giúp mình với mọi người

Bài 5: Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh: \[ \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \geq \left(\frac{a + b + c}{3}\right)^2 \] Bước 2: Nhân cả hai vế với 9 để loại bỏ mẫu số: \[ 3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \] Bước 3: Ta mở rộng vế phải: \[ 3(a^2 + b^2 + c^2) \geq a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \] Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \geq 0 \] Bước 5: Rút gọn biểu thức: \[ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \geq 0 \] Bước 6: Chia cả hai vế cho 2: \[ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0 \] Bước 7: Ta nhận thấy rằng: \[ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] \] Bước 8: Vì $(a-b)^2$, $(b-c)^2$, và $(c-a)^2$ đều là các bình phương nên chúng luôn không âm. Do đó: \[ \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] \geq 0 \] Bước 9: Kết luận: \[ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0 \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \geq \left(\frac{a + b + c}{3}\right)^2 \] Đáp số: Đã chứng minh được $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \geq \left(\frac{a + b + c}{3}\right)^2$.