giúp em với ạ

Câu 1: Gọi số cần tìm là \( ab \), trong đó \( a \) là chữ số hàng chục và \( b \) là chữ số hàng đơn vị. Theo đề bài ta có: \( a + b = 9 \) \( a = 2b \) Thay \( a = 2b \) vào \( a + b = 9 \), ta được: \( 2b + b = 9 \) \( 3b = 9 \) \( b = 3 \) Thay \( b = 3 \) vào \( a = 2b \), ta được: \( a = 2 \times 3 = 6 \) Vậy số cần tìm là 63. Đáp số: 63. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. Bước 1: Xác định các thông tin đã biết: - Chiều cao của ngọn hải đăng: 149m - Góc nghiên xuống: $27^0$ Bước 2: Xác định khoảng cách từ du thuyền đến chân ngọn hải đăng: - Gọi khoảng cách từ du thuyền đến chân ngọn hải đăng là x (m) Bước 3: Áp dụng tỉ số lượng giác: - Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc $27^0$ là $\tan(27^0)$ - Ta có: $\tan(27^0) = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{149}{x}$ Bước 4: Tính giá trị của $\tan(27^0)$: - $\tan(27^0) \approx 0,5095$ Bước 5: Thay giá trị vào phương trình: - $0,5095 = \frac{149}{x}$ Bước 6: Giải phương trình để tìm x: - $x = \frac{149}{0,5095} \approx 292,43$ Bước 7: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: - Khoảng cách từ du thuyền đến chân ngọn hải đăng là 292m Đáp số: 292m Câu 3: Trước tiên, ta vẽ hình và đánh dấu các thông tin đã biết vào hình. Ta có: - $\Delta ABC$ là tam giác vuông tại A. - $\angle C = 60^\circ$. - $AC = 20 \text{ cm}$. Trong tam giác vuông, góc C là 60°, nên góc B sẽ là 30° (vì tổng các góc trong tam giác là 180° và góc A là 90°). Ta sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính BC và AB. 1. Tính BC: Trong tam giác vuông, cạnh huyền (BC) luôn lớn hơn các cạnh góc vuông. Ta sử dụng tỉ số lượng giác của góc 60°: \[ \cos(60^\circ) = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} \] \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \frac{20}{BC} = \frac{1}{2} \] \[ BC = 20 \times 2 = 40 \text{ cm} \] 2. Tính AB: Trong tam giác vuông, ta sử dụng tỉ số lượng giác của góc 60°: \[ \sin(60^\circ) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ \frac{AB}{40} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ AB = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \text{ cm} \] Vậy, ta có: \[ BC = 40 \text{ cm} \] \[ AB = 20\sqrt{3} \text{ cm} \] Câu 4: Để biểu thức $\sqrt{3x-1}$ xác định, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn (3x - 1) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Bước 1: Xác định điều kiện để biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0: \[ 3x - 1 \geq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ 3x \geq 1 \] \[ x \geq \frac{1}{3} \] Vậy điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{3x-1}$ là: \[ x \geq \frac{1}{3} \] Câu 5: Để thu gọn biểu thức $\sqrt[3]{125a^3}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhận biết cấu trúc biểu thức: Biểu thức $\sqrt[3]{125a^3}$ là căn bậc ba của một tích, trong đó 125 là số hạng đầu tiên và $a^3$ là số hạng thứ hai. 2. Tách căn bậc ba: Ta có thể tách căn bậc ba của một tích thành tích của các căn bậc ba riêng lẻ. Do đó: \[ \sqrt[3]{125a^3} = \sqrt[3]{125} \times \sqrt[3]{a^3} \] 3. Thu gọn từng phần: - $\sqrt[3]{125}$: Ta nhận thấy rằng 125 là số lập phương của 5, tức là $125 = 5^3$. Vì vậy: \[ \sqrt[3]{125} = 5 \] - $\sqrt[3]{a^3}$: Căn bậc ba của $a^3$ là $a$, vì $a^3$ là số lập phương của $a$. Vì vậy: \[ \sqrt[3]{a^3} = a \] 4. Nhân kết quả lại: Kết hợp các kết quả đã thu gọn ở trên, ta có: \[ \sqrt[3]{125a^3} = 5 \times a = 5a \] Vậy, biểu thức $\sqrt[3]{125a^3}$ được thu gọn thành $5a$. Câu 6: Nếu tam giác có góc vuông thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm ở trung điểm của cạnh huyền. Lập luận từng bước: 1. Xác định tam giác có góc vuông: - Tam giác ABC có góc C là góc vuông (góc C = 90°). 2. Tâm đường tròn ngoại tiếp: - Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. - Trong tam giác vuông, tâm của đường tròn ngoại tiếp nằm ở trung điểm của cạnh huyền. 3. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ở trung điểm của cạnh huyền: - Gọi D là trung điểm của cạnh huyền AB. - Ta cần chứng minh rằng D là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. - Vì D là trung điểm của AB, nên AD = DB. - Xét tam giác ACD và BCD: - AC = BC (vì D là trung điểm của AB). - CD chung. - Góc ACD = góc BCD (cùng bằng 90°). - Do đó, tam giác ACD và BCD bằng nhau (cạnh huyền và một góc vuông). - Suy ra: DA = DC = DB. - Vậy D là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kết luận: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác có góc vuông nằm ở trung điểm của cạnh huyền. Câu 7: Để tính độ dài của cung \( n^\circ \) trên đường tròn (O; R), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính chu vi của đường tròn: Chu vi của đường tròn (O; R) là: \[ C = 2 \pi R \] 2. Tính độ dài của cung: Độ dài của cung \( n^\circ \) trên đường tròn (O; R) là một phần của chu vi của đường tròn, cụ thể là phần ứng với góc \( n^\circ \). Vì một vòng tròn đầy đủ là \( 360^\circ \), nên độ dài của cung \( n^\circ \) sẽ là: \[ L = \frac{n}{360} \times 2 \pi R \] Đơn giản hóa biểu thức này, ta có: \[ L = \frac{n \pi R}{180} \] Vậy công thức tính độ dài của cung \( n^\circ \) trên đường tròn (O; R) là: \[ L = \frac{n \pi R}{180} \] Câu 8: Để tìm số tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm \(O\) và \(O'\) với bán kính \(R = 2 \, \text{cm}\) và \(R' = 3 \, \text{cm}\) và khoảng cách giữa hai tâm là \(OO' = 6 \, \text{cm}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Kiểm tra khoảng cách giữa hai tâm: - Khoảng cách giữa hai tâm là \(OO' = 6 \, \text{cm}\). - Tổng bán kính của hai đường tròn là \(R + R' = 2 + 3 = 5 \, \text{cm}\). - Hiệu bán kính của hai đường tròn là \(|R - R'| = |2 - 3| = 1 \, \text{cm}\). 2. So sánh khoảng cách giữa hai tâm với tổng và hiệu bán kính: - \(OO' = 6 \, \text{cm}\) - \(R + R' = 5 \, \text{cm}\) - \(|R - R'| = 1 \, \text{cm}\) 3. Xác định số tiếp tuyến chung: - Vì \(OO' > R + R'\), tức là khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổng của hai bán kính, nên hai đường tròn nằm hoàn toàn cách xa nhau. - Trong trường hợp này, hai đường tròn sẽ có 4 tiếp tuyến chung: 2 tiếp tuyến chung ngoài và 2 tiếp tuyến chung trong. Kết luận: Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn là 4. Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. a. \( OO' \perp AB \) - Vì hai đường tròn cắt nhau tại A và B, đoạn thẳng AB là dây chung của cả hai đường tròn. - Trong mỗi đường tròn, đường kính vuông góc với dây chung tại trung điểm của dây chung đó. - Do đó, \( OA \perp AB \) và \( O'A \perp AB \). - Kết hợp lại, ta có \( OO' \perp AB \). b. C, B, D thẳng hàng - Vì AC là đường kính của đường tròn (O), nên \( \angle ABC = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Vì AD là đường kính của đường tròn (O'), nên \( \angle ABD = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Kết hợp lại, ta có \( \angle ABC + \angle ABD = 180^\circ \), do đó C, B, D thẳng hàng. c. \( OO' = \frac{DC}{2} \) - Ta biết rằng \( DC = DA + AC \). - Vì DA và AC là các đường kính của hai đường tròn, nên \( DA = 8 \) cm và \( AC = 6 \) cm. - Do đó, \( DC = 8 + 6 = 14 \) cm. - Ta cũng biết rằng \( OO' \) là khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn, nhưng không có thông tin cụ thể về khoảng cách này từ đề bài. - Do đó, không thể kết luận \( OO' = \frac{DC}{2} \). d. \( BC = BD \) - Vì C, B, D thẳng hàng và \( \angle ABC = 90^\circ \) và \( \angle ABD = 90^\circ \), ta có \( BC = BD \) (do tính chất của tam giác vuông cân). Tóm lại, các khẳng định đúng là: a. \( OO' \perp AB \) b. C, B, D thẳng hàng. d. \( BC = BD \) Đáp án: a, b, d. Câu 10: Để thực hiện phép tính $\sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} - 5\sqrt{\frac{1}{5}}$, chúng ta sẽ làm từng bước như sau: Bước 1: Tính $\sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2}$ Ta biết rằng $\sqrt{a^2} = |a|$. Do đó: \[ \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1| \] Vì $\sqrt{5} \approx 2.236$, nên $\sqrt{5} - 1 > 0$. Do đó: \[ |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1 \] Bước 2: Tính $5\sqrt{\frac{1}{5}}$ Ta biết rằng $\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Do đó: \[ 5\sqrt{\frac{1}{5}} = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} \] Rút gọn phân số này: \[ \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{5} = \sqrt{5} \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để tính tổng \[ \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} - 5\sqrt{\frac{1}{5}} = (\sqrt{5} - 1) - \sqrt{5} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức \[ (\sqrt{5} - 1) - \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} = -1 \] Vậy kết quả của phép tính là: \[ \boxed{-1} \] Câu 11: Câu 12: Bất phương trình $-x - 2 > 4$ 1. Ta cộng 2 vào cả hai vế của bất phương trình: \[ -x - 2 + 2 > 4 + 2 \] \[ -x > 6 \] 2. Nhân cả hai vế với -1 (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[ x < -6 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < -6$. Câu 13: Xét các hệ phương trình: A. $\left\{\begin{array}{l} x^2 - 2y = 0 \\ 2x + 3y^2 = 1 \end{array}\right.$ B. $\left\{\begin{array}{l} x^2 - 2y = 0 \\ 2x + 3y = 1 \end{array}\right.$ C. $\left\{\begin{array}{l} x - 2y^2 = 0 \\ 2x + 3y = 1 \end{array}\right.$ D. $\left\{\begin{array}{l} x - 2y = 0 \\ 2x + 3y = 1 \end{array}\right.$ Ta sẽ giải từng hệ phương trình: A. 1. Từ phương trình đầu tiên: $x^2 = 2y$ 2. Thay vào phương trình thứ hai: $2x + 3y^2 = 1$ 3. Thay $y = \frac{x^2}{2}$ vào phương trình thứ hai: \[ 2x + 3\left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = 1 \] \[ 2x + 3\left(\frac{x^4}{4}\right) = 1 \] \[ 2x + \frac{3x^4}{4} = 1 \] \[ 8x + 3x^4 = 4 \] \[ 3x^4 + 8x - 4 = 0 \] Giải phương trình này phức tạp và không dễ dàng tìm nghiệm. B. 1. Từ phương trình đầu tiên: $x^2 = 2y$ 2. Thay vào phương trình thứ hai: $2x + 3y = 1$ 3. Thay $y = \frac{x^2}{2}$ vào phương trình thứ hai: \[ 2x + 3\left(\frac{x^2}{2}\right) = 1 \] \[ 2x + \frac{3x^2}{2} = 1 \] \[ 4x + 3x^2 = 2 \] \[ 3x^2 + 4x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{3} \] Vậy nghiệm là $(x, y) = \left(\frac{-2 + \sqrt{10}}{3}, \frac{(-2 + \sqrt{10})^2}{6}\right)$ và $(x, y) = \left(\frac{-2 - \sqrt{10}}{3}, \frac{(-2 - \sqrt{10})^2}{6}\right)$. C. 1. Từ phương trình đầu tiên: $x = 2y^2$ 2. Thay vào phương trình thứ hai: $2x + 3y = 1$ 3. Thay $x = 2y^2$ vào phương trình thứ hai: \[ 2(2y^2) + 3y = 1 \] \[ 4y^2 + 3y = 1 \] \[ 4y^2 + 3y - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8} = \frac{-3 \pm 5}{8} \] Vậy nghiệm là $y = \frac{1}{4}$ và $y = -1$. Thay lại ta có $(x, y) = \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right)$ và $(x, y) = (2, -1)$. D. 1. Từ phương trình đầu tiên: $x = 2y$ 2. Thay vào phương trình thứ hai: $2x + 3y = 1$ 3. Thay $x = 2y$ vào phương trình thứ hai: \[ 2(2y) + 3y = 1 \] \[ 4y + 3y = 1 \] \[ 7y = 1 \] \[ y = \frac{1}{7} \] Thay lại ta có $x = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$. Vậy nghiệm là $(x, y) = \left(\frac{2}{7}, \frac{1}{7}\right)$. Đáp án: A. $(x, y) = \text{khó tìm nghiệm}$ B. $(x, y) = \left(\frac{-2 + \sqrt{10}}{3}, \frac{(-2 + \sqrt{10})^2}{6}\right)$ và $(x, y) = \left(\frac{-2 - \sqrt{10}}{3}, \frac{(-2 - \sqrt{10})^2}{6}\right)$ C. $(x, y) = \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right)$ và $(x, y) = (2, -1)$ D. $(x, y) = \left(\frac{2}{7}, \frac{1}{7}\right)$