giải bài tập giúp mình với Date:,Câu 5: Xđ giao điểm của :,$(d)~\frac{x+1}2=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{-4}$ và,$(\alpha)~2x+y-3z+1=0$

Question

Accepted Answer

Câu 5:
Để tìm giao điểm của đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(\alpha)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $(d)$:
   Đường thẳng $(d)$ có dạng $\frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z+5}{-4}$. Ta đặt tham số $t$, ta có:
   $$
   \begin{cases}
   x = -1 + 2t \
   y = 2 - 3t \
   z = -5 - 4t
   \end{cases}
   $$

2. Thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$:
   Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $2x + y - 3z + 1 = 0$. Thay $x$, $y$, $z$ từ phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng:
   $$
   2(-1 + 2t) + (2 - 3t) - 3(-5 - 4t) + 1 = 0
   $$
   $$
   2(-1 + 2t) + (2 - 3t) - 3(-5 - 4t) + 1 = 0
   $$
   $$
   -2 + 4t + 2 - 3t + 15 + 12t + 1 = 0
   $$
   $$
   16 + 13t = 0
   $$
   $$
   13t = -16
   $$
   $$
   t = -\frac{16}{13}
   $$

3. Tìm tọa độ giao điểm:
   Thay $t = -\frac{16}{13}$ vào phương trình tham số của đường thẳng $(d)$:
   $$
   x = -1 + 2 \left( -\frac{16}{13} \right) = -1 - \frac{32}{13} = -\frac{13}{13} - \frac{32}{13} = -\frac{45}{13}
   $$
   $$
   y = 2 - 3 \left( -\frac{16}{13} \right) = 2 + \frac{48}{13} = \frac{26}{13} + \frac{48}{13} = \frac{74}{13}
   $$
   $$
   z = -5 - 4 \left( -\frac{16}{13} \right) = -5 + \frac{64}{13} = -\frac{65}{13} + \frac{64}{13} = -\frac{1}{13}
   $$

Vậy giao điểm của đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là $\left( -\frac{45}{13}, \frac{74}{13}, -\frac{1}{13} \right)$.