Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 13. a) Thực hiện phép nhân đa thức với đơn thức: \[ 4xy^2 . (x^2 - 3xy + 2) \] Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử của đa thức với đơn thức: \[ = 4xy^2 . x^2 - 4xy^2 . 3xy + 4xy^2 . 2 \] \[ = 4x^{1+2}y^2 - 12x^{1+1}y^{2+1} + 8xy^2 \] \[ = 4x^3y^2 - 12x^2y^3 + 8xy^2 \] b) Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức: \[ (15x^2y^4 - 3xy^3 + 5xy^2) : 5y^2 \] Ta thực hiện phép chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức: \[ = \frac{15x^2y^4}{5y^2} - \frac{3xy^3}{5y^2} + \frac{5xy^2}{5y^2} \] \[ = 3x^2y^{4-2} - \frac{3}{5}xy^{3-2} + xy^{2-2} \] \[ = 3x^2y^2 - \frac{3}{5}xy + x \] Đáp số: a) \( 4x^3y^2 - 12x^2y^3 + 8xy^2 \) b) \( 3x^2y^2 - \frac{3}{5}xy + x \) Câu 14. a) Rút gọn biểu thức: $(2x+5)^2+(3x-1)^2$ Áp dụng hằng đẳng thức $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ và $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$, ta có: $(2x+5)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25$ $(3x-1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$ Do đó, biểu thức cần rút gọn là: $(2x+5)^2 + (3x-1)^2 = 4x^2 + 20x + 25 + 9x^2 - 6x + 1 = 13x^2 + 14x + 26$ b) Chứng minh đẳng thức: $(a+b)^3-(a-b)^3=2b(3a^2+b^2)$ Áp dụng hằng đẳng thức $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ và $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$, ta có: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ Do đó, $(a+b)^3 - (a-b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)$ $= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3$ $= 6a^2b + 2b^3$ $= 2b(3a^2 + b^2)$ Vậy ta đã chứng minh được $(a+b)^3-(a-b)^3=2b(3a^2+b^2)$. Câu 15. a) \(4x^2 - 25\) Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)\] b) \(12y^3 - 8y^2 + 4xy\) Nhóm các hạng tử có chứa \(4y\) làm thừa số chung: \[12y^3 - 8y^2 + 4xy = 4y(3y^2 - 2y + x)\] c) \(x^2y + x^2 + xy - 1\) Nhóm các hạng tử có chứa \(x^2\) và các hạng tử còn lại: \[x^2y + x^2 + xy - 1 = x^2(y + 1) + (xy - 1)\] Nhóm tiếp tục các hạng tử có chứa \(y + 1\): \[= x^2(y + 1) + x(y - 1)\] d) \(2x^3y - 2xy^3 - 4xy^2 - 2xy\) Nhóm các hạng tử có chứa \(2xy\) làm thừa số chung: \[2x^3y - 2xy^3 - 4xy^2 - 2xy = 2xy(x^2 - y^2 - 2y - 1)\] Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) cho \(x^2 - y^2\): \[= 2xy((x - y)(x + y) - 2y - 1)\] Tóm lại, các đa thức đã được phân tích thành nhân tử như sau: a) \(4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5)\) b) \(12y^3 - 8y^2 + 4xy = 4y(3y^2 - 2y + x)\) c) \(x^2y + x^2 + xy - 1 = x^2(y + 1) + x(y - 1)\) d) \(2x^3y - 2xy^3 - 4xy^2 - 2xy = 2xy((x - y)(x + y) - 2y - 1)\)