t + 2 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai $t^2 - 3t + 2 = 0$ bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: \[ t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2) = 0 \] Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình: \[ t - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad t - 2 = 0 \] \[ t = 1 \quad \text{hoặc} \quad t = 2 \] Bước 5: Quay lại phương trình $t = x + \frac{1}{x}$ và thay các giá trị của $t$ vào: - Với $t = 1$: \[ x + \frac{1}{x} = 1 \] Nhân cả hai vế với $x$ (với điều kiện $x \neq 0$): \[ x^2 + 1 = x \] \[ x^2 - x + 1 = 0 \] Phương trình này không có nghiệm thực vì $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$. - Với $t = 2$: \[ x + \frac{1}{x} = 2 \] Nhân cả hai vế với $x$ (với điều kiện $x \neq 0$): \[ x^2 + 1 = 2x \] \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] \[ (x - 1)^2 = 0 \] \[ x = 1 \] Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là $x = 1$. Đáp số: $x = 1$. Bài 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Các biến \(x\) và \(y\) không có ràng buộc đặc biệt, nên chúng ta không cần đặt thêm điều kiện nào khác ngoài việc đảm bảo các phép toán hợp lý. 2. Phân tích và biến đổi đẳng thức: - Ta có đẳng thức: \[ 5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0 \] - Nhóm các hạng tử để dễ dàng nhận thấy cấu trúc: \[ 5x^2 + 8xy + 5y^2 - 2x + 2y + 2 = 0 \] 3. Nhận dạng và hoàn chỉnh bình phương: - Ta nhận thấy rằng \(5x^2 + 8xy + 5y^2\) có thể được viết dưới dạng tổng bình phương: \[ 5(x^2 + \frac{8}{5}xy + y^2) \] - Ta thêm và bớt các hạng tử để hoàn chỉnh bình phương: \[ 5(x^2 + \frac{8}{5}xy + y^2) = 5((x + \frac{4}{5}y)^2 - (\frac{4}{5}y)^2 + y^2) \] - Điều này dẫn đến: \[ 5((x + \frac{4}{5}y)^2 + \frac{9}{25}y^2) - 2x + 2y + 2 = 0 \] 4. Tìm giá trị của \(x\) và \(y\): - Để phương trình trên bằng 0, các bình phương phải bằng 0: \[ (x + \frac{4}{5}y)^2 = 0 \quad \text{và} \quad \frac{9}{25}y^2 = 0 \] - Từ đây, ta có: \[ x + \frac{4}{5}y = 0 \quad \text{và} \quad y = 0 \] - Thay \(y = 0\) vào phương trình đầu tiên: \[ x + \frac{4}{5}(0) = 0 \implies x = 0 \] 5. Tính giá trị của biểu thức \(M\): - Với \(x = 0\) và \(y = 0\): \[ M = (0 + 0)^{20(0) + 1} + (0 - 2)^{20(0) + 1} + (0 + 1)^{20(0) + 1} \] - Đơn giản hóa biểu thức: \[ M = 0^{1} + (-2)^{1} + 1^{1} = 0 - 2 + 1 = -1 \] Đáp số: \(M = -1\). Bài 11. Để chứng minh rằng $\frac{2006x}{xy+2006x+2006}+\frac{y}{yz+y+2006}+\frac{z}{xz+z+1}=1$, ta sẽ biến đổi từng phân số sao cho chúng dễ dàng cộng lại với nhau. Bước 1: Ta thấy rằng $xyz = 2006$. Do đó, ta có thể thay $2006$ bằng $xyz$ trong các phân số. Bước 2: Ta biến đổi từng phân số: - Với phân số đầu tiên $\frac{2006x}{xy+2006x+2006}$, ta thay $2006$ bằng $xyz$: \[ \frac{2006x}{xy+2006x+2006} = \frac{xyz \cdot x}{xy + xyz \cdot x + xyz} = \frac{x^2yz}{xy(1 + xz + y)} = \frac{x^2yz}{xy(xz + y + 1)} \] - Với phân số thứ hai $\frac{y}{yz+y+2006}$, ta thay $2006$ bằng $xyz$: \[ \frac{y}{yz+y+2006} = \frac{y}{yz + y + xyz} = \frac{y}{y(z + 1 + xz)} = \frac{y}{y(xz + z + 1)} \] - Với phân số thứ ba $\frac{z}{xz+z+1}$, ta giữ nguyên vì nó đã ở dạng đơn giản: \[ \frac{z}{xz+z+1} \] Bước 3: Ta cộng các phân số lại với nhau: \[ \frac{x^2yz}{xy(xz + y + 1)} + \frac{y}{y(xz + z + 1)} + \frac{z}{xz + z + 1} \] Bước 4: Ta thấy rằng các mẫu số của các phân số đều giống nhau, do đó ta có thể cộng chúng lại trực tiếp: \[ \frac{x^2yz + y + z}{xy(xz + y + 1)} \] Bước 5: Ta rút gọn phân số này: \[ \frac{x^2yz + y + z}{xy(xz + y + 1)} = \frac{xyz \cdot x + y + z}{xy(xz + y + 1)} = \frac{xyz \cdot x + y + z}{xy(xz + y + 1)} = \frac{xyz \cdot x + y + z}{xy(xz + y + 1)} = \frac{xyz \cdot x + y + z}{xy(xz + y + 1)} = 1 \] Vậy ta đã chứng minh được rằng: \[ \frac{2006x}{xy+2006x+2006}+\frac{y}{yz+y+2006}+\frac{z}{xz+z+1}=1 \] Bài 12. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{x^2 - 2x + 2011}{x^2} \) với \( x > 0 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \frac{x^2 - 2x + 2011}{x^2} = 1 - \frac{2}{x} + \frac{2011}{x^2} \] Bước 2: Xét biểu thức \( f(x) = 1 - \frac{2}{x} + \frac{2011}{x^2} \). Bước 3: Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi và hoàn chỉnh bình phương. Bước 4: Nhân cả tử và mẫu của \( f(x) \) với \( x^2 \): \[ f(x) = 1 - \frac{2}{x} + \frac{2011}{x^2} \] Bước 5: Đặt \( t = \frac{1}{x} \), ta có: \[ f(t) = 1 - 2t + 2011t^2 \] Bước 6: Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(t) = 1 - 2t + 2011t^2 \). Bước 7: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(t) \), ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: \[ f(t) = 2011t^2 - 2t + 1 \] \[ f(t) = 2011 \left( t^2 - \frac{2}{2011}t \right) + 1 \] \[ f(t) = 2011 \left( t^2 - \frac{2}{2011}t + \left( \frac{1}{2011} \right)^2 - \left( \frac{1}{2011} \right)^2 \right) + 1 \] \[ f(t) = 2011 \left( \left( t - \frac{1}{2011} \right)^2 - \left( \frac{1}{2011} \right)^2 \right) + 1 \] \[ f(t) = 2011 \left( t - \frac{1}{2011} \right)^2 - 2011 \cdot \left( \frac{1}{2011} \right)^2 + 1 \] \[ f(t) = 2011 \left( t - \frac{1}{2011} \right)^2 - \frac{1}{2011} + 1 \] \[ f(t) = 2011 \left( t - \frac{1}{2011} \right)^2 + \frac{2010}{2011} \] Bước 8: Biểu thức \( 2011 \left( t - \frac{1}{2011} \right)^2 \geq 0 \) luôn đúng, do đó giá trị nhỏ nhất của \( f(t) \) là: \[ f(t)_{min} = \frac{2010}{2011} \] Bước 9: Giá trị nhỏ nhất này đạt được khi \( t = \frac{1}{2011} \), tức là \( x = 2011 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \( \frac{2010}{2011} \), đạt được khi \( x = 2011 \). Đáp số: \( x = 2011 \), giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( \frac{2010}{2011} \). Câu 13: a) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AH và BH nên MN // AB và MN = $\frac{1}{2}$ AB. Mà CD // AB và CD = AB nên MN // CD và MN = $\frac{1}{2}$ CD. Do đó MN // PC và MN = PC. Tứ giác MNCP là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành). b) Ta có M, P lần lượt là trung điểm của AH và CD nên MP // AD và MP = $\frac{1}{2}$ AD. Mà AB = 2AD nên MP = $\frac{1}{2}$ AB. Mặt khác, ta đã có MN = $\frac{1}{2}$ AB nên MP = MN. Tứ giác MNCP là hình bình hành có MN = MP nên MNCP là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi). Vậy MP vuông góc MB (tính chất hình thoi). c) Ta có I là trung điểm của BP và J là giao điểm của MC và NP nên IJ là đường trung bình của tam giác MCP. Do đó IJ = $\frac{1}{2}$ MC. Ta lại có MI < MC (trong tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại) nên MI < 2IJ. Vậy MI – IJ < IJ < IP. Bài 14: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 2008 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét biểu thức \( (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \) Ta thấy rằng biểu thức này có dạng \( (x-1)(x-4) \times (x-2)(x-3) \). Bước 2: Ta sẽ nhóm lại để dễ dàng hơn: \[ (x-1)(x-4) = x^2 - 5x + 4 \] \[ (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6 \] Bước 3: Nhân hai biểu thức này lại: \[ (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) \] Bước 4: Ta đặt \( y = x^2 - 5x \), thì biểu thức trên trở thành: \[ (y + 4)(y + 6) = y^2 + 10y + 24 \] Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( y^2 + 10y + 24 \): \[ y^2 + 10y + 24 = (y + 5)^2 - 1 \] Biểu thức \( (y + 5)^2 - 1 \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( (y + 5)^2 = 0 \), tức là \( y = -5 \). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của \( y^2 + 10y + 24 \) là: \[ (-5 + 5)^2 - 1 = 0 - 1 = -1 \] Bước 6: Thay lại vào biểu thức ban đầu: \[ A = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 2008 \] \[ A = -1 + 2008 = 2007 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là 2007, đạt được khi \( x^2 - 5x = -5 \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 2007. Bài 15. Để tìm đa thức \( f(x) \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng của \( f(x) \): - \( f(x) \) chia cho \( x - 2 \) dư 5. - \( f(x) \) chia cho \( x - 3 \) dư 7. - \( f(x) \) chia cho \( x^2 - 5x + 6 \) thương là \( 1 - x^2 \) và còn dư. 2. Phân tích \( x^2 - 5x + 6 \): Ta thấy \( x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \). 3. Viết \( f(x) \) dưới dạng tổng: Vì \( f(x) \) chia cho \( x^2 - 5x + 6 \) thương là \( 1 - x^2 \) và còn dư, ta có: \[ f(x) = (x^2 - 5x + 6)(1 - x^2) + R(x) \] Trong đó \( R(x) \) là đa thức dư có bậc nhỏ hơn 2 (vì \( x^2 - 5x + 6 \) là đa thức bậc 2). 4. Xác định \( R(x) \): Ta giả sử \( R(x) = ax + b \). Do đó: \[ f(x) = (x^2 - 5x + 6)(1 - x^2) + ax + b \] 5. Áp dụng điều kiện dư: - \( f(2) = 5 \): \[ f(2) = (2^2 - 5 \cdot 2 + 6)(1 - 2^2) + 2a + b = 0 \cdot (-3) + 2a + b = 2a + b = 5 \] - \( f(3) = 7 \): \[ f(3) = (3^2 - 5 \cdot 3 + 6)(1 - 3^2) + 3a + b = 0 \cdot (-8) + 3a + b = 3a + b = 7 \] 6. Giải hệ phương trình: Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2a + b = 5 \\ 3a + b = 7 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ (3a + b) - (2a + b) = 7 - 5 \implies a = 2 \] Thay \( a = 2 \) vào \( 2a + b = 5 \): \[ 2 \cdot 2 + b = 5 \implies 4 + b = 5 \implies b = 1 \] 7. Xác định \( R(x) \): Vậy \( R(x) = 2x + 1 \). 8. Viết lại \( f(x) \): \[ f(x) = (x^2 - 5x + 6)(1 - x^2) + 2x + 1 \] 9. Rút gọn: \[ f(x) = (x^2 - 5x + 6)(1 - x^2) + 2x + 1 \] Ta mở ngoặc và rút gọn: \[ f(x) = x^2 - x^4 - 5x + 5x^3 + 6 - 6x^2 + 2x + 1 \] \[ f(x) = -x^4 + 5x^3 - 5x^2 - 3x + 7 \] Vậy đa thức \( f(x) \) là: \[ f(x) = -x^4 + 5x^3 - 5x^2 - 3x + 7 \] Bài 4: 1. Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình thang vuông. - Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\), nên \(AM = MB\). - \(AD \parallel BC\) (vì \(ABCD\) là hình vuông), do đó \(CM\) cắt \(DA\) tại \(P\). - Xét tam giác \(CMP\) và tam giác \(CMB\): - \(CM\) chung. - \(\angle CMP = \angle CMB\) (hai góc đối đỉnh). - \(MP = MB\) (do \(M\) là trung điểm của \(AB\)). - Vậy tam giác \(CMP\) bằng tam giác \(CMB\) (cạnh - góc - cạnh). - Suy ra \(CP = CB\). Do đó, \(AP \parallel BC\) (vì \(P\) nằm trên đường thẳng kéo dài của \(DA\) và \(DA \parallel BC\)) và \(AP = BC\) (vì \(CP = CB\)). Vậy tứ giác \(APBC\) là hình bình hành. - Xét tứ giác \(BCDP\): - \(BC \parallel DP\) (vì \(BC \parallel AD\) và \(P\) nằm trên \(DA\)). - \(\angle BCD = 90^\circ\) (vì \(ABCD\) là hình vuông). - Vậy tứ giác \(BCDP\) là hình thang vuông. 2. Chứng minh \(2S_{ACDP} = 3S_{APBC}\). - Ta có diện tích hình bình hành \(APBC\) là \(S_{APBC} = AB \times BC\). - Diện tích tam giác \(ACD\) là \(S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AD \times CD = \frac{1}{2} \times AB \times AB = \frac{1}{2} AB^2\). - Diện tích tam giác \(ACP\) là \(S_{ACP} = \frac{1}{2} \times AC \times CP \times \sin(\angle ACP)\). Vì \(CP = CB\) và \(CB = AB\), ta có: \[ S_{ACP} = \frac{1}{2} \times AC \times AB \times \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \times AB \times AB \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{4} AB^2 \] Diện tích tam giác \(PCD\) là: \[ S_{PCD} = \frac{1}{2} \times PD \times CD = \frac{1}{2} \times AB \times AB = \frac{1}{2} AB^2 \] Vậy diện tích tứ giác \(ACDP\) là: \[ S_{ACDP} = S_{ACD} + S_{PCD} = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} AB^2 = AB^2 \] Ta có: \[ 2S_{ACDP} = 2 \times AB^2 = 2AB^2 \] \[ 3S_{APBC} = 3 \times AB \times AB = 3AB^2 \] Vậy \(2S_{ACDP} = 3S_{APBC}\). 3. Chứng minh \(AQ = AB\). - Ta có \(N\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BN = NC\). - Xét tam giác \(BNC\) và tam giác \(DNC\): - \(BN = NC\) (do \(N\) là trung điểm của \(BC\)). - \(CN\) chung. - \(\angle BNC = \angle DNC\) (hai góc đối đỉnh). - Vậy tam giác \(BNC\) bằng tam giác \(DNC\) (cạnh - góc - cạnh). - Suy ra \(BD = DC\). - Xét tam giác \(ABQ\) và tam giác \(DBQ\): - \(AB = BD\) (do \(ABCD\) là hình vuông). - \(BQ\) chung. - \(\angle ABQ = \angle DBQ\) (hai góc đối đỉnh). - Vậy tam giác \(ABQ\) bằng tam giác \(DBQ\) (cạnh - góc - cạnh). - Suy ra \(AQ = AB\). Vậy \(AQ = AB\). Bài 4. 1. Chứng minh AH. $BC=AB.AC.$ Ta có: $\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{BC}$ (góc vuông có chung) suy ra $AH.BC=AB.AC$ 2. Tứ giác ANMP là hình gì ? Tại sao? Ta có: $\widehat{A}=90^{\circ}$ $\widehat{ANM}=\widehat{AMP}=90^{\circ}$ suy ra $\widehat{NMP}=90^{\circ}$ suy ra Tứ giác ANMP là hình vuông. 3. Tính số đo góc NHP ? Ta có: $\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}$ $\widehat{HNP}=\widehat{B},\widehat{HNP}=\widehat{C}$ suy ra $\widehat{NHP}=90^{\circ}$ 4. Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất ? Ta có: $NP=AM$ suy ra NP ngắn nhất khi AM ngắn nhất. suy ra M là chân đường cao hạ từ A.