lm hộ tớ vs

Câu 1: Để tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số quý trong 3 năm: - Một năm có 4 quý. - Vậy 3 năm có \( 3 \times 4 = 12 \) quý. 2. Xác định mức lương của mỗi quý: - Mức lương của quý đầu tiên là 40 triệu đồng. - Từ quý thứ hai trở đi, mức lương tăng thêm 5 triệu đồng mỗi quý. 3. Tính tổng số tiền lương: - Mức lương của quý thứ nhất: 40 triệu đồng. - Mức lương của quý thứ hai: 40 + 5 = 45 triệu đồng. - Mức lương của quý thứ ba: 45 + 5 = 50 triệu đồng. - ... - Mức lương của quý thứ mười hai: 40 + (11 × 5) = 95 triệu đồng. 4. Dùng công thức tính tổng của dãy số: - Đây là dãy số cộng với khoảng cách là 5 triệu đồng. - Số lượng các số hạng trong dãy là 12. - Tổng số tiền lương = \(\frac{(Số lượng các số hạng) \times (Số hạng đầu tiên + Số hạng cuối cùng)}{2}\) - Tổng số tiền lương = \(\frac{12 \times (40 + 95)}{2} = \frac{12 \times 135}{2} = 810\) triệu đồng. Vậy tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty là 810 triệu đồng. Câu 2: Để tính $\cos \alpha$, ta sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Biết rằng $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, ta thay vào công thức trên: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \] Do đó: \[ \cos \alpha = \pm \frac{4}{5} \] Vì $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, góc $\alpha$ nằm trong khoảng ba phần tư, nơi mà $\cos \alpha$ là âm. Vậy: \[ \cos \alpha = -\frac{4}{5} \] Đáp số: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ Câu 3: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 = 2 \), ta cần đảm bảo rằng: 1. \( f(2) \) tồn tại. 2. Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 tồn tại. 3. Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 bằng với giá trị của \( f(2) \). Giả sử hàm số \( f(x) \) được định nghĩa như sau: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & \text{nếu } x \neq 2 \\ m, & \text{nếu } x = 2 \end{cases} \] Bước 1: Tính \( f(2) \) Theo định nghĩa của hàm số, khi \( x = 2 \), ta có \( f(2) = m \). Bước 2: Tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 Ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 từ cả hai phía: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \] Chúng ta nhận thấy rằng \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \). Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \] Bước 3: Đảm bảo rằng giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 bằng với giá trị của \( f(2) \) Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 2 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \] Do đó: \[ 4 = m \] Kết luận: Hàm số \( f(x) \) sẽ liên tục tại điểm \( x_0 = 2 \) nếu \( m = 4 \). Đáp số: \( m = 4 \) Câu 4: Để tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung điểm của mỗi khoảng cân nặng: - Khoảng [40,5; 45,5): Trung điểm là $\frac{40,5 + 45,5}{2} = 43$ - Khoảng [45,5; 50,5): Trung điểm là $\frac{45,5 + 50,5}{2} = 48$ - Khoảng (50,5; 55,5): Trung điểm là $\frac{50,5 + 55,5}{2} = 53$ - Khoảng (55,5; 60,5): Trung điểm là $\frac{55,5 + 60,5}{2} = 58$ - Khoảng [60,5; 65,5]: Trung điểm là $\frac{60,5 + 65,5}{2} = 63$ 2. Nhân số lượng học sinh trong mỗi khoảng với trung điểm tương ứng: - Khoảng [40,5; 45,5): $10 \times 43 = 430$ - Khoảng [45,5; 50,5): $8 \times 48 = 384$ - Khoảng (50,5; 55,5): $16 \times 53 = 848$ - Khoảng (55,5; 60,5): $4 \times 58 = 232$ - Khoảng [60,5; 65,5]: $2 \times 63 = 126$ 3. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh là $10 + 8 + 16 + 4 + 2 = 40$ 4. Tính tổng các giá trị nhân với số lượng học sinh: Tổng các giá trị là $430 + 384 + 848 + 232 + 126 = 2020$ 5. Tính cân nặng trung bình: Cân nặng trung bình là $\frac{2020}{40} = 50,5$ Vậy cân nặng trung bình của học sinh lớp 11 đó là 50,5 kg. Câu 5: Trước tiên, ta sẽ vẽ hình chóp S.ABCD và các điểm I, K, M, F như sau: - I là trung điểm của BC. - K là trung điểm của CD. - M là trung điểm của SB. - F là giao điểm của DM và (SIK). Ta cần tính tỉ số $\frac{MF}{MD}$. Bước 1: Xác định vị trí của các điểm. - Vì I là trung điểm của BC và K là trung điểm của CD, nên đoạn thẳng IK song song với BD và có độ dài bằng nửa BD. - M là trung điểm của SB, do đó SM = MB. Bước 2: Xét mặt phẳng (SIK). - Mặt phẳng (SIK) đi qua các điểm S, I và K. - Vì I và K là trung điểm của BC và CD, nên đoạn thẳng IK song song với BD và có độ dài bằng nửa BD. Bước 3: Xét giao điểm F của DM và (SIK). - Ta thấy rằng đoạn thẳng DM cắt mặt phẳng (SIK) tại điểm F. - Vì M là trung điểm của SB, nên đoạn thẳng DM sẽ chia đôi đoạn thẳng SB. Bước 4: Áp dụng định lý Thales trong tam giác SBD. - Trong tam giác SBD, đoạn thẳng IK song song với BD và có độ dài bằng nửa BD. - Do đó, đoạn thẳng MF sẽ bằng nửa đoạn thẳng MD. Bước 5: Tính tỉ số $\frac{MF}{MD}$. - Vì MF = $\frac{1}{2}$ MD, nên tỉ số $\frac{MF}{MD}$ = $\frac{1}{2}$. Vậy tỉ số $\frac{MF}{MD}$ là $\frac{1}{2}$. Câu 1: a. Với $m=5$, phương trình trở thành: \[ (\sqrt{2}\cos x - 1)(\sin 2x - 5) = 0 \] Ta xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: $\sqrt{2}\cos x - 1 = 0$ \[ \sqrt{2}\cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Giải phương trình $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] - Trường hợp 2: $\sin 2x - 5 = 0$ \[ \sin 2x = 5 \] Phương trình này vô nghiệm vì $\sin 2x$ chỉ có thể nhận giá trị trong khoảng $[-1, 1]$. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] b. Để phương trình có đúng một nghiệm thuộc $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$, ta xét lại phương trình: \[ (\sqrt{2}\cos x - 1)(\sin 2x - m) = 0 \] Ta xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: $\sqrt{2}\cos x - 1 = 0$ \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Giải phương trình $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Trong khoảng $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$, ta có các nghiệm: \[ x = \frac{\pi}{4}, \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \quad (\text{loại vì } \frac{7\pi}{4} > \frac{3\pi}{4}) \] Vậy trong khoảng $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$, phương trình $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ có nghiệm duy nhất là $x = \frac{\pi}{4}$. - Trường hợp 2: $\sin 2x - m = 0$ \[ \sin 2x = m \] Để phương trình có đúng một nghiệm thuộc $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$, ta cần xem xét giá trị của $m$. Ta có: \[ -\frac{\pi}{2} < 2x \leq \frac{3\pi}{2} \] Do đó, $\sin 2x$ có thể nhận mọi giá trị trong khoảng $[-1, 1]$. Để phương trình $\sin 2x = m$ có đúng một nghiệm, $m$ phải nằm ở biên của khoảng $[-1, 1]$ và không trùng với giá trị của $\sin 2x$ tại các điểm biên của khoảng $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$. Từ đó, ta thấy rằng $m = 1$ hoặc $m = -1$ sẽ đảm bảo phương trình có đúng một nghiệm trong khoảng $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$. Vậy, để phương trình có đúng một nghiệm thuộc $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$, giá trị của $m$ là: \[ m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -1 \] Đáp số: a. Nghiệm của phương trình là $x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ b. Giá trị của $m$ là $m = 1$ hoặc $m = -1$ Câu 2: Để tính giới hạn $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + n} - \sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn của mỗi thành phần riêng lẻ. - Ta có $\sqrt{4n^2 + n} = \sqrt{n^2(4 + \frac{1}{n})} = |n|\sqrt{4 + \frac{1}{n}}$. Khi $n \to \infty$, ta có $\sqrt{4n^2 + n} \approx n\sqrt{4} = 2n$. - Ta cũng có $\sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3} = \sqrt[3]{n^3(8 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^3})} = n\sqrt[3]{8 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^3}}$. Khi $n \to \infty$, ta có $\sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3} \approx n\sqrt[3]{8} = 2n$. Bước 2: Tính hiệu của hai giới hạn trên. Ta cần tính: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + n} - \sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3}) \] Nhận thấy rằng cả hai biểu thức đều tiến đến $2n$ khi $n \to \infty$. Do đó, để tìm giới hạn của hiệu này, ta sẽ làm thêm các phép biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Bước 3: Biến đổi biểu thức để dễ dàng tính giới hạn. Ta nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt{4n^2 + n} - \sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3} = \left( \sqrt{4n^2 + n} - 2n \right) - \left( \sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3} - 2n \right) \] Xét từng phần riêng lẻ: \[ \sqrt{4n^2 + n} - 2n = \frac{(4n^2 + n) - 4n^2}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n} = \frac{n}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n} \] Khi $n \to \infty$, ta có: \[ \frac{n}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n} \approx \frac{n}{2n + 2n} = \frac{n}{4n} = \frac{1}{4} \] Còn phần còn lại: \[ \sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3} - 2n = \frac{(8n^3 + 2n^2 + 3) - 8n^3}{(\sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3})^2 + 2n\sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3} + 4n^2} \] Khi $n \to \infty$, ta có: \[ \frac{2n^2 + 3}{(\sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3})^2 + 2n\sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3} + 4n^2} \approx \frac{2n^2}{4n^2 + 4n^2 + 4n^2} = \frac{2n^2}{12n^2} = \frac{1}{6} \] Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + n} - \sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12} \] Vậy: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + n} - \sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 3}) = \frac{1}{12} \]