giải nhanh hộ mình với ạ

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và vectơ cần thiết. 2. Tìm góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAC). Bước 1: Xác định các điểm và vectơ cần thiết - Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với \( AB = BC = a \) và \( AD = 2a \). - \( SA \perp (ABCD) \) và \( SA = a \). Ta có thể xác định các điểm như sau: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(a, 0, 0) \) - \( C(a, a, 0) \) - \( D(0, 2a, 0) \) - \( S(0, 0, a) \) Bước 2: Tìm góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAC) a) Xác định vectơ BD và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) - Vectơ \( \overrightarrow{BD} = D - B = (-a, 2a, 0) \) - Mặt phẳng (SAC) có các điểm S, A, C. Ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Vectơ \( \overrightarrow{SA} = A - S = (0, 0, -a) \) Vectơ \( \overrightarrow{AC} = C - A = (a, a, 0) \) Vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \) của mặt phẳng (SAC) là tích vector của \( \overrightarrow{SA} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & -a \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-a) \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-a) \cdot a) + \mathbf{k}(0 \cdot a - 0 \cdot a) = \mathbf{i}(a^2) - \mathbf{j}(a^2) + \mathbf{k}(0) = (a^2, -a^2, 0) \] b) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAC) Góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAC) là góc giữa vectơ \( \overrightarrow{BD} \) và vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \). Gọi góc này là \( \theta \). \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{n}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n} = (-a, 2a, 0) \cdot (a^2, -a^2, 0) = -a \cdot a^2 + 2a \cdot (-a^2) + 0 = -a^3 - 2a^3 = -3a^3 \] Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-a)^2 + (2a)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(a^2)^2 + (-a^2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^4 + a^4} = \sqrt{2a^4} = a^2\sqrt{2} \] Do đó: \[ \cos(\theta) = \frac{-3a^3}{a\sqrt{5} \cdot a^2\sqrt{2}} = \frac{-3a^3}{a^3\sqrt{10}} = \frac{-3}{\sqrt{10}} \] \[ \sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{-3}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \] Vậy, giá trị của \( \sin \) góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAC) là: \[ \boxed{\frac{\sqrt{10}}{10}} \]