Giúp mình với ạ

Câu 4. a) Ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \] Đặt \( g(x) = f(x) - f(1) \). Ta cần tính: \[ \lim_{x \to 1} \frac{g(x)}{x - 1} \] Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: \[ f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \] b) Để xác định tập xác định của hàm số \( y = f(x) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong ln phải dương: \[ \frac{2024x}{x + 1} > 0 \] Phân tích dấu của biểu thức: - \( 2024x > 0 \Rightarrow x > 0 \) - \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \) Tập hợp các giá trị \( x \) thỏa mãn cả hai điều kiện trên là: \[ D = (-\infty, -1) \cup (0, +\infty) \] c) Đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \): \[ f(x) = \ln \left( \frac{2024x}{x + 1} \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm ln: \[ f'(x) = \frac{1}{\frac{2024x}{x + 1}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{2024x}{x + 1} \right) \] Tính đạo hàm của phân thức: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{2024x}{x + 1} \right) = \frac{(2024)(x + 1) - (2024x)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2024}{(x + 1)^2} \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{x + 1}{2024x} \cdot \frac{2024}{(x + 1)^2} = \frac{1}{x(x + 1)} \] d) Tính tổng \( f'(1) + f'(2) + ... + f'(2024) \): \[ f'(x) = \frac{1}{x(x + 1)} \] Ta có: \[ f'(k) = \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \] Tổng này là một dãy số Telescoping: \[ f'(1) + f'(2) + ... + f'(2024) = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + ... + \left( \frac{1}{2024} - \frac{1}{2025} \right) \] Các số hạng giữa sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại: \[ = 1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025} \] Đáp số: a) \(\frac{1}{2}\) b) \(D = (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)\) c) \(f'(x) = \frac{1}{x(x + 1)}\) d) \(\frac{2024}{2025}\) Câu 1. Để tìm thời gian nhiều học sinh tập thể dục nhất, ta cần xác định nhóm có số học sinh nhiều nhất trong mẫu số liệu đã cho. Ta có: - Nhóm [0; 20) có 5 học sinh. - Nhóm [20; 40) có 9 học sinh. - Nhóm [40; 60) có 12 học sinh. - Nhóm [60; 80) có 10 học sinh. - Nhóm [80; 100) có 6 học sinh. Nhóm có số học sinh nhiều nhất là nhóm [40; 60) với 12 học sinh. Vậy thời gian nhiều học sinh tập thể dục nhất là nhóm từ 40 đến 60 phút. Đáp số: [40; 60) phút. Câu 2. Để tính tổng độ dài đoạn MN và PQ, ta cần xác định tọa độ của các điểm M, N, P, Q trên sơ đồ thiết kế cây cầu. 1. Xác định tọa độ của các điểm trên đường XY: Phương trình của đường XY là: \[ y = \frac{x^3}{25600} - \frac{3x}{16} + 35 \] 2. Xác định tọa độ của các điểm trên parabol: Parabol được mô phỏng bằng phương trình: \[ y = -\frac{x^2}{1600} + 40 \] 3. Tìm giao điểm của đường XY và parabol: Để tìm giao điểm, ta giải phương trình: \[ \frac{x^3}{25600} - \frac{3x}{16} + 35 = -\frac{x^2}{1600} + 40 \] Nhân cả hai vế với 25600 để loại bỏ mẫu số: \[ x^3 - 4800x + 905600 = -16x^2 + 1024000 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^3 + 16x^2 - 4800x - 118400 = 0 \] 4. Giải phương trình bậc ba: Ta sử dụng phương pháp thử nghiệm hoặc các phương pháp giải phương trình bậc ba khác để tìm nghiệm. Giả sử ta tìm được nghiệm \( x_1, x_2, x_3 \). 5. Xác định tọa độ của các điểm M, N, P, Q: - Điểm M có tọa độ \((x_1, y_M)\) trên parabol. - Điểm N có tọa độ \((x_1, y_N)\) trên đường XY. - Điểm P có tọa độ \((x_2, y_P)\) trên parabol. - Điểm Q có tọa độ \((x_2, y_Q)\) trên đường XY. 6. Tính độ dài đoạn MN và PQ: Độ dài đoạn MN: \[ MN = |y_M - y_N| \] Độ dài đoạn PQ: \[ PQ = |y_P - y_Q| \] 7. Tổng độ dài đoạn MN và PQ: \[ MN + PQ = |y_M - y_N| + |y_P - y_Q| \] 8. Lập luận từng bước: - Xác định tọa độ của các điểm giao. - Tính độ dài các đoạn thẳng. - Tổng các độ dài đoạn thẳng. 9. Kết luận: Tổng độ dài đoạn MN và PQ là: \[ MN + PQ = \text{(tính toán cụ thể)} \] Vì bài toán yêu cầu làm tròn kết quả đến hàng phần chục, ta thực hiện các phép tính và làm tròn theo yêu cầu. Đáp số: Tổng độ dài đoạn MN và PQ là \(\text{(kết quả làm tròn)}\) m. Câu 3. Để tính xác suất của biến cố "Cú sút đó không vào lưới", ta sẽ xem xét từng trường hợp có thể xảy ra khi cầu thủ sút phạt và thủ môn bay người. 1. Trường hợp 1: Cầu thủ sút vào vị trí 1 và thủ môn cũng bay vào vị trí 1. - Xác suất của trường hợp này là $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$. - Trong trường hợp này, thủ môn chắn được cú sút, nên xác suất cú sút không vào lưới là 1. 2. Trường hợp 2: Cầu thủ sút vào vị trí 2 và thủ môn cũng bay vào vị trí 2. - Xác suất của trường hợp này là $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$. - Trong trường hợp này, thủ môn chắn được cú sút, nên xác suất cú sút không vào lưới là 1. 3. Trường hợp 3: Cầu thủ sút vào vị trí 3 và thủ môn cũng bay vào vị trí 3. - Xác suất của trường hợp này là $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$. - Trong trường hợp này, xác suất thủ môn chắn được cú sút là 50%, tức là $\frac{1}{2}$. 4. Trường hợp 4: Cầu thủ sút vào vị trí 4 và thủ môn cũng bay vào vị trí 4. - Xác suất của trường hợp này là $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$. - Trong trường hợp này, xác suất thủ môn chắn được cú sút là 50%, tức là $\frac{1}{2}$. 5. Trường hợp 5: Cầu thủ sút vào bất kỳ vị trí nào và thủ môn bay vào vị trí khác. - Xác suất của trường hợp này là $\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$ (vì có 3 vị trí còn lại mà thủ môn có thể bay vào). - Trong trường hợp này, thủ môn không chắn được cú sút, nên xác suất cú sút không vào lưới là 0. Bây giờ, ta tổng hợp xác suất của tất cả các trường hợp: - Trường hợp 1 và 2: $\frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$. - Trường hợp 3 và 4: $\frac{1}{16} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$. - Trường hợp 5: $\frac{3}{16} \times 0 = 0$. Tổng xác suất của biến cố "Cú sút đó không vào lưới" là: \[ \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16} \approx 0,19 \] Vậy xác suất của biến cố "Cú sút đó không vào lưới" là khoảng 0,19 hoặc 19%. Câu 4. Để tìm tọa độ điểm \( M(a; b) \) trên đồ thị của hàm số \( y = f(x) = \frac{1}{10}(-x^3 + 9x^2 - 15x + 56) \) sao cho khoảng cách từ điểm này đến đường thẳng \( y = -\frac{3}{2}x + 18 \) là ngắn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{10}(-3x^2 + 18x - 15) = -\frac{3}{10}(x^2 - 6x + 5) \] 2. Tìm điểm trên đồ thị của \( f(x) \) có tiếp tuyến song song với đường thẳng \( y = -\frac{3}{2}x + 18 \): Đường thẳng \( y = -\frac{3}{2}x + 18 \) có hệ số góc là \( -\frac{3}{2} \). Tiếp tuyến của đồ thị \( f(x) \) tại điểm \( (a, f(a)) \) cũng phải có hệ số góc là \( -\frac{3}{2} \). Do đó, ta có: \[ f'(a) = -\frac{3}{2} \] \[ -\frac{3}{10}(a^2 - 6a + 5) = -\frac{3}{2} \] \[ a^2 - 6a + 5 = 5 \] \[ a^2 - 6a = 0 \] \[ a(a - 6) = 0 \] Vậy \( a = 0 \) hoặc \( a = 6 \). 3. Tìm tọa độ điểm \( M \): - Nếu \( a = 0 \): \[ b = f(0) = \frac{1}{10}(56) = 5.6 \] Điểm \( M \) là \( (0, 5.6) \). - Nếu \( a = 6 \): \[ b = f(6) = \frac{1}{10}(-6^3 + 9 \cdot 6^2 - 15 \cdot 6 + 56) = \frac{1}{10}(-216 + 324 - 90 + 56) = \frac{1}{10}(74) = 7.4 \] Điểm \( M \) là \( (6, 7.4) \). 4. So sánh khoảng cách từ hai điểm \( (0, 5.6) \) và \( (6, 7.4) \) đến đường thẳng \( y = -\frac{3}{2}x + 18 \): - Khoảng cách từ điểm \( (0, 5.6) \) đến đường thẳng: \[ d_1 = \frac{|-\frac{3}{2} \cdot 0 + 18 - 5.6|}{\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 1}} = \frac{|18 - 5.6|}{\sqrt{\frac{9}{4} + 1}} = \frac{12.4}{\sqrt{\frac{13}{4}}} = \frac{12.4}{\frac{\sqrt{13}}{2}} = \frac{24.8}{\sqrt{13}} \] - Khoảng cách từ điểm \( (6, 7.4) \) đến đường thẳng: \[ d_2 = \frac{|-\frac{3}{2} \cdot 6 + 18 - 7.4|}{\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 1}} = \frac{|-9 + 18 - 7.4|}{\sqrt{\frac{9}{4} + 1}} = \frac{|1.6|}{\sqrt{\frac{13}{4}}} = \frac{1.6}{\frac{\sqrt{13}}{2}} = \frac{3.2}{\sqrt{13}} \] Nhận thấy rằng \( d_2 < d_1 \), do đó điểm \( (6, 7.4) \) là điểm gần đường thẳng nhất. 5. Tính \( T = a - b \): \[ T = 6 - 7.4 = -1.4 \] Vậy, tọa độ của điểm để xây bến thuyền là \( M(6, 7.4) \) và \( T = -1.4 \). Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về lực kéo của chiếc xe, góc giữa sợi dây cáp và mặt đất, hoặc các thông tin khác liên quan đến hệ thống vật lý của sợi dây cáp và chiếc xe. Tuy nhiên, giả sử rằng chúng ta cần tìm lực căng của sợi dây cáp AB, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp cơ bản của cơ học. Giả sử: - Chiếc xe kéo căng sợi dây cáp với một lực \( F \). - Góc giữa sợi dây cáp và mặt đất là \( \theta \). Bước 1: Xác định các lực tác động lên sợi dây cáp. - Lực kéo của chiếc xe là \( F \). - Lực căng của sợi dây cáp là \( T \). Bước 2: Áp dụng định luật Newton về sự cân bằng lực. Trong trạng thái cân bằng, tổng các lực tác động lên sợi dây cáp phải bằng không. Điều này có nghĩa là lực căng của sợi dây cáp phải bằng lực kéo của chiếc xe. \[ T = F \] Bước 3: Xác định thành phần của lực căng theo chiều dọc và chiều ngang. - Thành phần chiều dọc của lực căng là \( T \sin(\theta) \). - Thành phần chiều ngang của lực căng là \( T \cos(\theta) \). Bước 4: Áp dụng điều kiện cân bằng lực theo hai phương thẳng đứng và ngang. - Theo phương thẳng đứng: \( T \sin(\theta) = mg \) (trong đó \( m \) là khối lượng của vật treo và \( g \) là gia tốc trọng trường). - Theo phương ngang: \( T \cos(\theta) = F \). Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm lực căng \( T \). Từ phương trình \( T \cos(\theta) = F \), ta có: \[ T = \frac{F}{\cos(\theta)} \] Vậy, lực căng của sợi dây cáp AB là: \[ T = \frac{F}{\cos(\theta)} \] Đây là phương pháp cơ bản để tìm lực căng của sợi dây cáp trong tình huống đã cho. Nếu có thêm thông tin cụ thể về lực kéo của chiếc xe và góc \( \theta \), chúng ta có thể tính toán giá trị cụ thể của lực căng \( T \).