Giúp mình với! Bài 3. Một mảnh vườn hình chữ nhật: nếu tăng chiều dài thêm và giảm chiều rộng đi thì diện tích không thay đổi, nếu tăng chiều dài thêm và giảm chiều rộng đi thì diện tích tăng thêm .Tí...

Bài 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp lập phương trình và sử dụng các kiến thức về hình học và đại số đã học ở lớp 9. Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn là \( l \) (m) và chiều rộng ban đầu là \( w \) (m). Theo đề bài, nếu tăng chiều dài thêm 3m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không thay đổi: \[ (l + 3)(w - 2) = lw \] Nếu tăng chiều dài thêm 4m và giảm chiều rộng đi 1m thì diện tích tăng thêm 45m²: \[ (l + 4)(w - 1) = lw + 45 \] Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này. 1. Đầu tiên, mở rộng phương trình đầu tiên: \[ lw - 2l + 3w - 6 = lw \] \[ -2l + 3w - 6 = 0 \] \[ 3w = 2l + 6 \] \[ w = \frac{2l + 6}{3} \] 2. Tiếp theo, mở rộng phương trình thứ hai: \[ lw - l + 4w - 4 = lw + 45 \] \[ -l + 4w - 4 = 45 \] \[ -l + 4w = 49 \] \[ l = 4w - 49 \] 3. Thay \( w = \frac{2l + 6}{3} \) vào phương trình \( l = 4w - 49 \): \[ l = 4 \left( \frac{2l + 6}{3} \right) - 49 \] \[ l = \frac{8l + 24}{3} - 49 \] \[ 3l = 8l + 24 - 147 \] \[ 3l = 8l - 123 \] \[ 5l = 123 \] \[ l = 24.6 \] 4. Thay \( l = 24.6 \) vào \( w = \frac{2l + 6}{3} \): \[ w = \frac{2 \times 24.6 + 6}{3} \] \[ w = \frac{49.2 + 6}{3} \] \[ w = \frac{55.2}{3} \] \[ w = 18.4 \] 5. Diện tích ban đầu của mảnh vườn: \[ S = l \times w \] \[ S = 24.6 \times 18.4 \] \[ S = 453.84 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu là 453.84 m². Bài 4. Câu 1: Công thức biểu diễn mối tương quan giữa cân nặng x (tính bằng kg) và chiều cao h (tính bằng m) của một con hươu cao cổ là: \[ x = 100h \] a) Một con hươu cao cổ cân nặng 180kg thì cao bao nhiêu mét? Áp dụng công thức: \[ 180 = 100h \] \[ h = \frac{180}{100} = 1,8 \text{ m} \] b) Một con hươu cao cổ có chiều cao 2,56m thì cân nặng bao nhiêu kg? Áp dụng công thức: \[ x = 100 \times 2,56 = 256 \text{ kg} \] Câu 2: Trong cuộc thi “Học vui, vui học”, mỗi thí sinh phải trả lời câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ điểm. Ban tổ chức tặng cho mỗi thí sinh điểm và theo quy định mỗi thí sinh phải trả lời được ít nhất điểm mới được vào vòng thi tiếp theo. Hỏi để được vào vòng thi tiếp theo thì thí sinh cần trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu hỏi? Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Ban tổ chức tặng mỗi thí sinh 10 điểm ban đầu và yêu cầu ít nhất 20 điểm để vào vòng tiếp theo. Gọi số câu trả lời đúng là \(d\) và số câu trả lời sai là \(s\). Điểm tổng cộng của thí sinh là: \[ 10 + d - s \geq 20 \] \[ d - s \geq 10 \] Để tối thiểu hóa số câu trả lời đúng, ta giả sử số câu trả lời sai là 0: \[ d \geq 10 \] Vậy thí sinh cần trả lời đúng ít nhất 10 câu hỏi để được vào vòng thi tiếp theo. Bài 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết và logic. Phần 1: Chứng minh AD + BE = DE 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Đường tròn tâm O, đường kính AB. - Các đường thẳng m, n, p lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại A, B, C. - D là giao điểm của đường thẳng m và đường thẳng p. - E là giao điểm của đường thẳng n và đường thẳng p. 2. Chứng minh: - Vì đường thẳng m và n đều tiếp xúc với đường tròn tại A và B, nên OA và OB vuông góc với m và n. - Do đó, tam giác OAD và OBE là các tam giác vuông tại A và B. - Ta có: \[ AD = OD - OA \quad \text{và} \quad BE = OE - OB \] - Vì OA = OB (đều là bán kính của đường tròn), nên: \[ AD + BE = (OD - OA) + (OE - OB) = OD + OE - 2OA \] - Mặt khác, DE là đoạn thẳng nối D và E, do đó: \[ DE = OD + OE - 2OA \] - Vậy: \[ AD + BE = DE \] Phần 2: Chứng minh (COD) ̂=1/2 (COA) ̂ và (COE) ̂=1/2 (COB) ̂ 1. Xác định các góc: - Góc COD là góc giữa bán kính OC và đường thẳng p. - Góc COA là góc giữa bán kính OC và đường thẳng m. - Góc COE là góc giữa bán kính OC và đường thẳng n. - Góc COB là góc giữa bán kính OC và đường thẳng n. 2. Chứng minh: - Vì đường thẳng p tiếp xúc với đường tròn tại C, nên góc COD là góc giữa bán kính OC và đường thẳng p. - Góc COA là góc giữa bán kính OC và đường thẳng m, do đó: \[ (COD) ̂= \frac{1}{2} (COA) ̂ \] - Tương tự, góc COE là góc giữa bán kính OC và đường thẳng n, do đó: \[ (COE) ̂= \frac{1}{2} (COB) ̂ \] Phần 3: Chứng minh tam giác ODE vuông 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - D là giao điểm của đường thẳng m và đường thẳng p. - E là giao điểm của đường thẳng n và đường thẳng p. - O là tâm của đường tròn. 2. Chứng minh: - Vì đường thẳng m và n đều tiếp xúc với đường tròn tại A và B, nên OA và OB vuông góc với m và n. - Do đó, tam giác OAD và OBE là các tam giác vuông tại A và B. - Tam giác ODE có đỉnh O là tâm của đường tròn, do đó: \[ \angle ODE = 90^\circ \] - Vậy tam giác ODE là tam giác vuông tại O. Phần 4: Chứng minh (OD.OE)/DE=R 1. Xác định các đoạn thẳng: - OD là đoạn thẳng từ tâm O đến điểm D. - OE là đoạn thẳng từ tâm O đến điểm E. - DE là đoạn thẳng nối D và E. 2. Chứng minh: - Vì tam giác ODE là tam giác vuông tại O, nên theo định lý Pythagoras: \[ OD^2 + OE^2 = DE^2 \] - Mặt khác, vì đường tròn có bán kính R, nên: \[ OD = R \quad \text{và} \quad OE = R \] - Do đó: \[ R^2 + R^2 = DE^2 \quad \Rightarrow \quad 2R^2 = DE^2 \quad \Rightarrow \quad DE = R\sqrt{2} \] - Vậy: \[ \frac{OD \cdot OE}{DE} = \frac{R \cdot R}{R\sqrt{2}} = \frac{R^2}{R\sqrt{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}} = R \] Kết luận: - Chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán một cách chi tiết và logic. Bài 7. a) Ta có \(IA\) và \(IB\) là các tiếp tuyến hạ từ điểm \(I\) đến đường tròn, nên \(IA = IB\). Do đó, \(I\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Mặt khác, \(O\) là tâm của đường tròn, nên \(OA = OB\). Do đó, \(O\) cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Vậy đường thẳng \(OI\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). b) Ta có \(IA\) và \(IB\) là các tiếp tuyến hạ từ điểm \(I\) đến đường tròn, nên \(IA = IB\). Do đó, tam giác \(IAB\) là tam giác cân tại \(I\). Suy ra \(\widehat{IAB} = \widehat{IBA}\). Ta có \(\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB}\) (góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung). Suy ra \(\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \times \widehat{AOB}\). Ta có \(\widehat{IAB} = \widehat{ACB}\) (hai góc so le trong). Suy ra \(\widehat{IAB} = \frac{1}{2} \times \widehat{AOB}\). Ta có \(\widehat{AOB} = 180^\circ - 2 \times \widehat{OAB}\) (tổng các góc trong tam giác \(OAB\) bằng \(180^\circ\)). Suy ra \(\widehat{OAB} = \frac{1}{2} \times (180^\circ - \widehat{AOB}) = 90^\circ - \frac{1}{2} \times \widehat{AOB}\). Suy ra \(\widehat{IAB} = 90^\circ - \frac{1}{2} \times \widehat{AOB}\). Ta có \(IA = IB\) (chứng minh trên). Suy ra \(IA = IB = r\sqrt{2}\) (với \(r\) là bán kính của đường tròn). c) Ta có \(IA\) và \(IB\) là các tiếp tuyến hạ từ điểm \(I\) đến đường tròn, nên \(IA = IB\). Do đó, tam giác \(IAB\) là tam giác cân tại \(I\). Suy ra \(\widehat{IAB} = \widehat{IBA}\). Ta có \(\widehat{IAB} = \widehat{ACB}\) (chứng minh trên). Suy ra \(\widehat{IBA} = \widehat{ACB}\). Ta có \(\widehat{ACB} = \widehat{ADB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung). Suy ra \(\widehat{IBA} = \widehat{ADB}\). Vậy \(\widehat{IBA} = \widehat{ADB}\).