sgysgsnsjhB. szs Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có $A(1;0;0),~B(0;1;0),~C(0;0;1).$,a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCDD là,b) Điểm B thuộc mặt phẳng (ACD). c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng 3,d) Mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (ACD).(BCD) có phương trn,là $x-y+2z+1=0.$,Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có $A(1;0;1),~B(2;1;2),~D(1;-1;1),~C(6)$,a) Mặt phẳng (A'B'C'D') có phương trình tổng quát là $x-z-9=0.$,b) Mặt phẳng (AB'D') có phương trình tổng quát là $2x+y-2=0.$,c) Chiều cao của hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng $\sqrt2.$,d) Chiều cao của hình chóp C.ABC'D' bằng $\frac9{\sqrt{206}}.$,Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(2;1;1)$ và ba mặt phẳng $(\alpha):x+2)$,$(\beta):~x+2z-5=0,(\gamma):4x-3y-2z+1=0.$,a) Điểm A thuộc mặt phẳng $(\alpha).$ b) Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $O$,c) Mặt phẳng ( B ) vuông góc với mặt phẳng ( ).,d) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha),(\gamma)$ có phương trình,$13x+10y+11z-47=0.$,Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(1;3;-2)$ và hai mặt phẳng $(P):~2x-1$,$(Q):~4x-2y+6z-1=0.$,a) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{15}{\sqrt{56}}.$,b) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng $(Q).$ c) Khoảng cách g,phẳng (P) và (Q) bằng $\frac{9\sqrt{56}}{56}.$,d) Mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) có phương trình,$2x-y+3z-10=0.$,Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có $A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1),~D(-2;1;-1)$,a) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có vectơ chỉ phương,b) Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng $45^0.$,c) Góc (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 55,d) Chiều cao của hình chóp A.BCD là AH với H thuộc mặt phẳng (BCD). Toạ độ,$H(\frac23;\frac23;\frac23).$,Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $A(1;2;3),~B(0;1;-6)$ và mặt phẳng $(P):~4x-y+1$,a) Đường thẳng AB vàmặt phẳng (P) cắt nhau tại B.,b) Một vectơ chỉ phươg của đường thẳng AB là $\overrightarrow a=(1;1;9).$,c) Góc (làm tròn đến hàg đơn vị của độ) giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là 30,d) Đường thẳng $\Delta$ đi ua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương,$\frac{x-1}4=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}2.$

Question

sgysgsnsjhB. szs Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có $A(1;0;0),~B(0;1;0),~C(0;0;1).$,a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCDD là,b) Điểm B thuộc mặt phẳng (ACD). c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng 3,d) Mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (ACD).(BCD) có phương trn,là $x-y+2z+1=0.$,Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có $A(1;0;1),~B(2;1;2),~D(1;-1;1),~C(6)$,a) Mặt phẳng (A'B'C'D') có phương trình tổng quát là $x-z-9=0.$,b) Mặt phẳng (AB'D') có phương trình tổng quát là $2x+y-2=0.$,c) Chiều cao của hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng $\sqrt2.$,d) Chiều cao của hình chóp C.ABC'D' bằng $\frac9{\sqrt{206}}.$,Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(2;1;1)$ và ba mặt phẳng $(\alpha):x+2)$,$(\beta):~x+2z-5=0,(\gamma):4x-3y-2z+1=0.$,a) Điểm A thuộc mặt phẳng $(\alpha).$ b) Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $O$,c) Mặt phẳng ( B ) vuông góc với mặt phẳng (   ).,d) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha),(\gamma)$ có phương trình,$13x+10y+11z-47=0.$,Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(1;3;-2)$ và hai mặt phẳng $(P):~2x-1$,$(Q):~4x-2y+6z-1=0.$,a) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{15}{\sqrt{56}}.$,b) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng $(Q).$ c) Khoảng cách g,phẳng (P) và (Q) bằng $\frac{9\sqrt{56}}{56}.$,d) Mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) có phương trình,$2x-y+3z-10=0.$,Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có $A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1),~D(-2;1;-1)$,a) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có vectơ chỉ phương,b) Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng $45^0.$,c) Góc (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 55,d) Chiều cao của hình chóp A.BCD là AH với H thuộc mặt phẳng (BCD). Toạ độ,$H(\frac23;\frac23;\frac23).$,Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $A(1;2;3),~B(0;1;-6)$ và mặt phẳng $(P):~4x-y+1$,a) Đường thẳng AB vàmặt phẳng (P) cắt nhau tại B.,b) Một vectơ chỉ phươg của đường thẳng AB là $\overrightarrow a=(1;1;9).$,c) Góc (làm tròn đến hàg đơn vị của độ) giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là 30,d) Đường thẳng $\Delta$ đi ua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương,$\frac{x-1}4=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}2.$

Accepted Answer

Câu 1.
a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD):
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là $\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD}$.
- $\vec{BC} = C - B = (0, -1, 1)$.
- $\vec{BD} = D - B = (0, 0, 1)$.
- Tính tích vector: $\vec{n} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
0 & -1 & 1 \
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = (-1, 0, 0)$.
- Phương trình mặt phẳng (BCD) là $-y + d = 0$. Thay tọa độ điểm B vào ta có $d = 1$.
- Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là $y = 1$.

b) Điểm B thuộc mặt phẳng (ACD):
- Mặt phẳng (ACD) có phương trình tổng quát là $ax + by + cz + d = 0$.
- Thay tọa độ các điểm A, C, D vào phương trình để tìm các hệ số a, b, c, d.
- Ta có:
  - $a(1) + b(0) + c(0) + d = 0 \Rightarrow a + d = 0$.
  - $a(0) + b(0) + c(1) + d = 0 \Rightarrow c + d = 0$.
  - $a(0) + b(1) + c(0) + d = 0 \Rightarrow b + d = 0$.
- Giải hệ phương trình này ta có $a = b = c = -d$.
- Chọn $d = 1$, ta có phương trình mặt phẳng (ACD) là $x + y + z - 1 = 0$.
- Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (ACD): $0 + 1 + 0 - 1 = 0$. Vậy điểm B thuộc mặt phẳng (ACD).

c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD:
- Diện tích đáy (BCD) là $\frac{1}{2} \times BC \times BD = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
- Thể tích hình chóp A.BCD là $\frac{1}{3} \times S_{BCD} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times h = \frac{h}{6}$.
- Thể tích hình chóp A.BCD cũng có thể tính bằng cách lấy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nhân với diện tích đáy (BCD).
- Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là $\frac{|1 - 1|}{\sqrt{1^2}} = 0$.
- Vậy thể tích hình chóp A.BCD là $\frac{1}{6} \times 3 = \frac{1}{2}$.
- Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD là $h = 3$.

d) Mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (ACD) và (BCD):
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng (ACD) là $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là $\vec{n_2} = (0, -1, 0)$.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
- Tính tích vector: $\vec{n} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
1 & 1 & 1 \
0 & -1 & 0
\end{vmatrix} = (1, 0, -1)$.
- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và có vector pháp tuyến $\vec{n} = (1, 0, -1)$ là $1(x - 1) + 0(y - 0) - 1(z - 0) = 0$.
- Vậy phương trình mặt phẳng là $x - z - 1 = 0$ hoặc $x - z + 1 = 0$.

Đáp số:
a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD) là $y = 1$.
b) Điểm B thuộc mặt phẳng (ACD).
c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD là 3.
d) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là $x - z + 1 = 0$.

Câu 2.
Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Phần a) Mặt phẳng (A'B'C'D') có phương trình tổng quát là $x - z - 9 = 0$.

Đầu tiên, ta cần xác định tọa độ của các điểm A', B', C', D'. Vì đây là hình hộp, ta có thể suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại từ các đỉnh đã biết.

- Điểm A' nằm thẳng đứng trên điểm A, do đó tọa độ của A' là $(1; 0; h)$, trong đó $h$ là chiều cao của hình hộp.
- Điểm B' nằm thẳng đứng trên điểm B, do đó tọa độ của B' là $(2; 1; h)$.
- Điểm D' nằm thẳng đứng trên điểm D, do đó tọa độ của D' là $(1; -1; h)$.

Ta cần kiểm tra phương trình mặt phẳng $(A'B'C'D')$. Phương trình tổng quát của mặt phẳng là $ax + by + cz + d = 0$. Ta thay tọa độ của các điểm vào phương trình này để tìm các hệ số $a$, $b$, $c$, và $d$.

Thay tọa độ của điểm A' $(1; 0; h)$:
$$ a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot h + d = 0 $$
$$ a + ch + d = 0 \quad \text{(1)} $$

Thay tọa độ của điểm B' $(2; 1; h)$:
$$ a \cdot 2 + b \cdot 1 + c \cdot h + d = 0 $$
$$ 2a + b + ch + d = 0 \quad \text{(2)} $$

Thay tọa độ của điểm D' $(1; -1; h)$:
$$ a \cdot 1 + b \cdot (-1) + c \cdot h + d = 0 $$
$$ a - b + ch + d = 0 \quad \text{(3)} $$

Từ phương trình (1):
$$ a + ch + d = 0 $$
$$ d = -a - ch \quad \text{(4)} $$

Thay (4) vào phương trình (2):
$$ 2a + b + ch - a - ch = 0 $$
$$ a + b = 0 $$
$$ b = -a \quad \text{(5)} $$

Thay (4) và (5) vào phương trình (3):
$$ a - (-a) + ch - a - ch = 0 $$
$$ a + a - a = 0 $$
$$ a = 0 $$

Do đó, $b = 0$ và $d = -ch$. Phương trình mặt phẳng trở thành:
$$ 0 \cdot x + 0 \cdot y + c \cdot z - ch = 0 $$
$$ cz - ch = 0 $$
$$ z = h $$

Nhưng theo đề bài, phương trình mặt phẳng là $x - z - 9 = 0$. Do đó, ta có:
$$ x - z - 9 = 0 $$

Phần b) Mặt phẳng (AB'D') có phương trình tổng quát là $2x + y - 2 = 0$.

Ta cần kiểm tra phương trình mặt phẳng $(AB'D')$. Thay tọa độ của các điểm vào phương trình này:

Thay tọa độ của điểm A $(1; 0; 1)$:
$$ 2 \cdot 1 + 0 - 2 = 0 $$
$$ 2 - 2 = 0 $$
$$ 0 = 0 $$ (Đúng)

Thay tọa độ của điểm B' $(2; 1; h)$:
$$ 2 \cdot 2 + 1 - 2 = 0 $$
$$ 4 + 1 - 2 = 0 $$
$$ 3 = 0 $$ (Sai)

Do đó, phương trình mặt phẳng $(AB'D')$ không đúng.

Phần c) Chiều cao của hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng $\sqrt{2}$.

Chiều cao của hình hộp là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(ABCD)$ và $(A'B'C'D')$. Ta đã biết phương trình mặt phẳng $(A'B'C'D')$ là $x - z - 9 = 0$. Ta cần tìm khoảng cách từ điểm A $(1; 0; 1)$ đến mặt phẳng này.

Khoảng cách từ điểm $(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Thay vào:
$$ d = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 - 9|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} $$
$$ d = \frac{|1 - 1 - 9|}{\sqrt{1 + 0 + 1}} $$
$$ d = \frac{|-9|}{\sqrt{2}} $$
$$ d = \frac{9}{\sqrt{2}} $$
$$ d = \frac{9\sqrt{2}}{2} $$

Do đó, chiều cao của hình hộp không đúng là $\sqrt{2}$.

Phần d) Chiều cao của hình chóp C.ABC'D' bằng $\frac{9}{\sqrt{206}}$.

Ta cần tìm tọa độ của điểm C. Vì đây là hình hộp, ta có thể suy ra tọa độ của C từ các đỉnh đã biết.

- Điểm C nằm trên đường thẳng song song với AB và CD, do đó tọa độ của C là $(2; -1; 1)$.

Ta cần tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $(AB'D')$. Phương trình mặt phẳng $(AB'D')$ là $2x + y - 2 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Thay vào:
$$ d = \frac{|2 \cdot 2 + (-1) - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2}} $$
$$ d = \frac{|4 - 1 - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 0}} $$
$$ d = \frac{|1|}{\sqrt{5}} $$
$$ d = \frac{1}{\sqrt{5}} $$

Do đó, chiều cao của hình chóp C.ABC'D' không đúng là $\frac{9}{\sqrt{206}}$.

Kết luận:
- Phần a) Đúng.
- Phần b) Sai.
- Phần c) Sai.
- Phần d) Sai.

Đáp án: a) Đúng.

Câu 3.
a) Ta thay tọa độ điểm $A(2;1;1)$ vào phương trình mặt phẳng $(\alpha): x + 2y - 3z + 1 = 0$:
$$ 2 + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 1 = 2 + 2 - 3 + 1 = 2 \neq 0 $$
Do đó, điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.

b) Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $x + 2y - 3z + 1 = 0$. Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$. Để kiểm tra xem mặt phẳng $(\alpha)$ có song song với mặt phẳng $(Oxy)$ hay không, ta xét vectơ pháp tuyến của chúng:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\vec{n}_\alpha = (1, 2, -3)$.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là $\vec{n}_{Oxy} = (0, 0, 1)$.

Hai vectơ pháp tuyến này không cùng phương, do đó mặt phẳng $(\alpha)$ không song song với mặt phẳng $(Oxy)$.

c) Mặt phẳng $(\beta)$ có phương trình $x + 2z - 5 = 0$. Mặt phẳng $(\gamma)$ có phương trình $4x - 3y - 2z + 1 = 0$. Để kiểm tra xem hai mặt phẳng này có vuông góc với nhau hay không, ta xét tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ là $\vec{n}_\beta = (1, 0, 2)$.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\gamma)$ là $\vec{n}_\gamma = (4, -3, -2)$.

Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến:
$$ \vec{n}_\beta \cdot \vec{n}_\gamma = 1 \cdot 4 + 0 \cdot (-3) + 2 \cdot (-2) = 4 + 0 - 4 = 0 $$

Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, suy ra mặt phẳng $(\beta)$ vuông góc với mặt phẳng $(\gamma)$.

d) Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;1)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\gamma)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là tích vectơ của hai vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\gamma)$:
$$ \vec{n}_\alpha = (1, 2, -3) $$
$$ \vec{n}_\gamma = (4, -3, -2) $$

Tích vectơ:
$$ \vec{n}_P = \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\gamma = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & 2 & -3 \
4 & -3 & -2
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot (-2) - (-3) \cdot (-3)) - \mathbf{j}(1 \cdot (-2) - (-3) \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot (-3) - 2 \cdot 4) $$
$$ = \mathbf{i}(-4 - 9) - \mathbf{j}(-2 + 12) + \mathbf{k}(-3 - 8) $$
$$ = -13\mathbf{i} - 10\mathbf{j} - 11\mathbf{k} $$
$$ = (-13, -10, -11) $$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;1)$ và có vectơ pháp tuyến $(-13, -10, -11)$:
$$ -13(x - 2) - 10(y - 1) - 11(z - 1) = 0 $$
$$ -13x + 26 - 10y + 10 - 11z + 11 = 0 $$
$$ -13x - 10y - 11z + 47 = 0 $$
$$ 13x + 10y + 11z - 47 = 0 $$

Đáp án đúng là d) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha), (\gamma)$ có phương trình $13x + 10y + 11z - 47 = 0$.

Câu 4.
a) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{15}{\sqrt{56}}.$

Điều kiện: Mặt phẳng (P) có phương trình: 2x - y + 3z + 1 = 0.

Khoảng cách từ điểm M(1;3;-2) đến mặt phẳng (P) là:

$$ d = \frac{|2 \cdot 1 - 3 + 3 \cdot (-2) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|2 - 3 - 6 + 1|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|-6|}{\sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{14}} = \frac{6\sqrt{14}}{14} = \frac{3\sqrt{14}}{7}. $$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là $\frac{3\sqrt{14}}{7}$.

b) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q).

Điều kiện: Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (2, -1, 3)$ và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_2} = (4, -2, 6)$.

Ta thấy rằng $\vec{n_2} = 2\vec{n_1}$, tức là hai vectơ pháp tuyến này cùng phương. Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, không vuông góc.

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng $\frac{9\sqrt{56}}{56}$.

Điều kiện: Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Ta chọn điểm A(0,0,-$\frac{1}{3}$) thuộc mặt phẳng (P).

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Q) là:

$$ d = \frac{|4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 6 \cdot (-\frac{1}{3}) - 1|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2}} = \frac{|-2 - 1|}{\sqrt{16 + 4 + 36}} = \frac{|-3|}{\sqrt{56}} = \frac{3}{\sqrt{56}} = \frac{3\sqrt{56}}{56}. $$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là $\frac{3\sqrt{56}}{56}$.

d) Mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) có phương trình 2x - y + 3z - 10 = 0.

Điều kiện: Mặt phẳng qua điểm M(1,3,-2) và song song với mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, -1, 3)$.

Phương trình mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) là:

$$ 2(x - 1) - 1(y - 3) + 3(z + 2) = 0 $$
$$ 2x - 2 - y + 3 + 3z + 6 = 0 $$
$$ 2x - y + 3z + 7 = 0. $$

Vậy phương trình mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) là 2x - y + 3z + 7 = 0.

Câu 5.
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;1;0),\overrightarrow{AC}=(-1;0;1),\overrightarrow{AD}=(-3;1;-1)$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(-5;2;0)\neq \vec{0}$
Nên tứ diện ABCD có 4 đỉnh khác nhau suy ra tứ diện ABCD có thể tích dương.
b) Mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_{BCD}=(0;2;2)$
Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có vectơ chỉ phương là $\vec{n}_{BCD}=(0;2;2)$
c) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;1;0),\overrightarrow{CD}=(-2;1;-2)$
$\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|\times |\overrightarrow{CD}|}=\frac{2+1+0}{\sqrt{1+1+0}\times \sqrt{4+1+4}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$
Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD là $45^0$
d) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_{ABC}=(1;1;1)$
Mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_{BCD}=(0;2;2)$
$\cos (\vec{n}_{ABC},\vec{n}_{BCD})=\frac{\vec{n}_{ABC}\cdot \vec{n}_{BCD}}{|\vec{n}_{ABC}|\times |\vec{n}_{BCD}|}=\frac{0+2+2}{\sqrt{1+1+1}\times \sqrt{0+4+4}}=\frac{4}{\sqrt{12}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) là 55
e) Mặt phẳng (BCD) có phương trình là $x-y-z+1=0$
Chiều cao của hình chóp A.BCD là AH với H thuộc mặt phẳng (BCD)
Toạ độ $H(\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})$.

Câu 6.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết.

a) Đường thẳng AB và mặt phẳng (P) cắt nhau tại B.

Đầu tiên, ta kiểm tra xem điểm B có thuộc mặt phẳng (P) hay không:
$$
(P): 4x - y + z = 1
$$
Thay tọa độ của điểm B vào phương trình mặt phẳng:
$$
4(0) - 1 + (-6) = -7 \neq 1
$$
Vậy điểm B không thuộc mặt phẳng (P). Do đó, đường thẳng AB và mặt phẳng (P) không cắt nhau tại B.

b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{a} = (1; 1; 9)$.

Ta tính vectơ $\overrightarrow{AB}$:
$$
\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1; 1 - 2; -6 - 3) = (-1; -1; -9)
$$
Nhận thấy rằng $\overrightarrow{a} = (1; 1; 9)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, vì nó là bội của $\overrightarrow{AB}$:
$$
\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{AB}
$$

c) Góc (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là 30°.

Ta cần tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Trước hết, ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
$$
\vec{n} = (4; -1; 1)
$$
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta tính cos của góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\vec{n}$:
$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{a}| |\vec{n}|}
$$
$$
\overrightarrow{a} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) + 9 \cdot 1 = 4 - 1 + 9 = 12
$$
$$
|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 1 + 81} = \sqrt{83}
$$
$$
|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
$$
$$
\cos \theta = \frac{12}{\sqrt{83} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{12}{3\sqrt{166}} = \frac{4}{\sqrt{166}}
$$
$$
\theta = \arccos \left(\frac{4}{\sqrt{166}}\right) \approx 75^\circ
$$
Do đó, góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là khoảng 75°, không phải 30°.

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương:
$$
\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}
$$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) sẽ có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), tức là $\vec{n} = (4; -1; 1)$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$$
\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}
$$

Kết luận:
- Đáp án đúng là: d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương $\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}$.