sbsbsnsbsnhs

Câu 1: Để tìm $F(x)$, ta cần tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1 + 2x^2}{x}$. Bước 1: Tính nguyên hàm của $f(x)$. Ta có: \[ f(x) = \frac{1 + 2x^2}{x} = \frac{1}{x} + 2x \] Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ là $\ln|x|$ và nguyên hàm của $2x$ là $x^2$. Do đó: \[ F(x) = \int \left( \frac{1}{x} + 2x \right) dx = \ln|x| + x^2 + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(-1) = 3$. Thay $x = -1$ vào $F(x)$: \[ F(-1) = \ln|-1| + (-1)^2 + C = \ln(1) + 1 + C = 0 + 1 + C = 1 + C \] Theo đề bài, $F(-1) = 3$, do đó: \[ 1 + C = 3 \] \[ C = 2 \] Bước 3: Viết kết quả cuối cùng. Do đó, $F(x)$ là: \[ F(x) = \ln|x| + x^2 + 2 \] Đáp số: $F(x) = \ln|x| + x^2 + 2$. Câu 2: Để \( F(x) = ax^3 + (3a + 2)x^2 - 4x + 3 \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 10x - 4 \), ta cần tìm giá trị của tham số \( a \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( ax^3 + (3a + 2)x^2 - 4x + 3 \right) \] \[ F'(x) = 3ax^2 + 2(3a + 2)x - 4 \] Bước 2: So sánh \( F'(x) \) với \( f(x) \): \[ F'(x) = 3ax^2 + 2(3a + 2)x - 4 \] \[ f(x) = 3x^2 + 10x - 4 \] Bước 3: Đặt \( F'(x) \) bằng \( f(x) \) để tìm \( a \): \[ 3ax^2 + 2(3a + 2)x - 4 = 3x^2 + 10x - 4 \] Bước 4: So sánh hệ số tương ứng của hai vế: - Hệ số của \( x^2 \): \( 3a = 3 \) - Hệ số của \( x \): \( 2(3a + 2) = 10 \) Bước 5: Giải phương trình \( 3a = 3 \): \[ 3a = 3 \] \[ a = 1 \] Bước 6: Kiểm tra lại bằng cách thay \( a = 1 \) vào phương trình \( 2(3a + 2) = 10 \): \[ 2(3 \cdot 1 + 2) = 2(3 + 2) = 2 \cdot 5 = 10 \] Vậy giá trị của tham số \( a \) là \( 1 \). Đáp số: \( a = 1 \). Câu 3: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{3x^3 - 2x + 1}{x} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{3x^3 - 2x + 1}{x} = 3x^2 - 2 + \frac{1}{x} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong biểu thức rút gọn: \[ \int (3x^2 - 2 + \frac{1}{x}) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2 \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx \] \[ = x^3 - 2x + \ln |x| + C \] Do đó, nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^3 - 2x + \ln |x| + C \] Bước 3: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(1) = 3 \): \[ F(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 + \ln |1| + C = 3 \] \[ 1 - 2 + 0 + C = 3 \] \[ -1 + C = 3 \] \[ C = 4 \] Vậy, nguyên hàm cụ thể của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^3 - 2x + \ln |x| + 4 \] Bước 4: Tính \( F(5) \): \[ F(5) = 5^3 - 2 \cdot 5 + \ln |5| + 4 \] \[ = 125 - 10 + \ln 5 + 4 \] \[ = 119 + \ln 5 \] Theo đề bài, \( F(5) = a + \ln b \). So sánh ta có: \[ a = 119 \] \[ b = 5 \] Bước 5: Tính tích \( T = ab \): \[ T = 119 \times 5 = 595 \] Vậy, tích \( T \) là: \[ \boxed{595} \]