Cho hàm số f (x) = x3- 3x2 +2. ,b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=3x^2-6x.$,c) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\mathbb R$ bằng 2.,d) Với mỗi giá trị của $m\in(-2;2)$ phương trình $f(x)=m$ có ba nghiệm phân biệt.

Question

Cho hàm số f (x) = x3- 3x2 +2. <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/8f59d47213a644a798d39f4ac6cd8083.jpg />,b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=3x^2-6x.$,c) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\mathbb R$ bằng 2.,d) Với mỗi giá trị của $m\in(-2;2)$ phương trình $f(x)=m$ có ba nghiệm phân biệt.

_Chip_ · Accepted Answer

a) Tìm tập xác định của hàm số:
Hàm số $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $ là một đa thức, do đó nó được xác định trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$.

Tập xác định của hàm số là: $ D = \mathbb{R} $.

b) Tính đạo hàm của hàm số:
Đạo hàm của hàm số $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $ là:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x. $$

Mệnh đề b đúng

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số, chúng ta cần tìm điểm cực đại của hàm số. Để làm điều này, chúng ta giải phương trình đạo hàm bằng không:
$$ f'(x) = 3x^2 - 6x = 0. $$
$$ 3x(x - 2) = 0. $$
$$ x = 0 \text{ hoặc } x = 2. $$

Tiếp theo, chúng ta kiểm tra dấu của đạo hàm $ f'(x) $ ở các khoảng giữa các điểm cực trị:
- Khi $ x < 0 $, $ f'(x) > 0 $ (hàm số tăng).
- Khi $ 0 < x < 2 $, $ f'(x) < 0 $ (hàm số giảm).
- Khi $ x > 2 $, $ f'(x) > 0 $ (hàm số tăng).

Do đó, $ x = 0 $ là điểm cực đại và $ x = 2 $ là điểm cực tiểu.

Mệnh đề c sai

Timi · Answer

Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: $$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $$ Đạo hàm của hàm số này là: $$ f'(x) = 3x^2 - 6x $$ Bước 2: Tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu, chúng ta cần giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ f'(x) = 3x^2 - 6x = 0 $$ $$ 3x(x - 2) = 0 $$ Từ đó, ta có hai nghiệm: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 $$ Tiếp theo, ta kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng: - Khi $ x < 0 $, $ f'(x) > 0 $ - Khi $ 0 < x < 2 $, $ f'(x) < 0 $ - Khi $ x > 2 $, $ f'(x) > 0 $ Do đó: - $ x = 0 $ là điểm cực đại. - $ x = 2 $ là điểm cực tiểu. Giá trị của hàm số tại các điểm này là: $$ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 $$ $$ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 $$ Vậy giá trị cực đại của hàm số là 2, đạt được khi $ x = 0 $. Bước 3: Xác định giá trị lớn nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ Vì hàm số $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $ là một hàm đa thức bậc 3, nó không có giới hạn trên hoặc dưới trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. Tuy nhiên, giá trị lớn nhất của hàm số trong khoảng giữa các cực đại và cực tiểu là giá trị cực đại. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ là 2, đạt được khi $ x = 0 $. Bước 4: Xác định số nghiệm của phương trình $ f(x) = m $ với $ m \in (-2, 2) $ Phương trình $ f(x) = m $ có ba nghiệm phân biệt nếu giá trị $ m $ nằm giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số. Ta đã tìm được: - Giá trị cực tiểu là $ f(2) = -2 $ - Giá trị cực đại là $ f(0) = 2 $ Do đó, với mỗi giá trị của $ m \in (-2, 2) $, phương trình $ f(x) = m $ có ba nghiệm phân biệt. Kết luận - Đạo hàm của hàm số đã cho là $ f'(x) = 3x^2 - 6x $. - Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\mathbb{R}$ bằng 2, đạt được khi $ x = 0 $. - Với mỗi giá trị của $ m \in (-2, 2) $, phương trình $ f(x) = m $ có ba nghiệm phân biệt.