Giúp mình với!

Câu 31: Để tìm giá trị của biểu thức \( Q = \sqrt{4 + \sqrt{4 + \sqrt{4 + ...}}} \), chúng ta sẽ làm như sau: 1. Giả sử biểu thức \( Q \) có giá trị là \( x \): \[ Q = x \] 2. Thay \( Q \) vào biểu thức ban đầu: \[ x = \sqrt{4 + \sqrt{4 + \sqrt{4 + ...}}} \] Vì biểu thức này lặp lại vô tận, nên ta có thể viết lại thành: \[ x = \sqrt{4 + x} \] 3. Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ x^2 = 4 + x \] 4. Rearrange the equation to form a standard quadratic equation: \[ x^2 - x - 4 = 0 \] 5. Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, \( a = 1 \), \( b = -1 \), và \( c = -4 \): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} \] 6. Lựa chọn nghiệm phù hợp: Vì \( x \) là giá trị của một biểu thức căn bậc hai, nó phải là số dương. Do đó, ta chọn nghiệm dương: \[ x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( Q \) là: \[ \boxed{\frac{1 + \sqrt{17}}{2}} \] Câu 32: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tam giác vuông. Bước 1: Xác định các thông tin đã biết: - Tâm O của đường tròn có bán kính R = 7 cm. - Điểm A cách tâm O là 25 cm. - Tiếp tuyến AB với đường tròn tại điểm B. Bước 2: Áp dụng tính chất của tiếp tuyến: - Tiếp tuyến vẽ từ một điểm ngoài đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Do đó, OB vuông góc với AB. Bước 3: Xác định tam giác vuông: - Tam giác OAB là tam giác vuông tại B, với OB là cạnh góc vuông và OA là cạnh huyền. Bước 4: Áp dụng định lý Pythagoras: - Trong tam giác vuông OAB, ta có: \[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \] Bước 5: Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 25^2 = 7^2 + AB^2 \] \[ 625 = 49 + AB^2 \] \[ AB^2 = 625 - 49 \] \[ AB^2 = 576 \] \[ AB = \sqrt{576} \] \[ AB = 24 \text{ cm} \] Vậy độ dài AB là 24 cm. Đáp án đúng là: C. 24 cm. Câu 33: Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn $(I; R)$ và $(J; R')$, ta cần so sánh khoảng cách giữa tâm hai đường tròn ($IJ$) với tổng và hiệu bán kính của chúng. Bước 1: Xác định bán kính của hai đường tròn: - Bán kính của đường tròn $(I; R)$ là $R = \frac{120}{2} = 60$ cm. - Bán kính của đường tròn $(J; R')$ là $R' = \frac{180}{2} = 90$ cm. Bước 2: Tính tổng và hiệu của hai bán kính: - Tổng của hai bán kính: $R + R' = 60 + 90 = 150$ cm. - Hiệu của hai bán kính: $|R - R'| = |60 - 90| = 30$ cm. Bước 3: So sánh khoảng cách giữa tâm hai đường tròn ($IJ$) với tổng và hiệu của hai bán kính: - Khoảng cách giữa tâm hai đường tròn là $IJ = 150$ cm. - Ta thấy $IJ = R + R'$. Do đó, hai đường tròn $(I; R)$ và $(J; R')$ tiếp xúc ngoài nhau. Đáp án đúng là: A. tiếp xúc ngoài. Câu 34: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định giá trị của \( \sin C \) Trước tiên, ta cần biết rằng trong tam giác vuông \(ABC\) với góc vuông tại \(A\), ta có: \[ AB = 6 \] \[ BC = 10 \] Áp dụng định lý Pythagoras để tìm \(AC\): \[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] Giờ ta tính \( \sin C \): \[ \sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B. \frac{3}{5}} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức \( M \) Biểu thức \( M \) được cho là: \[ M = (b-3)^2 \sqrt{\frac{x^4}{b^2-6b+9}} \] Ta nhận thấy rằng \( b^2 - 6b + 9 \) là một hằng đẳng thức: \[ b^2 - 6b + 9 = (b-3)^2 \] Do đó, biểu thức \( M \) trở thành: \[ M = (b-3)^2 \sqrt{\frac{x^4}{(b-3)^2}} \] Rút gọn phần dưới dấu căn: \[ \sqrt{\frac{x^4}{(b-3)^2}} = \frac{x^2}{|b-3|} \] Vì \( (b-3)^2 \geq 0 \), ta có: \[ M = (b-3)^2 \cdot \frac{x^2}{|b-3|} \] Nếu \( b-3 \geq 0 \) (tức là \( b \geq 3 \)), ta có: \[ |b-3| = b-3 \] \[ M = (b-3)^2 \cdot \frac{x^2}{b-3} = (b-3) \cdot x^2 \] Nếu \( b-3 < 0 \) (tức là \( b < 3 \)), ta có: \[ |b-3| = -(b-3) = 3-b \] \[ M = (b-3)^2 \cdot \frac{x^2}{3-b} = (b-3) \cdot x^2 \] Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta đều có: \[ M = (b-3) \cdot x^2 \] Kết luận: \[ \boxed{B. \frac{3}{5}} \] \[ M = (b-3) \cdot x^2 \] Câu 35: Để rút gọn biểu thức $\frac{(3-b)x^2}{x-3}$ với điều kiện $b < 3$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Điều kiện xác định: $x \neq 3$ (vì mẫu số không được phép bằng 0). 2. Rút gọn biểu thức: - Ta có biểu thức $\frac{(3-b)x^2}{x-3}$. - Vì $b < 3$, nên $3 - b > 0$. Do đó, $3 - b$ là một hằng số dương. - Biểu thức có thể viết lại thành: \[ \frac{(3-b)x^2}{x-3} = (3-b) \cdot \frac{x^2}{x-3} \] 3. Phân tích và rút gọn: - Ta thấy rằng $\frac{x^2}{x-3}$ có thể được viết dưới dạng: \[ \frac{x^2}{x-3} = \frac{x \cdot x}{x-3} \] - Ta nhận thấy rằng $x^2$ có thể được phân tích thành $x \cdot x$, nhưng để rút gọn biểu thức này, ta cần chú ý rằng $x$ không thể bằng 3 (do ĐKXĐ). 4. Kết luận: - Biểu thức đã được rút gọn thành $(3-b) \cdot \frac{x^2}{x-3}$. - Vì $b < 3$, nên $3 - b$ là một hằng số dương, và biểu thức giữ nguyên dạng ban đầu. Do đó, biểu thức rút gọn là: \[ (3-b) \cdot \frac{x^2}{x-3} \] Vậy đáp án đúng là: D. $(3-b)x$ Câu 36: Để xác định số trục đối xứng của đường tròn, chúng ta cần hiểu rõ về tính chất của đường tròn. Một đường tròn là hình có tất cả các điểm trên nó đều cách tâm một khoảng bằng nhau (bán kính). Do đó, mọi đường kính của đường tròn đều là trục đối xứng của nó. Đường kính là đoạn thẳng đi qua tâm và hai đầu mút của nó nằm trên đường tròn. Vì vậy, đường tròn có vô số đường kính, do đó cũng có vô số trục đối xứng. Đáp án đúng là: A. Vô số Câu 37: Để rút gọn biểu thức $\frac{y}{x} \sqrt{\frac{x^2}{y^4}}$, với $x > 0$ và $y < 0$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của căn thức: \[ \sqrt{\frac{x^2}{y^4}} = \sqrt{\left(\frac{x}{y^2}\right)^2} = \frac{|x|}{|y^2|} \] Vì $x > 0$, nên $|x| = x$. Vì $y < 0$, nên $|y^2| = y^2$ (vì $y^2$ luôn dương). Do đó: \[ \sqrt{\frac{x^2}{y^4}} = \frac{x}{y^2} \] 2. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y^2} = \frac{y \cdot x}{x \cdot y^2} = \frac{y}{y^2} = \frac{1}{y} \] 3. Kết luận: Biểu thức đã được rút gọn thành $\frac{1}{y}$. Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{1}{y}$ Câu 38: Để giải quyết biểu thức $\sqrt{11+6\sqrt2}-\sqrt{11-6\sqrt2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của $\sqrt{11+6\sqrt2}$ và $\sqrt{11-6\sqrt2}$. Bước 2: Tính hiệu giữa hai giá trị này. Bước 3: So sánh kết quả với các đáp án đã cho. Bước 1: Ta nhận thấy rằng $\sqrt{11+6\sqrt2}$ và $\sqrt{11-6\sqrt2}$ có dạng phức tạp. Để đơn giản hóa, ta sẽ thử biến đổi chúng thành dạng tổng hoặc hiệu của hai căn bậc hai. Ta có: \[ \sqrt{11+6\sqrt2} = \sqrt{(3+\sqrt2)^2} = 3 + \sqrt2 \] \[ \sqrt{11-6\sqrt2} = \sqrt{(3-\sqrt2)^2} = 3 - \sqrt2 \] Bước 2: Tính hiệu giữa hai giá trị này: \[ \sqrt{11+6\sqrt2} - \sqrt{11-6\sqrt2} = (3 + \sqrt2) - (3 - \sqrt2) = 3 + \sqrt2 - 3 + \sqrt2 = 2\sqrt2 \] Bước 3: So sánh kết quả với các đáp án đã cho: - Đáp án A: $2\sqrt2$ - Đáp án B: $3\sqrt2$ - Đáp án C: $6\sqrt2$ - Đáp án D: 6 Kết quả của biểu thức là $2\sqrt2$, do đó đáp án đúng là: A. $2\sqrt2$ Đáp số: A. $2\sqrt2$ Câu 39: Để xác định hệ phương trình nào có nghiệm duy nhất, ta cần kiểm tra xem các hệ phương trình có tỉ lệ giữa các hệ số của biến và hằng số có bằng nhau hay không. Nếu tỉ lệ này không bằng nhau, hệ phương trình sẽ có nghiệm duy nhất. A. $\left\{\begin{array}{l} x + 5y = 9 \\ 3x + 15y = 64 \end{array}\right.$ Tỉ lệ giữa các hệ số: $\frac{1}{3} = \frac{5}{15} \neq \frac{9}{64}$ Hệ phương trình này không có nghiệm duy nhất. B. $\left\{\begin{array}{l} 3x - 6y = 9 \\ 4x - 8y = 12 \end{array}\right.$ Tỉ lệ giữa các hệ số: $\frac{3}{4} = \frac{-6}{-8} = \frac{9}{12}$ Hệ phương trình này có vô số nghiệm. C. $\left\{\begin{array}{l} x - 3y = 1 \\ 4x + y = 43 \end{array}\right.$ Tỉ lệ giữa các hệ số: $\frac{1}{4} \neq \frac{-3}{1} \neq \frac{1}{43}$ Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất. D. $\left\{\begin{array}{l} 9x - 2y = 7 \\ 18x - 4y = 3 \end{array}\right.$ Tỉ lệ giữa các hệ số: $\frac{9}{18} = \frac{-2}{-4} \neq \frac{7}{3}$ Hệ phương trình này không có nghiệm duy nhất. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là hệ phương trình C. Đáp án: C. Câu 40: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức $\frac{2}{7+3\sqrt{5}} + \frac{2}{7-3\sqrt{5}}$. 2. Tìm phân số tối giản $\frac{a}{b}$. 3. Tính giá trị của $a + b$. Bước 1: Rút gọn biểu thức Ta có: \[ \frac{2}{7+3\sqrt{5}} + \frac{2}{7-3\sqrt{5}} \] Để rút gọn, ta nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với biểu thức liên hợp của mẫu số của nó: \[ \frac{2}{7+3\sqrt{5}} \cdot \frac{7-3\sqrt{5}}{7-3\sqrt{5}} + \frac{2}{7-3\sqrt{5}} \cdot \frac{7+3\sqrt{5}}{7+3\sqrt{5}} \] \[ = \frac{2(7-3\sqrt{5})}{(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})} + \frac{2(7+3\sqrt{5})}{(7-3\sqrt{5})(7+3\sqrt{5})} \] Mẫu số chung là: \[ (7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5}) = 7^2 - (3\sqrt{5})^2 = 49 - 45 = 4 \] Vậy biểu thức trở thành: \[ \frac{2(7-3\sqrt{5}) + 2(7+3\sqrt{5})}{4} \] Rút gọn tử số: \[ 2(7-3\sqrt{5}) + 2(7+3\sqrt{5}) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 3\sqrt{5} + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 3\sqrt{5} = 14 + 14 = 28 \] Vậy biểu thức rút gọn là: \[ \frac{28}{4} = 7 \] Bước 2: Tìm phân số tối giản Biểu thức đã rút gọn là 7, tức là $\frac{7}{1}$. Bước 3: Tính giá trị của $a + b$ Ở đây, $a = 7$ và $b = 1$, nên: \[ a + b = 7 + 1 = 8 \] Vậy đáp án đúng là: C. 8.