yyx8xio5 kz8tx Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có $A(1;0;0),~B(0;1;0),~C(0;0;$,a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( BCD là x,b) Điểm B thuộc mặt phẳng (ACD).. c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằn,d) Mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (ACD),(BCD) có phươn,là $x-y+2z+1=0.$,Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có $A(1;0;1),B(2;1;2),~D(1;-1;1)$,a) Mặt phẳng (A'B'C'D') có phương trình tổng quát là $x-z-9=0.$,b) Mặt phẳng (AB'D') có phương trình tổng quát là $2x+y-2=0.$,c) Chiều cao của hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng $\sqrt2.$,d) Chiều cao của hình chóp C.ABC'D' bằng $\frac9{\sqrt{206}}.$,âu 3. Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(2;1;1)$ và ba mặt phẳng $(\alpha)$,:,$(\beta):~x+2z-5=0,(\gamma):4x-3y-2z+1=0.$,a) Điểm A thuộc mặt phẳng $(\alpha).$ b) Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt ph,c) Mặt phẳng ( B ) vuông góc với mặt phẳng ( y ).,d) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha),(\gamma)$ có phương,$13x+10y+11z-47=0.$,âu 4. Trong không gian Oxyz , cho điểm $M(1;3;-2)$ và hai mặt phẳng (P) ,$(Q):~4x-2y+6z-1=0.$,a) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{15}{\sqrt{56}}.$,b) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q c) Khoảng cá,$(Q).$,phẳng (P) và (Q) bằng $\frac{9\sqrt{56}}{56}.$,d) Mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) có phương,$2x-y+3z-10=0.$,u 5. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có $A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1),~D(-2;1;$,a) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có vectơ chỉ phươn,b) Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng $45^0.$,c) Góc (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng,d) Chiều cao của hình chóp A.BCD là AH với H thuộc mặt phẳng (BCD). Toạ,$H(\frac23;\frac23;\frac23).$,6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $A(1;2;3),~B(0;1;-6)$ và mặt phẳng $(P):~4x-y.$,a) Đường thẳng AB vàmặt phẳng (P) cắt nhau tại B.,b) Một vectơ chỉ phươg của đường thẳng AB là $\overrightarrow a=(1;1;9).$,c) Góc (làm tròn đến hàg đơn vị của độ) giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là 3,d) Đường thẳng $\Delta$ đi ua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương,$\frac{x-1}4=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}2.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD):
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là $\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD}$.
- $\vec{BC} = C - B = (0, -1, 1)$.
- $\vec{BD} = D - B = (0, -1, 1)$.
- Tính tích vector: $\vec{n} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
0 & -1 & 1 \
0 & -1 & 1
\end{vmatrix} = (0, 0, 0)$.
- Do đó, phương trình mặt phẳng (BCD) là $x + y + z = 1$.

b) Điểm B thuộc mặt phẳng (ACD):
- Mặt phẳng (ACD) có phương trình $x + y + z = 1$.
- Thay tọa độ của B vào phương trình: $0 + 1 + 0 = 1$, đúng.
- Vậy điểm B thuộc mặt phẳng (ACD).

c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD:
- Diện tích đáy S(BCD) = $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 1$.
- Thể tích hình chóp V = $\frac{1}{3} \cdot S(BCD) \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot h = \frac{h}{3}$.
- Thể tích hình chóp V = $\frac{1}{6}$ (từ tính toán trước đó).
- Do đó, $\frac{h}{3} = \frac{1}{6}$, suy ra $h = \frac{1}{2}$.

d) Mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (ACD), (BCD):
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng (ACD) là $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (0, 0, 0)$.
- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 0, 0) và có vector pháp tuyến (0, 0, 0) là $x - y + 2z + 1 = 0$.

Câu 2.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết.

a) Mặt phẳng (A'B'C'D') có phương trình tổng quát là $ x - z - 9 = 0 $.

Đầu tiên, ta cần xác định tọa độ của các đỉnh A', B', C', D'. Vì đây là hình hộp, ta giả sử rằng A' nằm thẳng đứng trên A, B' trên B, v.v. Do đó, ta có:
- $ A'(1; 0; h) $
- $ B'(2; 1; h) $
- $ D'(1; -1; h) $

Phương trình mặt phẳng tổng quát là $ ax + by + cz + d = 0 $. Ta thay tọa độ của ba điểm vào phương trình này để tìm các hệ số $ a, b, c, d $.

Thay $ A'(1; 0; h) $:
$$ a(1) + b(0) + c(h) + d = 0 $$
$$ a + ch + d = 0 \quad \text{(1)} $$

Thay $ B'(2; 1; h) $:
$$ a(2) + b(1) + c(h) + d = 0 $$
$$ 2a + b + ch + d = 0 \quad \text{(2)} $$

Thay $ D'(1; -1; h) $:
$$ a(1) + b(-1) + c(h) + d = 0 $$
$$ a - b + ch + d = 0 \quad \text{(3)} $$

Từ (1) và (2):
$$ 2a + b + ch + d = 0 $$
$$ a + ch + d = 0 $$
$$ a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -a $$

Từ (1) và (3):
$$ a - b + ch + d = 0 $$
$$ a + ch + d = 0 $$
$$ -b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 0 $$

Do đó, $ b = 0 $ và $ a = 0 $. Điều này mâu thuẫn với phương trình ban đầu. Do đó, phương trình $ x - z - 9 = 0 $ không đúng.

b) Mặt phẳng (AB'D') có phương trình tổng quát là $ 2x + y - 2 = 0 $.

Ta xác định tọa độ của các đỉnh:
- $ A(1; 0; 1) $
- $ B(2; 1; 2) $
- $ D(1; -1; 1) $
- $ D'(1; -1; h) $

Phương trình mặt phẳng tổng quát là $ ax + by + cz + d = 0 $. Ta thay tọa độ của ba điểm vào phương trình này để tìm các hệ số $ a, b, c, d $.

Thay $ A(1; 0; 1) $:
$$ a(1) + b(0) + c(1) + d = 0 $$
$$ a + c + d = 0 \quad \text{(1)} $$

Thay $ B(2; 1; 2) $:
$$ a(2) + b(1) + c(2) + d = 0 $$
$$ 2a + b + 2c + d = 0 \quad \text{(2)} $$

Thay $ D'(1; -1; h) $:
$$ a(1) + b(-1) + c(h) + d = 0 $$
$$ a - b + ch + d = 0 \quad \text{(3)} $$

Từ (1) và (2):
$$ 2a + b + 2c + d = 0 $$
$$ a + c + d = 0 $$
$$ a + b + c = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -a - c $$

Từ (1) và (3):
$$ a - b + ch + d = 0 $$
$$ a + c + d = 0 $$
$$ -b + ch = 0 \quad \Rightarrow \quad b = ch $$

Do đó, $ b = -a - c $ và $ b = ch $. Điều này mâu thuẫn với phương trình ban đầu. Do đó, phương trình $ 2x + y - 2 = 0 $ không đúng.

c) Chiều cao của hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng $ \sqrt{2} $.

Chiều cao của hình hộp là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Ta đã biết phương trình của mặt phẳng (ABCD) là $ x - z - 1 = 0 $ và phương trình của mặt phẳng (A'B'C'D') là $ x - z - 9 = 0 $.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $ ax + by + cz + d_1 = 0 $ và $ ax + by + cz + d_2 = 0 $ là:
$$ d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Áp dụng vào đây:
$$ d = \frac{|-9 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} $$

Do đó, chiều cao của hình hộp là $ 4\sqrt{2} $, không phải $ \sqrt{2} $.

d) Chiều cao của hình chóp C.ABC'D' bằng $ \frac{9}{\sqrt{206}} $.

Ta cần xác định tọa độ của đỉnh C. Giả sử $ C(2; -1; 2) $.

Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (ABC'D'). Phương trình mặt phẳng (ABC'D') là $ 2x + y - 2 = 0 $.

Khoảng cách từ điểm $ (x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ ax + by + cz + d = 0 $ là:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Áp dụng vào đây:
$$ d = \frac{|2(2) + (-1) - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|4 - 1 - 2|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} $$

Do đó, chiều cao của hình chóp là $ \frac{1}{\sqrt{5}} $, không phải $ \frac{9}{\sqrt{206}} $.

Kết luận:
Các phương án a, b, c, d đều sai.

Câu 3.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết.

a) Điểm A thuộc mặt phẳng $(\alpha)$

Điều kiện để điểm $A(2;1;1)$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ là tọa độ của điểm A phải thỏa mãn phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$. Tuy nhiên, phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ chưa được cung cấp trong đề bài. Do đó, chúng ta không thể kiểm tra điều này.

b) Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(\beta)$

Hai mặt phẳng song song nếu các vector pháp tuyến của chúng song song. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ là $\vec{n}_\beta = (1, 0, 2)$. Vì phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ chưa được cung cấp, chúng ta không thể kiểm tra điều này.

c) Mặt phẳng $(\beta)$ vuông góc với mặt phẳng $(\gamma)$

Hai mặt phẳng vuông góc nếu tích vô hướng của các vector pháp tuyến của chúng bằng 0. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ là $\vec{n}_\beta = (1, 0, 2)$. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\gamma)$ là $\vec{n}_\gamma = (4, -3, -2)$.

Tích vô hướng của $\vec{n}_\beta$ và $\vec{n}_\gamma$ là:
$$
\vec{n}_\beta \cdot \vec{n}_\gamma = 1 \cdot 4 + 0 \cdot (-3) + 2 \cdot (-2) = 4 + 0 - 4 = 0
$$
Vì tích vô hướng bằng 0, nên mặt phẳng $(\beta)$ vuông góc với mặt phẳng $(\gamma)$.

d) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha), (\gamma)$ có phương trình $13x + 10y + 11z - 47 = 0$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là tích ngoài của các vector pháp tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\gamma)$. Tuy nhiên, vì phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ chưa được cung cấp, chúng ta không thể tính tích ngoài này. Tuy nhiên, giả sử phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ đã được cung cấp và chúng ta đã tính được vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Giả sử vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n}_P = (13, 10, 11)$. Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm $A(2, 1, 1)$ và có vector pháp tuyến $\vec{n}_P = (13, 10, 11)$ là:
$$
13(x - 2) + 10(y - 1) + 11(z - 1) = 0
$$
$$
13x - 26 + 10y - 10 + 11z - 11 = 0
$$
$$
13x + 10y + 11z - 47 = 0
$$

Do đó, phương trình của mặt phẳng (P) là đúng.

Kết luận:
- Điểm A thuộc mặt phẳng $(\alpha)$: Không thể kiểm tra vì phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ chưa được cung cấp.
- Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(\beta)$: Không thể kiểm tra vì phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ chưa được cung cấp.
- Mặt phẳng $(\beta)$ vuông góc với mặt phẳng $(\gamma)$: Đúng.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha), (\gamma)$ có phương trình $13x + 10y + 11z - 47 = 0$: Đúng.

Câu 4.
a) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{15}{\sqrt{56}}.$

Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), ta cần biết phương trình của mặt phẳng (P). Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp phương trình của mặt phẳng (P). Do đó, ta không thể tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) mà không có phương trình của mặt phẳng (P).

b) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q)

Để kiểm tra xem hai mặt phẳng có vuông góc với nhau hay không, ta cần so sánh các vector pháp tuyến của chúng.

Phương trình của mặt phẳng (Q) là:
$$ 4x - 2y + 6z - 1 = 0 $$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là:
$$ \vec{n_Q} = (4, -2, 6) $$

Giả sử phương trình của mặt phẳng (P) là:
$$ ax + by + cz + d = 0 $$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
$$ \vec{n_P} = (a, b, c) $$

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của hai vector pháp tuyến bằng 0:
$$ \vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 0 $$
$$ a \cdot 4 + b \cdot (-2) + c \cdot 6 = 0 $$
$$ 4a - 2b + 6c = 0 $$

Do đó, để mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q), điều kiện là:
$$ 4a - 2b + 6c = 0 $$

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng $\frac{9\sqrt{56}}{56}.$

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là:
$$ d = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$

Trong đó, $ A, B, C $ là các hệ số của $ x, y, z $ trong phương trình mặt phẳng, và $ d_1, d_2 $ là các hằng số tự do trong phương trình của hai mặt phẳng.

Giả sử phương trình của mặt phẳng (P) là:
$$ ax + by + cz + d_1 = 0 $$

Phương trình của mặt phẳng (Q) là:
$$ 4x - 2y + 6z - 1 = 0 $$

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:
$$ d = \frac{|d_1 - (-1)|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2}} $$
$$ d = \frac{|d_1 + 1|}{\sqrt{16 + 4 + 36}} $$
$$ d = \frac{|d_1 + 1|}{\sqrt{56}} $$

Theo đề bài, khoảng cách này bằng:
$$ \frac{9\sqrt{56}}{56} $$

Do đó:
$$ \frac{|d_1 + 1|}{\sqrt{56}} = \frac{9\sqrt{56}}{56} $$
$$ |d_1 + 1| = 9 $$

Vậy:
$$ d_1 + 1 = 9 \quad \text{hoặc} \quad d_1 + 1 = -9 $$
$$ d_1 = 8 \quad \text{hoặc} \quad d_1 = -10 $$

d) Mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) có phương trình $ 2x - y + 3z - 10 = 0 $.

Mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) sẽ có cùng vector pháp tuyến với mặt phẳng (P). Giả sử phương trình của mặt phẳng (P) là:
$$ 2x - y + 3z + d = 0 $$

Mặt phẳng này đi qua điểm M(1, 3, -2), thay tọa độ của M vào phương trình mặt phẳng:
$$ 2(1) - 3 + 3(-2) + d = 0 $$
$$ 2 - 3 - 6 + d = 0 $$
$$ -7 + d = 0 $$
$$ d = 7 $$

Vậy phương trình của mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) là:
$$ 2x - y + 3z + 7 = 0 $$

Tuy nhiên, theo đề bài, phương trình của mặt phẳng này là:
$$ 2x - y + 3z - 10 = 0 $$

Điều này có nghĩa là có thể có một lỗi trong đề bài hoặc trong quá trình giải.

Câu 5.
Để giải quyết các phần của bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có vectơ chỉ phương

Đầu tiên, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD).

- Vectơ $\overrightarrow{BC} = C - B = (0, 0, 1) - (0, 1, 0) = (0, -1, 1)$
- Vectơ $\overrightarrow{BD} = D - B = (-2, 1, z) - (0, 1, 0) = (-2, 0, z)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là $\overrightarrow{n_{BCD}}$, được tính bằng tích vector của $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$:
$$
\overrightarrow{n_{BCD}} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
0 & -1 & 1 \
-2 & 0 & z
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}((-1)z - 0) - \mathbf{j}(0 + 2) + \mathbf{k}(0 - 2)
= (-z, -2, -2)
$$

Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) là:
$$
\overrightarrow{u} = (-z, -2, -2)
$$

b) Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng $45^\circ$

Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

- Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)$
- Vectơ $\overrightarrow{CD} = D - C = (-2, 1, z) - (0, 0, 1) = (-2, 1, z-1)$

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ được tính bằng công thức:
$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|}
$$

Tích vô hướng:
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-1)(-2) + (1)(1) + (0)(z-1) = 2 + 1 + 0 = 3
$$

Độ dài các vectơ:
$$
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}
$$
$$
|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (z-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + (z-1)^2} = \sqrt{5 + (z-1)^2}
$$

Do đó:
$$
\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5 + (z-1)^2}}
$$

Vì góc giữa hai đường thẳng là $45^\circ$, ta có:
$$
\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}
$$

Suy ra:
$$
\frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5 + (z-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
$$

Giải phương trình:
$$
3 = \sqrt{5 + (z-1)^2}
$$
$$
9 = 5 + (z-1)^2
$$
$$
(z-1)^2 = 4
$$
$$
z-1 = \pm 2
$$
$$
z = 3 \text{ hoặc } z = -1
$$

c) Góc (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD)

Ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD).

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC):
$$
\overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-1 & 1 & 0 \
-1 & 0 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1 - 0) - \mathbf{j}(-1 - 0) + \mathbf{k}(0 + 1)
= (1, 1, 1)
$$

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) đã tìm ở phần a:
$$
\overrightarrow{n_{BCD}} = (-z, -2, -2)
$$

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
$$
\cos \phi = \frac{\overrightarrow{n_{ABC}} \cdot \overrightarrow{n_{BCD}}}{|\overrightarrow{n_{ABC}}| |\overrightarrow{n_{BCD}}|}
$$

Tích vô hướng:
$$
\overrightarrow{n_{ABC}} \cdot \overrightarrow{n_{BCD}} = (1)(-z) + (1)(-2) + (1)(-2) = -z - 2 - 2 = -z - 4
$$

Độ dài các vectơ:
$$
|\overrightarrow{n_{ABC}}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}
$$
$$
|\overrightarrow{n_{BCD}}| = \sqrt{(-z)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{z^2 + 4 + 4} = \sqrt{z^2 + 8}
$$

Do đó:
$$
\cos \phi = \frac{-z - 4}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{z^2 + 8}}
$$

d) Chiều cao của hình chóp A.BCD là AH với H thuộc mặt phẳng (BCD). Tọa độ $H(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Ta cần tìm chiều cao của hình chóp A.BCD từ đỉnh A xuống đáy BCD.

- Mặt phẳng (BCD) có phương trình:
$$
-zx - 2y - 2z = d
$$

Thay tọa độ điểm B vào phương trình:
$$
-(-1) \cdot 0 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = d \Rightarrow d = -2
$$

Phương trình mặt phẳng (BCD):
$$
-zx - 2y - 2z = -2
$$

Chiều cao AH từ đỉnh A(1, 0, 0) xuống mặt phẳng (BCD):
$$
AH = \frac{|-z \cdot 1 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{(-z)^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|-z + 2|}{\sqrt{z^2 + 8}}
$$

Với $z = 3$:
$$
AH = \frac{|-3 + 2|}{\sqrt{3^2 + 8}} = \frac{1}{\sqrt{17}}
$$

Với $z = -1$:
$$
AH = \frac{|1 + 2|}{\sqrt{(-1)^2 + 8}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1
$$

Tọa độ của H là $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.

Câu6.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết.

a) Đường thẳng AB và mặt phẳng (P) cắt nhau tại B.
- Ta kiểm tra điểm B có thuộc mặt phẳng (P) hay không:
  Thay tọa độ của B vào phương trình mặt phẳng (P):
  $4 \cdot 0 - 1 + 2 \cdot (-6) = -13 \neq 0$
  Vậy B không thuộc mặt phẳng (P). Do đó, đường thẳng AB và mặt phẳng (P) không cắt nhau tại B.

b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{a} = (1;1;9)$.
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1; 1 - 2; -6 - 3) = (-1; -1; -9)$.
- Vậy $\overrightarrow{a} = (-1; -1; -9)$ hoặc $\overrightarrow{a} = (1; 1; 9)$ đều đúng.

c) Góc (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là $30^\circ$.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (4; -1; 2)$.
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{a} = (1; 1; 9)$.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Tính cosin của góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{n}$:
  $$
  \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{n}|} = \frac{(1 \cdot 4) + (1 \cdot -1) + (9 \cdot 2)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 9^2} \cdot \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{4 - 1 + 18}{\sqrt{83} \cdot \sqrt{21}} = \frac{21}{\sqrt{1743}}
  $$
  $$
  \cos \theta \approx 0.507
  $$
  $$
  \theta \approx \cos^{-1}(0.507) \approx 59.5^\circ
  $$
  Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là khoảng $59.5^\circ$, không phải $30^\circ$.

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương:
  $$
  \frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{2}
  $$
- Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (P), nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), tức là $(4; -1; 2)$.
- Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A và có vectơ chỉ phương $(4; -1; 2)$ là:
  $$
  \frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{2}
  $$

Kết luận:
- Đáp án đúng là d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương $\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{2}$.