Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Lấy điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn đó. Tiếp tuyển của nửa đường tròn tại C cắt Ax, By lần lượt ở M và N.

a) Chứng minh 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AOMN vuông.

c) Gọi E là giao điểm của OM và AC; F là giao điểm của ON và BC. C/m: OE.OM = OF.ON

d) Gọi giao điểm của MB và AN là K. CK cắt AB tại H. Chứng minh: K là trung điểm của CH.

Question

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Lấy điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn đó. Tiếp tuyển của nửa đường tròn tại C cắt Ax, By lần lượt ở M và N.

a) Chứng minh 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AOMN vuông.

c) Gọi E là giao điểm của OM và AC; F là giao điểm của ON và BC. C/m: OE.OM = OF.ON

d) Gọi giao điểm của MB và AN là K. CK cắt AB tại H. Chứng minh: K là trung điểm của CH.

Ori · Accepted Answer

a, Vì MA, MC là các tiếp tuyến của (O)
Nên $\displaystyle \widehat{MAO} =\widehat{MCO} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow A,C$ thuộc đường tròn đường kính OM
$\displaystyle \Longrightarrow A,M,C,O$ cùng thuộc 1 đường tròn
b, Vì MA, MC là các tiếp tuyến của (O)$\displaystyle \Longrightarrow MA=MC$
Mà OA=OC
Do đó OM là đường trung trực của AC
Ta có: $\displaystyle OA=OC\Longrightarrow \vartriangle OAC$ cân tại O
Do đó OM là phân giác của $\displaystyle \widehat{AOC}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AOC} =2\widehat{MOC}$
Tương tự có: ON là phân giác của $\displaystyle \widehat{BOC} \Longrightarrow \widehat{BOC} =2\widehat{CON}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{AOC} +\widehat{BOC} =180^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow 2\widehat{MOC} +2\widehat{CON} =180^{0} \Longrightarrow \widehat{MON} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle OMN$ vuông tại O
c, Vì MN là tiếp tuyến của (O) nên $\displaystyle MN\bot OC$
Xét $\displaystyle \vartriangle OMC$ vuông tại C có: $\displaystyle CE\bot OM$
Theo hệ thức lượng có: $\displaystyle OE.OM=OC^{2}$ (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle ONC$ vuông tại C có: $\displaystyle CF\bot ON$
Theo hệ thức lượng có: $\displaystyle OF.ON=OC^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\displaystyle OE.OM=OF.ON$

Timi · Answer

a) Ta có: $ \widehat{MAC} = \widehat{MCA} $ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

$ \widehat{OAC} = \widehat{OCA} $ (OA = OC)

Suy ra: $ \widehat{OAM} = \widehat{OCM} $

Vậy 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có: $ \widehat{OAM} = \widehat{OCM} $ (chứng minh trên)

$ \widehat{OCM} = \widehat{CAM} $ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra: $ \widehat{OAM} = \widehat{CAM} $

$ \widehat{OAM} + \widehat{CAM} = 90^\circ $ (tổng hai góc kề bù)

Suy ra: $ \widehat{OAM} = \widehat{CAM} = 45^\circ $

$ \widehat{OAN} = 90^\circ $ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính)

$ \widehat{OAN} = \widehat{ONM} $ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Suy ra: $ \widehat{ONM} = 90^\circ $

Vậy tứ giác AOMN là hình vuông.

c) Ta có: $ \widehat{AEO} = \widehat{CFO} $ (đối đỉnh)

$ \widehat{OAE} = \widehat{OCF} $ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra: $ \triangle OAE \sim \triangle OCF $ (g.g)

$ \frac{OE}{OF} = \frac{OA}{OC} $

$ \frac{OE}{OF} = \frac{OM}{ON} $ (OA = OB = OM = ON)

$ OE . ON = OF . OM $

d) Ta có: $ \widehat{BAN} = \widehat{BCN} $ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN)

$ \widehat{BCN} = \widehat{CAN} $ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Suy ra: $ \widehat{BAN} = \widehat{CAN} $

$ \widehat{BAN} = \widehat{ABN} $ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Suy ra: $ \widehat{CAN} = \widehat{ABN} $

$ \widehat{ABN} = \widehat{CBN} $ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung CN)

Suy ra: $ \widehat{CAN} = \widehat{CBN} $

$ \widehat{CAN} = \widehat{CNK} $ (so le trong)

Suy ra: $ \widehat{CBN} = \widehat{CNK} $

Suy ra: $ \triangle CNK $ cân tại C

$ \widehat{CNK} = \widehat{CKN} $ (góc đáy của tam giác cân)

$ \widehat{CKN} = \widehat{AKH} $ (đối đỉnh)

$ \widehat{AKH} = \widehat{KAH} $ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AH)

Suy ra: $ \widehat{CKN} = \widehat{KAH} $

Suy ra: $ \triangle AKH $ cân tại K

Suy ra: $ KH = AH $

$ \widehat{AKH} = \widehat{KHA} $ (góc đáy của tam giác cân)

$ \widehat{KHA} = \widehat{CHN} $ (đối đỉnh)

$ \widehat{CHN} = \widehat{CNH} $ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung CN)

Suy ra: $ \widehat{KHA} = \widehat{CNH} $

Suy ra: $ \triangle CNH $ cân tại C

Suy ra: $ CH = NH $

$ \widehat{CNH} = \widehat{NHC} $ (góc đáy của tam giác cân)

$ \widehat{NHC} = \widehat{KHJ} $ (đối đỉnh)

$ \widehat{KHJ} = \widehat{KJH} $ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung JH)

Suy ra: $ \widehat{NHC} = \widehat{KJH} $

Suy ra: $ \triangle KHJ $ cân tại K

Suy ra: $ KJ = JH $

Suy ra: $ K $ là trung điểm của $ CH $.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Lấy điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn đó. Tiếp tuyển của nửa đường tròn tại C cắt Ax, By lần...