Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Lấy điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn đó. Tiếp tuyển của nửa đường tròn tại C cắt Ax, By lần lượt ở M và N.

a) Chứng minh 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AOMN vuông.

c) Gọi E là giao điểm của OM và AC; F là giao điểm của ON và BC. C/m: OE.OM = OF.ON

d) Gọi giao điểm của MB và AN là K. CK cắt AB tại H. Chứng minh: K là trung điểm của CH.

Question

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Lấy điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn đó. Tiếp tuyển của nửa đường tròn tại C cắt Ax, By lần lượt ở M và N.

a) Chứng minh 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AOMN vuông.

c) Gọi E là giao điểm của OM và AC; F là giao điểm của ON và BC. C/m: OE.OM = OF.ON

d) Gọi giao điểm của MB và AN là K. CK cắt AB tại H. Chứng minh: K là trung điểm của CH.

Accepted Answer

a, Vì MA, MC là các tiếp tuyến của (O)
Nên $\displaystyle \widehat{MAO} =\widehat{MCO} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow A,C$ thuộc đường tròn đường kính OM
$\displaystyle \Longrightarrow A,M,C,O$ cùng thuộc 1 đường tròn
b, Vì MA, MC là các tiếp tuyến của (O)$\displaystyle \Longrightarrow MA=MC$
Mà OA=OC
Do đó OM là đường trung trực của AC
Ta có: $\displaystyle OA=OC\Longrightarrow \vartriangle OAC$ cân tại O
Do đó OM là phân giác của $\displaystyle \widehat{AOC}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AOC} =2\widehat{MOC}$
Tương tự có: ON là phân giác của $\displaystyle \widehat{BOC} \Longrightarrow \widehat{BOC} =2\widehat{CON}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{AOC} +\widehat{BOC} =180^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow 2\widehat{MOC} +2\widehat{CON} =180^{0} \Longrightarrow \widehat{MON} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle OMN$ vuông tại O
c, Vì MN là tiếp tuyến của (O) nên $\displaystyle MN\bot OC$
Xét $\displaystyle \vartriangle OMC$ vuông tại C có: $\displaystyle CE\bot OM$
Theo hệ thức lượng có: $\displaystyle OE.OM=OC^{2}$ (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle ONC$ vuông tại C có: $\displaystyle CF\bot ON$
Theo hệ thức lượng có: $\displaystyle OF.ON=OC^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\displaystyle OE.OM=OF.ON$

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Lấy điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn đó. Tiếp tuyển của nửa đường tròn tại C cắt Ax, By lần...