Giúp em với ạ

Câu 4. Cấp số nhân $(u_n)$ với $u_n = 2^n$ có số hạng đầu tiên là $u_1 = 2^1 = 2$ và công bội $q = 2$. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này được tính bằng công thức: \[ S_{10} = u_1 \cdot \frac{q^{10} - 1}{q - 1} \] Thay các giá trị vào công thức: \[ S_{10} = 2 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} \] \[ S_{10} = 2 \cdot (2^{10} - 1) \] \[ S_{10} = 2 \cdot (1024 - 1) \] \[ S_{10} = 2 \cdot 1023 \] \[ S_{10} = 2046 \] Nhận thấy rằng $2046 = 2^{11} - 2$, do đó đáp án đúng là: \[ \boxed{2^{11} - 2} \] Câu 5. Để tìm dãy số có giới hạn bằng 0, ta xét từng dãy số theo phương pháp chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu. A. \( u_n = \frac{n^2 - 2}{5n + 3n^2} \) Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{\frac{n^2}{n^2} - \frac{2}{n^2}}{\frac{5n}{n^2} + \frac{3n^2}{n^2}} = \frac{1 - \frac{2}{n^2}}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 - 0}{0 + 3} = \frac{1}{3} \neq 0 \] B. \( u_n = \frac{n^2 - 2n}{5n + 3n^2} \) Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{\frac{n^2}{n^2} - \frac{2n}{n^2}}{\frac{5n}{n^2} + \frac{3n^2}{n^2}} = \frac{1 - \frac{2}{n}}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 - 0}{0 + 3} = \frac{1}{3} \neq 0 \] C. \( u_n = \frac{1 - 2n}{5n + 3n^2} \) Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{2n}{n^2}}{\frac{5n}{n^2} + \frac{3n^2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{2}{n}}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{0 - 0}{0 + 3} = 0 \] D. \( u_n = \frac{1 - 2n^2}{5n + 3n^2} \) Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{2n^2}{n^2}}{\frac{5n}{n^2} + \frac{3n^2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n^2} - 2}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{0 - 2}{0 + 3} = -\frac{2}{3} \neq 0 \] Như vậy, chỉ có dãy số \( u_n = \frac{1 - 2n}{5n + 3n^2} \) có giới hạn bằng 0. Đáp án: C. \( u_n = \frac{1 - 2n}{5n + 3n^2} \) Câu 6. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow5}\frac{x^2-12x+35}{25-5x}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức $\frac{x^2-12x+35}{25-5x}$ có nghĩa khi mẫu số khác 0, tức là $25 - 5x \neq 0$. - Giải phương trình $25 - 5x = 0$, ta có $x = 5$. Do đó, ĐKXĐ là $x \neq 5$. 2. Rút gọn phân thức: - Ta thấy rằng tử số $x^2 - 12x + 35$ có thể phân tích thành $(x - 5)(x - 7)$. - Mẫu số $25 - 5x$ có thể viết lại thành $-5(x - 5)$. - Vậy phân thức trở thành: \[ \frac{x^2 - 12x + 35}{25 - 5x} = \frac{(x - 5)(x - 7)}{-5(x - 5)} \] - Rút gọn phân thức (với điều kiện $x \neq 5$): \[ \frac{(x - 5)(x - 7)}{-5(x - 5)} = \frac{x - 7}{-5} \] 3. Tính giới hạn: - Giờ ta tính giới hạn của biểu thức đã rút gọn khi $x \rightarrow 5$: \[ \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x - 7}{-5} = \frac{5 - 7}{-5} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} \] Vậy, $\lim_{x\rightarrow5}\frac{x^2-12x+35}{25-5x} = \frac{2}{5}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{2}{5}$. Câu 7. Để tìm $\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{1-2x}{x-1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xét giới hạn của tử số và mẫu số khi \( x \rightarrow 1^+ \): - Tử số: \( 1 - 2x \) Khi \( x \rightarrow 1^+ \), \( 1 - 2x \rightarrow 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1 \). - Mẫu số: \( x - 1 \) Khi \( x \rightarrow 1^+ \), \( x - 1 \rightarrow 1^+ - 1 = 0^+ \) (tức là cận phải của 0). 2. Xác định giới hạn của phân thức: - Khi \( x \rightarrow 1^+ \), tử số \( 1 - 2x \) tiến đến giá trị âm (-1). - Mẫu số \( x - 1 \) tiến đến giá trị dương rất nhỏ (0^+). Do đó, phân thức \(\frac{1-2x}{x-1}\) sẽ tiến đến giá trị âm vô cùng lớn, tức là \(-\infty\). Vậy, \(\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{1-2x}{x-1} = -\infty\). Đáp án đúng là: B. \(-\infty\). Câu 8. Để kiểm tra tính liên tục của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 2 \), ta cần kiểm tra ba điều kiện sau: 1. \( f(2) \) tồn tại. 2. \( \lim_{x \to 2} f(x) \) tồn tại. 3. \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \). Bước 1: Kiểm tra \( f(2) \) Theo định nghĩa của hàm số, ta có: \[ f(2) = 4 \] Bước 2: Tính \( \lim_{x \to 2} f(x) \) Ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to 2 \): \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2} \] Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{(\sqrt{x + 2} - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{x + 2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{x - 2} \] Rút gọn biểu thức: \[ \lim_{x \to 2} (\sqrt{x + 2} + 2) = \sqrt{2 + 2} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4 \] Bước 3: So sánh \( \lim_{x \to 2} f(x) \) và \( f(2) \) Ta đã tìm được: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \] và \[ f(2) = 4 \] Vì \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \), nên hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 2 \). Do đó, mệnh đề đúng là: A. Hàm số liên tục tại \( x = 2 \). Câu 9. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (IJK), ta cần xác định đường thẳng nằm trong cả hai mặt phẳng này. Trước tiên, ta nhận thấy rằng: - Điểm J thuộc cả hai mặt phẳng (ABD) và (IJK) vì J là trung điểm của BC và nằm trên cả hai mặt phẳng. - Mặt phẳng (ABD) bao gồm các điểm A, B, D. - Mặt phẳng (IJK) bao gồm các điểm I, J, K. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. Đường thẳng qua K song song với AB: - K là trung điểm của BD, do đó K không thể tạo thành đường thẳng song song với AB trong cả hai mặt phẳng (ABD) và (IJK). B. Đường thẳng qua I song song với AD: - I là trung điểm của AC, do đó I không thể tạo thành đường thẳng song song với AD trong cả hai mặt phẳng (ABD) và (IJK). C. Đường thẳng qua J song song với AC: - J là trung điểm của BC, do đó J không thể tạo thành đường thẳng song song với AC trong cả hai mặt phẳng (ABD) và (IJK). D. Đường thẳng qua J song song với CD: - J là trung điểm của BC, do đó J có thể tạo thành đường thẳng song song với CD trong cả hai mặt phẳng (ABD) và (IJK). Vì vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (IJK) là đường thẳng qua J song song với CD. Đáp án đúng là: D. đường thẳng qua J song song với CD. Câu 10. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các đường thẳng AB', B'D', và D'A' nằm trên mặt phẳng (AB'D'). Để xác định mặt phẳng song song với (AB'D'), ta cần tìm một mặt phẳng khác cũng chứa các đường thẳng tương ứng và song song với chúng. - Mặt phẳng (AB'D') chứa các đường thẳng AB', B'D', và D'A'. - Mặt phẳng (BDA') chứa các đường thẳng BD, DA', và BA'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng BD song song với đường thẳng B'D' vì chúng là các đường chéo của hai đáy hình hộp. - Đường thẳng DA' song song với đường thẳng D'A' vì chúng là các đường thẳng nối đỉnh của hình hộp với các đỉnh tương ứng của đáy đối diện. - Đường thẳng BA' song song với đường thẳng AB' vì chúng là các đường thẳng nối đỉnh của hình hộp với các đỉnh tương ứng của đáy đối diện. Do đó, mặt phẳng (BDA') song song với mặt phẳng (AB'D'). Vậy đáp án đúng là B. $(BDA')$. Câu 11. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu về phép chiếu song song và các trường hợp có thể xảy ra khi hai đường thẳng chéo nhau được chiếu lên một mặt phẳng. 1. Phép chiếu song song: Khi thực hiện phép chiếu song song từ hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) lên mặt phẳng \((P)\), mỗi điểm trên đường thẳng \(a\) và \(b\) sẽ được chiếu lên một điểm tương ứng trên mặt phẳng \((P)\). Kết quả là hai đường thẳng mới \(a'\) và \(b'\) trên mặt phẳng \((P)\). 2. Các trường hợp có thể xảy ra: - Hai đường thẳng cắt nhau: Nếu hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau và nằm trong cùng một mặt phẳng song song với mặt phẳng \((P)\), thì hình chiếu của chúng có thể là hai đường thẳng cắt nhau trên mặt phẳng \((P)\). - Hai đường thẳng song song: Nếu hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau nhưng nằm trong cùng một mặt phẳng và song song với mặt phẳng \((P)\), thì hình chiếu của chúng có thể là hai đường thẳng song song trên mặt phẳng \((P)\). - Hai đường thẳng trùng nhau: Nếu hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau và nằm trong cùng một mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng \((P)\), thì hình chiếu của chúng có thể là hai đường thẳng trùng nhau trên mặt phẳng \((P)\). 3. Kiểm tra các mệnh đề: - A. a' và b' luôn luôn cắt nhau: Không đúng vì hai đường thẳng \(a'\) và \(b'\) có thể song song hoặc trùng nhau. - B. a' và b' có thể trùng nhau: Đúng vì nếu hai đường thẳng \(a\) và \(b\) nằm trong cùng một mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng \((P)\), thì hình chiếu của chúng có thể trùng nhau. - C. a' và b' không thể song song: Không đúng vì hai đường thẳng \(a'\) và \(b'\) có thể song song. - D. a' và b' có thể cắt nhau hoặc song song với nhau: Không đầy đủ vì hai đường thẳng \(a'\) và \(b'\) cũng có thể trùng nhau. Do đó, mệnh đề đúng là: B. a' và b' có thể trùng nhau. Đáp án: B. Câu 12. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tính giới hạn của hai biểu thức đã cho và sau đó kiểm tra các lựa chọn đã đưa ra. Bước 1: Tính giới hạn của $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 1}{3n^3 - 3n + 3}$ Ta chia cả tử và mẫu cho $n^3$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 1}{3n^3 - 3n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^3} + \frac{1}{n^3}}{\frac{3n^3}{n^3} - \frac{3n}{n^3} + \frac{3}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}}{3 - \frac{3}{n^2} + \frac{3}{n^3}} \] Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{2}{n}$, $\frac{1}{n^3}$, $\frac{3}{n^2}$ và $\frac{3}{n^3}$ đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}}{3 - \frac{3}{n^2} + \frac{3}{n^3}} = \frac{0 + 0}{3 - 0 + 0} = 0 \] Vậy $a = 0$. Bước 2: Tính giới hạn của $\lim_{n \to \infty} \frac{n\sqrt{n^2 + 1}}{\sqrt{4n^4 - n^2 + 3}}$ Ta chia cả tử và mẫu cho $n^2$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n\sqrt{n^2 + 1}}{\sqrt{4n^4 - n^2 + 3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot \sqrt{n^2 + 1}}{\sqrt{4n^4 - n^2 + 3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot \sqrt{n^2(1 + \frac{1}{n^2})}}{\sqrt{n^4(4 - \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^4})}} \] \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}}{n^2 \sqrt{4 - \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^4}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}}{n^2 \sqrt{4 - \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^4}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}}{\sqrt{4 - \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^4}}} \] Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{1}{n^2}$, $\frac{1}{n^2}$ và $\frac{3}{n^4}$ đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}}{\sqrt{4 - \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^4}}} = \frac{\sqrt{1 + 0}}{\sqrt{4 - 0 + 0}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} \] Vậy $b = \frac{1}{2}$. Bước 3: Kiểm tra các lựa chọn (a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0: Sai vì $a = 0$. (b) Giá trị $b$ lớn hơn 0: Đúng vì $b = \frac{1}{2}$. (c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$: Sai vì $\cos x = 0$ có nghiệm là $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. (d) Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d = b$ và $u_1 = a$, thì $u_3 = \frac{3}{2}$: \[ u_3 = u_1 + 2d = 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] Sai vì $u_3 = 1$. Vậy đáp án đúng là (b). Câu 13. (a) Ta có: \[ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} (x - 2) = -2 - 2 = -4 \] Vậy (a) sai. (b) Ta có: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x - 2) = -1 - 2 = -3 \] Vậy (b) đúng. (c) Ta có: \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (\sqrt{x^2 + 1} + m) = \sqrt{(-1)^2 + 1} + m = \sqrt{1 + 1} + m = \sqrt{2} + m \] Vậy (c) đúng. (d) Để hàm số có giới hạn tại \(x_0 = -1\), ta cần: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) \] Từ (b) và (c), ta có: \[ -3 = \sqrt{2} + m \] Giải phương trình này để tìm \(m\): \[ m = -3 - \sqrt{2} \] Vậy (d) sai vì \(m\) phải bằng \(-3 - \sqrt{2}\), không phải \(3 + \sqrt{2}\). Kết luận: Đáp án đúng là (b) và (c).