giải đèeee

Câu 70. Để xác định điểm P trên đường thẳng MN sao cho \(\overrightarrow{MN} = -3\overrightarrow{MP}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu ý nghĩa của phương trình vector: Phương trình \(\overrightarrow{MN} = -3\overrightarrow{MP}\) có nghĩa là vectơ \(\overrightarrow{MN}\) ngược chiều và có độ dài gấp 3 lần vectơ \(\overrightarrow{MP}\). 2. Xác định vị trí của điểm P: - Vì \(\overrightarrow{MN}\) ngược chiều với \(\overrightarrow{MP}\), nên điểm P nằm trên tia đối của tia MN. - Độ dài đoạn thẳng từ M đến N sẽ bằng 3 lần độ dài đoạn thẳng từ M đến P. 3. Kiểm tra các hình vẽ: - Hình 1: Điểm P nằm giữa M và N, không thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{MN} = -3\overrightarrow{MP}\). - Hình 2: Điểm P nằm trên tia đối của tia MN và khoảng cách từ M đến P nhỏ hơn khoảng cách từ M đến N, không thỏa mãn điều kiện độ dài gấp 3 lần. - Hình 3: Điểm P nằm trên tia đối của tia MN và khoảng cách từ M đến P nhỏ hơn khoảng cách từ M đến N, không thỏa mãn điều kiện độ dài gấp 3 lần. - Hình 4: Điểm P nằm trên tia đối của tia MN và khoảng cách từ M đến P nhỏ hơn khoảng cách từ M đến N, nhưng nếu ta kéo dài đoạn thẳng MP thêm 2 lần nữa thì sẽ thấy rằng khoảng cách từ M đến N đúng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến P. Do đó, điểm P được xác định đúng trong hình vẽ là: Đáp án: B. Hình 4 Câu 71. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho \(\overrightarrow{a} = m \overrightarrow{b}\), ta cần sử dụng thông tin về độ dài của các vectơ và hướng của chúng. 1. Xác định điều kiện ngược hướng: - Vì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng, nên \( m \) phải là một số âm. 2. Xác định độ dài của vectơ: - Ta biết rằng \( |\overrightarrow{a}| = 5 \) và \( |\overrightarrow{b}| = 15 \). 3. Áp dụng công thức độ dài vectơ: - Khi hai vectơ ngược hướng, ta có: \[ |\overrightarrow{a}| = |m| \cdot |\overrightarrow{b}| \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ 5 = |m| \cdot 15 \] 4. Giải phương trình để tìm \( |m| \): - Chia cả hai vế cho 15: \[ |m| = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] 5. Xác định dấu của \( m \): - Vì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng, \( m \) phải là số âm: \[ m = -\frac{1}{3} \] Vậy giá trị của \( m \) là \( -\frac{1}{3} \). Đáp án đúng là: \[ B.~m = -\frac{1}{3} \] Câu 72. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều ABC, các cạnh AB, BC và CA đều có độ dài bằng nhau và bằng $2a$. Ta sẽ tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$. 1. Tìm độ dài của mỗi cạnh: - Độ dài của AB = AC = BC = $2a$. 2. Tính độ dài của $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$: - Ta biết rằng trong tam giác đều, góc giữa hai cạnh là $60^\circ$. - Ta sử dụng công thức tính độ dài tổng của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 + 2|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos(\theta)} \] Ở đây, $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$ và $\theta = 60^\circ$. 3. Áp dụng công thức: - $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 2a$ - $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ - Thay vào công thức: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2}} \] \[ = \sqrt{4a^2 + 4a^2 + 4a^2} \] \[ = \sqrt{12a^2} \] \[ = 2a\sqrt{3} \] Vậy độ dài của $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ là $2a\sqrt{3}$. Đáp án đúng là: \[ C.~2a\sqrt{3} \] Câu 73. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, ta thực hiện theo công thức sau: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x v_x + u_y v_y \] Trong đó, $\overrightarrow{u} = u_x \overrightarrow{i} + u_y \overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v} = v_x \overrightarrow{i} + v_y \overrightarrow{j}$. Ta có: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} \] \[ \overrightarrow{v} = -2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} \] Từ đây, ta xác định các thành phần của vectơ: \[ u_x = 1, \quad u_y = 3 \] \[ v_x = -2, \quad v_y = 2 \] Áp dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (1)(-2) + (3)(2) \] \[ = -2 + 6 \] \[ = 4 \] Vậy, $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4$. Đáp án đúng là: \[ B.~\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4. \] Câu 74. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về công thức tính tích vô hướng của hai vectơ. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được định nghĩa như sau: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta) \] trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: - Khẳng định A: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|$ Điều này chỉ đúng khi góc giữa hai vectơ là 0 độ (cos(0) = 1). - Khẳng định B: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$ Đây là công thức đúng theo định nghĩa tích vô hướng. - Khẳng định C: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}| \cdot \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$ Điều này không đúng vì $|\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}|$ là giá trị tuyệt đối của tích vô hướng, không phải là tích vô hướng. - Khẳng định D: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \sin(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$ Điều này không đúng vì công thức đúng là với cos, không phải sin. Vậy khẳng định đúng là: \[ B.~\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}). \] Đáp án: B. Câu 75. Trước tiên, ta cần biết công thức tính tích vô hướng của hai vectơ. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] trong đó $|\overrightarrow{u}|$ và $|\overrightarrow{v}|$ là độ dài của hai vectơ, và $\theta$ là góc giữa chúng. Áp dụng vào bài toán này, ta có: - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $4a$. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC}$ cũng là $4a$. - Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ trong tam giác đều là $60^\circ$. Do đó, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4a \cdot 4a \cdot \frac{1}{2} = 16a^2 \cdot \frac{1}{2} = 8a^2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~8a^2 \] Câu 76. Trước tiên, ta cần nhớ rằng trong tam giác đều, tất cả các góc đều bằng 60°. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là 120° (vì góc ở đỉnh B của tam giác đều là 60° và ta quay vectơ $\overrightarrow{BC}$ ngược chiều kim đồng hồ để tạo thành góc giữa chúng). Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Áp dụng vào bài toán này: - Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ đều là $a$ (vì tam giác đều cạnh bằng $a$). - Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là 120°. Do đó: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) \] Biết rằng $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, ta có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\frac{-a^2}2. \] Câu 77. Để tìm góc $\widehat{BAC}$ của tam giác ABC, ta sẽ sử dụng công thức tính góc giữa hai véc-tơ. Đầu tiên, ta tìm các véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. - Véc-tơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1, 4 - 2) = (-1, 2) \] - Véc-tor $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 1, 1 - 2) = (2, -1) \] Tiếp theo, ta tính tích vô hướng của hai véc-tơ này: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1) \times 2 + 2 \times (-1) = -2 - 2 = -4 \] Sau đó, ta tính độ dài của mỗi véc-tơ: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Bây giờ, ta sử dụng công thức cosin để tìm góc giữa hai véc-tơ: \[ \cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-4}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{-4}{5} \] Từ đây, ta tìm góc $\widehat{BAC}$: \[ \widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{-4}{5}\right) \] Ta biết rằng $\arccos\left(\frac{-4}{5}\right)$ gần với $138^\circ52'$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, giá trị gần nhất là $143^\circ7'$. Do đó, góc $\widehat{BAC}$ của tam giác ABC gần với giá trị: \[ \boxed{143^\circ7'} \] Câu 78. Ta có công thức tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos (\overrightarrow a, \overrightarrow b) \] Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = -|\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \] Thay vào công thức tích vô hướng, ta có: \[ |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos (\overrightarrow a, \overrightarrow b) = -|\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \] Chia cả hai vế cho $|\overrightarrow a| |\overrightarrow b|$ (vì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ khác vectơ-không nên $|\overrightarrow a| > 0$ và $|\overrightarrow b| > 0$): \[ \cos (\overrightarrow a, \overrightarrow b) = -1 \] Góc $(\overrightarrow a, \overrightarrow b)$ có giá trị cosin bằng -1 chỉ có thể là: \[ (\overrightarrow a, \overrightarrow b) = 180^\circ \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(\overrightarrow a, \overrightarrow b) = 180^\circ \] Câu 79. Để tìm tọa độ điểm \( C \) trên trục Ox sao cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm \( C \): Vì điểm \( C \) nằm trên trục Ox, tọa độ của nó sẽ có dạng \( (x, 0) \). 2. Tính các vectơ: - Vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - 1, 1 - 2) = (-4, -1) \] - Vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (x - 1, 0 - 2) = (x - 1, -2) \] 3. Điều kiện để tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \): Để tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AC} \) phải vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là tích vô hướng của chúng phải bằng 0: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \] 4. Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4)(x - 1) + (-1)(-2) = -4(x - 1) + 2 \] Đặt tích vô hướng này bằng 0: \[ -4(x - 1) + 2 = 0 \] 5. Giải phương trình: \[ -4(x - 1) + 2 = 0 \\ -4x + 4 + 2 = 0 \\ -4x + 6 = 0 \\ -4x = -6 \\ x = \frac{6}{4} \\ x = \frac{3}{2} \] 6. Kiểm tra lại đáp án: Ta thấy rằng trong các lựa chọn đã cho, không có điểm nào có tọa độ \( \left(\frac{3}{2}, 0\right) \). Do đó, ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho: - \( A.~C(6;0) \) - \( B.~C(0;6) \) - \( C.~C(-6;0) \) - \( D.~C(0;-6) \) Ta thử lần lượt các điểm này: - Với \( C(6, 0) \): \[ \overrightarrow{AC} = (6 - 1, 0 - 2) = (5, -2) \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4)(5) + (-1)(-2) = -20 + 2 = -18 \neq 0 \] - Với \( C(-6, 0) \): \[ \overrightarrow{AC} = (-6 - 1, 0 - 2) = (-7, -2) \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4)(-7) + (-1)(-2) = 28 + 2 = 30 \neq 0 \] Do đó, không có điểm nào trong các lựa chọn đã cho thỏa mãn điều kiện tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \). Kết luận: Các lựa chọn đã cho không có điểm nào thỏa mãn điều kiện tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).