giúp e vơi ạ

Câu 1: a) Ta có: $f^\prime(x)=3x^2-6x.$ Đúng vì $f^\prime(x)=(x^3-3x^2+1)^\prime=3x^2-6x.$ b) Hàm số $f(x)$ luôn có 2 cực trị. Đúng vì $f^\prime(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=0,x=2.$ c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(a;b)$ sao cho $b-a>2.$ Sai vì $f^\prime(x)< 0$ trên khoảng $(0;2).$ d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[-1;\frac52]$ lớn hơn -3. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[-1;\frac52],$ ta xét: $f(-1)=-3,$ $f(0)=1,$ $f(2)=-3,$ $f(\frac52)=-\frac{19}{8}.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[-1;\frac52]$ là -3. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định vận tốc \( v(t) \) của chất điểm. 2. Xác định gia tốc \( a(t) \) của chất điểm. 3. Xác định khoảng thời gian mà vận tốc của chất điểm tăng hoặc giảm. Bước 1: Xác định vận tốc \( v(t) \) Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của toạ độ \( x(t) \): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t) = 3t^2 - 12t + 9 \] Bước 2: Xác định gia tốc \( a(t) \) Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 9) = 6t - 12 \] Bước 3: Xác định khoảng thời gian mà vận tốc của chất điểm tăng hoặc giảm Vận tốc của chất điểm tăng khi gia tốc \( a(t) > 0 \): \[ 6t - 12 > 0 \] \[ 6t > 12 \] \[ t > 2 \] Vận tốc của chất điểm giảm khi gia tốc \( a(t) < 0 \): \[ 6t - 12 < 0 \] \[ 6t < 12 \] \[ t < 2 \] Từ đó, chúng ta có: - Trong khoảng từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \), vận tốc của chất điểm giảm. - Từ \( t = 2 \) trở đi, vận tốc của chất điểm tăng. Kết luận: a) Hàm \( v(t) = 3t^2 - 12t + 9 \) b) Hàm \( a(t) = 6t - 12 \) c) Trong khoảng từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \), vận tốc của chất điểm giảm. d) Từ \( t = 2 \) trở đi, vận tốc của chất điểm tăng. Câu 3: a) Ta có $\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ b) Ta có $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2, 2 - 3, 0 - 1) = (-3, -1, -1)$ c) Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Ta có $\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - (-1), 1 - 2, -2 - 0) = (2, -1, -2)$ Do đó $\overrightarrow{AD} = (2, -1, -2)$ Suy ra $D = A + \overrightarrow{AD} = (2 + 2, 3 - 1, 1 - 2) = (4, 2, -1)$ d) Để tìm trực tâm H của tam giác ABC, ta cần tìm giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác ABC. Đường cao hạ từ A đến BC sẽ vuông góc với BC, do đó $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$. Tương tự, đường cao hạ từ B đến AC sẽ vuông góc với AC, do đó $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$. Cuối cùng, đường cao hạ từ C đến AB sẽ vuông góc với AB, do đó $\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$. Ta có: $\overrightarrow{BC} = (2, -1, -2)$ $\overrightarrow{AC} = (-1, -2, -3)$ $\overrightarrow{AB} = (-3, -1, -1)$ Giả sử H có tọa độ $(x, y, z)$. Ta có: $\overrightarrow{AH} = (x - 2, y - 3, z - 1)$ $\overrightarrow{BH} = (x + 1, y - 2, z)$ $\overrightarrow{CH} = (x - 1, y - 1, z + 2)$ Áp dụng điều kiện vuông góc: $(x - 2) \cdot 2 + (y - 3) \cdot (-1) + (z - 1) \cdot (-2) = 0$ $(x + 1) \cdot (-1) + (y - 2) \cdot (-2) + z \cdot (-3) = 0$ $(x - 1) \cdot (-3) + (y - 1) \cdot (-1) + (z + 2) \cdot (-1) = 0$ Giải hệ phương trình này để tìm tọa độ của H. Sau khi tìm được tọa độ của H, ta tính khoảng cách OH bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Kết quả cuối cùng là độ dài đoạn OH bằng $\frac{\sqrt{870}}{15}$. Câu 4: a) Cỡ của mẫu số liệu trong bảng trên là $100$. Đúng. Lý do: Tổng số lượng các cây keo được đo trong bảng là $5 + 12 + 25 + 44 + 14 = 100$. b) Tứ phân vị thứ nhất (làm tròn đến hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng trên là: $Q_1 = 8,87$. Đúng. Lý do: Để tìm tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$), chúng ta cần xác định giá trị ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{100}{4} = 25$. - Nhóm có giá trị từ [8.4:8.6) có 5 cây. - Nhóm có giá trị từ [8.6:8.8) có 12 cây. Tổng số lượng cây trong hai nhóm đầu tiên là $5 + 12 = 17$, chưa đủ 25 cây. Do đó, $Q_1$ nằm trong nhóm tiếp theo là [8.8:9.0). Ta sử dụng công thức để tính $Q_1$: \[ Q_1 = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F_{k-1}}{f_k} \right) \times w \] Trong đó: - $L = 8.8$ (giá trị dưới của nhóm chứa $Q_1$). - $\frac{n}{4} = 25$. - $F_{k-1} = 17$ (tổng số lượng cây trước nhóm chứa $Q_1$). - $f_k = 25$ (số lượng cây trong nhóm chứa $Q_1$). - $w = 0.2$ (khoảng rộng của nhóm). Thay vào công thức: \[ Q_1 = 8.8 + \left( \frac{25 - 17}{25} \right) \times 0.2 \] \[ Q_1 = 8.8 + \left( \frac{8}{25} \right) \times 0.2 \] \[ Q_1 = 8.8 + 0.064 \] \[ Q_1 = 8.864 \approx 8.87 \] Vậy $Q_1 = 8.87$. Do đó, cả hai mệnh đề đều đúng.