Giup mik vs

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số hạng đầu tiên và tổng của cấp số nhân. 2. Tìm công bội của cấp số nhân. 3. Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên và tổng của cấp số nhân. - Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \( u_1 = 3 \). - Tổng của 4 số hạng đầu tiên là \( S_1 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 45 \). Bước 2: Tìm công bội của cấp số nhân. - Gọi công bội của cấp số nhân là \( q \). - Ta có: \( u_2 = u_1 \cdot q = 3q \). - \( u_3 = u_2 \cdot q = 3q^2 \). - \( u_4 = u_3 \cdot q = 3q^3 \). Do đó: \[ S_1 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 3 + 3q + 3q^2 + 3q^3 = 45 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ 1 + q + q^2 + q^3 = 15 \] Bước 3: Giải phương trình để tìm \( q \). \[ q^3 + q^2 + q + 1 = 15 \] \[ q^3 + q^2 + q - 14 = 0 \] Ta thử các giá trị \( q \): - Nếu \( q = 2 \): \[ 2^3 + 2^2 + 2 - 14 = 8 + 4 + 2 - 14 = 0 \] Vậy \( q = 2 \) là nghiệm của phương trình. Bước 4: Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. - Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Áp dụng vào bài toán: \[ S_{tb} = 3 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 3 \cdot (2^n - 1) \] Vậy tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ S_{tb} = 3 \cdot (2^n - 1) \] Câu 2. Giá của chiếc ô tô sau mỗi năm giảm 4% so với giá ban đầu. Ta sẽ tính giá của chiếc ô tô sau 6 năm bằng cách áp dụng công thức giảm dần theo tỷ lệ phần trăm. Giá của chiếc ô tô sau 1 năm là: \[ 900 \times (1 - 0.04) = 900 \times 0.96 \] Giá của chiếc ô tô sau 2 năm là: \[ 900 \times 0.96 \times 0.96 = 900 \times (0.96)^2 \] Tương tự, giá của chiếc ô tô sau 6 năm là: \[ 900 \times (0.96)^6 \] Bây giờ, ta sẽ tính giá trị cụ thể: \[ (0.96)^6 \approx 0.7923 \] Do đó, giá của chiếc ô tô sau 6 năm là: \[ 900 \times 0.7923 \approx 713.07 \text{ triệu đồng} \] Vậy sau 6 năm, anh Dũng sẽ mua chiếc ô tô đó với giá khoảng 713.07 triệu đồng. Câu 3. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}}{x^2-3x+2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng không xác định: $\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}}{x^2-3x+2} = \frac{\sqrt[3]{9}-\sqrt{5}}{0}$ Dạng này là dạng không xác định $\frac{0}{0}$. Bước 2: Nhân lượng liên hợp để loại bỏ căn thức ở tử số: $\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}}{(x-1)(x-2)}$ Nhân lượng liên hợp ở tử số: $\lim_{x\rightarrow2}\frac{(\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3})(\sqrt[3]{(x+7)^2}+\sqrt[3]{(x+7)(x+3)}+\sqrt{x+3})}{(x-1)(x-2)(\sqrt[3]{(x+7)^2}+\sqrt[3]{(x+7)(x+3)}+\sqrt{x+3})}$ Bước 3: Rút gọn biểu thức: $\lim_{x\rightarrow2}\frac{(x+7)-(x+3)}{(x-1)(x-2)(\sqrt[3]{(x+7)^2}+\sqrt[3]{(x+7)(x+3)}+\sqrt{x+3})}$ $= \lim_{x\rightarrow2}\frac{4}{(x-1)(x-2)(\sqrt[3]{(x+7)^2}+\sqrt[3]{(x+7)(x+3)}+\sqrt{x+3})}$ Bước 4: Thay $x = 2$ vào biểu thức đã rút gọn: $= \frac{4}{(2-1)(2-2)(\sqrt[3]{(2+7)^2}+\sqrt[3]{(2+7)(2+3)}+\sqrt{2+3})}$ $= \frac{4}{(1)(0)(\sqrt[3]{9^2}+\sqrt[3]{9\times5}+\sqrt{5})}$ $= \frac{4}{0}$ Do đó, giới hạn không tồn tại vì mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Tuy nhiên, nếu giả sử giới hạn tồn tại và bằng $\frac{a}{b}$, ta có thể viết: $\frac{a}{b} = \text{không xác định}$ Vì vậy, ta không thể xác định giá trị của $a$ và $b$. Do đó, $-106a + b$ cũng không xác định. Đáp số: Không xác định Câu 4. Để tính giới hạn của dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{(5n^2-2n+2)(n-1)^{305}}{(n+5)^{805}(3n-2)^3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định bậc của tử và mẫu. - Tử số: $(5n^2 - 2n + 2)(n - 1)^{305}$ - Bậc của $5n^2 - 2n + 2$ là 2. - Bậc của $(n - 1)^{305}$ là 305. - Tổng bậc của tử số là $2 + 305 = 307$. - Mẫu số: $(n + 5)^{805}(3n - 2)^3$ - Bậc của $(n + 5)^{805}$ là 805. - Bậc của $(3n - 2)^3$ là 3. - Tổng bậc của mẫu số là $805 + 3 = 808$. Bước 2: So sánh bậc của tử và mẫu. - Bậc của tử số là 307. - Bậc của mẫu số là 808. Vì bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số, nên giới hạn của dãy số $(u_n)$ khi $n$ tiến đến vô cùng sẽ là 0. Bước 3: Kết luận. \[ \lim_{n \to \infty} u_n = 0 \] Đáp số: $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$. Câu 5. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SB và SC sao cho \( MS = 2MB \) và \( NS = NC \). Ta cần tìm tỉ số \(\frac{SK}{SD}\) khi giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SAD) cắt SD tại K. 1. Xác định vị trí của các điểm M và N: - Vì \( MS = 2MB \), ta có \( \frac{MS}{MB} = 2 \). Do đó, M chia SB thành tỷ số 2:1. - Vì \( NS = NC \), ta có \( \frac{NS}{NC} = 1 \). Do đó, N là trung điểm của SC. 2. Xét giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SAD): - Mặt phẳng (AMN) đi qua các điểm A, M, N. - Mặt phẳng (SAD) đi qua các điểm S, A, D. - Giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là đường thẳng đi qua điểm S và cắt SD tại K. 3. Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SBD: - Xét tam giác SBD với đường thẳng AMN cắt các cạnh SB, BD, SD lần lượt tại M, P (giao điểm của AMN và BD), K. - Theo định lý Menelaus, ta có: \[ \frac{MS}{MB} \cdot \frac{BP}{PD} \cdot \frac{DK}{KS} = 1 \] - Biết rằng \( \frac{MS}{MB} = 2 \) và \( \frac{BP}{PD} = 1 \) (vì N là trung điểm của SC và BD là đường chéo của hình bình hành ABCD). 4. Tính tỉ số \(\frac{DK}{KS}\): - Thay vào công thức Menelaus: \[ 2 \cdot 1 \cdot \frac{DK}{KS} = 1 \implies \frac{DK}{KS} = \frac{1}{2} \] 5. Tìm tỉ số \(\frac{SK}{SD}\): - Ta có \( \frac{DK}{KS} = \frac{1}{2} \), suy ra \( DK = \frac{1}{3}SD \) và \( KS = \frac{2}{3}SD \). - Vậy tỉ số \(\frac{SK}{SD} = \frac{2}{3}\). Đáp số: \(\frac{SK}{SD} = \frac{2}{3}\). Câu 1. Để hàm số \( f(x) \) liên tục trên \(\mathbb{R}\), ta cần kiểm tra tính liên tục tại điểm \( x = 0 \). 1. Tính giới hạn khi \( x \to 0^- \): \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (3x + a - 1) = 3(0) + a - 1 = a - 1 \] 2. Tính giới hạn khi \( x \to 0^+ \): \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + 2x} + 1}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(1 + 2x) - 1}{x (\sqrt{1 + 2x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x}{x (\sqrt{1 + 2x} + 1)} \] Rút gọn: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{2}{2} = 1 \] 3. Giá trị của hàm số tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 3(0) + a - 1 = a - 1 \] Để hàm số liên tục tại \( x = 0 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \] Do đó: \[ a - 1 = 1 \implies a = 2 \] Vậy giá trị của \( a \) để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) là \( a = 2 \). Câu 2: a) $\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2}$ Điều kiện xác định: $x \geq 0$. Vì vậy, giới hạn này không tồn tại vì $x$ không thể tiến đến $-1$. b) $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - x} - \sqrt{4x^2 + 1})$ Nhân lượng liên hợp: $\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 - x} - \sqrt{4x^2 + 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 - x} + \sqrt{4x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 - x} + \sqrt{4x^2 + 1}}$ $= \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 - x) - (4x^2 + 1)}{\sqrt{x^2 - x} + \sqrt{4x^2 + 1}}$ $= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^2 - x - 1}{\sqrt{x^2 - x} + \sqrt{4x^2 + 1}}$ Chia cả tử và mẫu cho $x^2$: $= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}$ $= \frac{-3 - 0 - 0}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{4 + 0}} = \frac{-3}{1 + 2} = -1$ c) $\lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 + 5x})$ Nhân lượng liên hợp: $\lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 + 5x}) \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 5x}}{x + \sqrt{x^2 + 5x}}$ $= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - (x^2 + 5x)}{x + \sqrt{x^2 + 5x}}$ $= \lim_{x \to +\infty} \frac{-5x}{x + \sqrt{x^2 + 5x}}$ Chia cả tử và mẫu cho $x$: $= \lim_{x \to +\infty} \frac{-5}{1 + \sqrt{1 + \frac{5}{x}}}$ $= \frac{-5}{1 + \sqrt{1 + 0}} = \frac{-5}{2}$ d) $\lim_{x \to -\infty} \frac{(-x^2 + 1)^3 (1 - 2x)^{94}}{2x^{100} + 3}$ Chia cả tử và mẫu cho $x^{100}$: $= \lim_{x \to -\infty} \frac{\left( \frac{-x^2 + 1}{x^2} \right)^3 \left( \frac{1 - 2x}{x} \right)^{94}}{\frac{2x^{100} + 3}{x^{100}}}$ $= \lim_{x \to -\infty} \frac{\left( -1 + \frac{1}{x^2} \right)^3 \left( \frac{1}{x} - 2 \right)^{94}}{2 + \frac{3}{x^{100}}}$ $= \frac{(-1 + 0)^3 (-2)^{94}}{2 + 0} = \frac{-1 \cdot 2^{94}}{2} = -2^{93}$ e) $\lim_{x \to 1} \frac{x - 15}{x - 2}$ Thay $x = 1$ vào biểu thức: $= \frac{1 - 15}{1 - 2} = \frac{-14}{-1} = 14$ f) $\lim_{x \to 2} (2\sqrt{1 + x} - \sqrt{8 - x})$ Thay $x = 2$ vào biểu thức: $= 2\sqrt{1 + 2} - \sqrt{8 - 2} = 2\sqrt{3} - \sqrt{6}$ Đáp số: a) Giới hạn không tồn tại. b) $-1$ c) $\frac{-5}{2}$ d) $-2^{93}$ e) $14$ f) $2\sqrt{3} - \sqrt{6}$ Câu 3: a) Ta có: $AB\parallel CD$ nên $(SAB)\cap (SCD)=SB.$ b) Ta có: $AD=3AM$ nên $\frac{DM}{AD}=\frac{1}{3}.$ Mặt khác, ta có: $\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3},$ mà $AB=CD$ nên $\frac{AN}{CD}=\frac{1}{3}.$ Từ đó ta có: $\frac{DM}{AD}=\frac{AN}{CD}.$ Ta có: $AD\parallel CD$ nên tứ giác ANDM là hình bình hành. Do đó $MN\parallel AD.$ Mà $AD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$ nên $MN\parallel (SCD).$ Ta có: $NG\parallel SA,$ mà $SA\subset (SAC)$ và $NG\not\subset (SAC)$ nên $NG\parallel (SAC).$ Câu 4: a) Ta có E, F lần lượt là trung điểm của SA, AD nên EF // SD. Mà SD ⊂ (SCD) nên EF // (SCD). Lại có B không thuộc (SCD) nên (EFB) // (SCD). Ta có I là trung điểm của SD và F là trung điểm của AD nên FI // SA. Mà SA ⊂ (SAB) nên FI // (SAB). Mặt khác, C không thuộc (SAB) nên (CFI) // (SAB). Do đó, CI // (EFB). b) Gọi giao tuyến của (SBC) và (SAD) là d. Ta có d ⊂ (SAD) và d ⊂ (SBC). Mà FI ⊂ (SAD) và FI ⊂ (SBC) nên FI // d. Gọi K là giao điểm của FI và d thì K ∈ d và K ∈ (SBC). Do đó K ∈ (SBC) ∩ (SAD) = d. Ta có FI // d nên FI // SK. Mặt khác, FI // SA nên SK // SA. Do đó, (SBF) // (KCD).