Giúp tôi với Tính $\int\frac1{6x^2+36x+78}$ dx.

Question

Accepted Answer

Để tính $\int \frac{1}{6x^2 + 36x + 78} \, dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt $I = \int \frac{1}{6x^2 + 36x + 78} \, dx$.

Bước 2: Ta nhận thấy rằng mẫu số của tích phân là một đa thức bậc hai. Để dễ dàng hơn trong việc tính tích phân, ta sẽ hoàn thành bình phương ở mẫu số.

Ta có:
$$ 6x^2 + 36x + 78 = 6(x^2 + 6x + 13) $$

Bước 3: Hoàn thành bình phương ở biểu thức trong ngoặc:
$$ x^2 + 6x + 13 = (x + 3)^2 + 4 $$

Do đó:
$$ 6x^2 + 36x + 78 = 6((x + 3)^2 + 4) $$

Bước 4: Thay vào tích phân:
$$ I = \int \frac{1}{6((x + 3)^2 + 4)} \, dx = \frac{1}{6} \int \frac{1}{(x + 3)^2 + 4} \, dx $$

Bước 5: Đặt $u = x + 3$, suy ra $du = dx$. Thay vào tích phân:
$$ I = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^2 + 4} \, du $$

Bước 6: Ta nhận thấy rằng $\int \frac{1}{u^2 + 4} \, du$ có dạng tích phân cơ bản $\int \frac{1}{u^2 + a^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$, với $a = 2$.

Do đó:
$$ \int \frac{1}{u^2 + 4} \, du = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{u}{2}\right) + C $$

Bước 7: Thay trở lại $u = x + 3$:
$$ I = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x + 3}{2}\right) + C = \frac{1}{12} \arctan\left(\frac{x + 3}{2}\right) + C $$

Vậy, kết quả cuối cùng là:
$$ \int \frac{1}{6x^2 + 36x + 78} \, dx = \frac{1}{12} \arctan\left(\frac{x + 3}{2}\right) + C $$