giúp em vs mn oie sos

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng: - Biết rằng thể tích của chiếc thùng là \(171,5 \, dm^3\). - Đáy thùng là hình vuông cạnh \(x \, dm\), chiều cao \(h \, dm\). 2. Xác định thể tích của thùng: - Thể tích \(V\) của hình hộp chữ nhật là: \[ V = x^2 \cdot h \] - Biết \(V = 171,5 \, dm^3\), nên ta có: \[ x^2 \cdot h = 171,5 \] 3. Diện tích bề mặt bên ngoài của thùng: - Thùng không có nắp, nên diện tích bề mặt bên ngoài bao gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt bên. - Diện tích đáy là \(x^2\). - Diện tích mỗi mặt bên là \(x \cdot h\), vậy diện tích 4 mặt bên là \(4xh\). - Tổng diện tích bề mặt bên ngoài là: \[ S = x^2 + 4xh \] 4. Thay \(h\) từ phương trình thể tích vào diện tích bề mặt: - Từ \(x^2 \cdot h = 171,5\), ta có: \[ h = \frac{171,5}{x^2} \] - Thay vào diện tích bề mặt: \[ S = x^2 + 4x \left(\frac{171,5}{x^2}\right) \] \[ S = x^2 + \frac{686}{x} \] 5. Tìm giá trị \(x\) để diện tích bề mặt \(S\) nhỏ nhất: - Để tìm giá trị \(x\) tối ưu, ta tính đạo hàm của \(S\) theo \(x\) và tìm điểm cực tiểu. - Đạo hàm của \(S\): \[ S' = 2x - \frac{686}{x^2} \] - Đặt \(S' = 0\) để tìm điểm cực tiểu: \[ 2x - \frac{686}{x^2} = 0 \] \[ 2x = \frac{686}{x^2} \] \[ 2x^3 = 686 \] \[ x^3 = 343 \] \[ x = \sqrt[3]{343} = 7 \] 6. Kiểm tra điều kiện để đảm bảo \(x = 7\) là giá trị tối ưu: - Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai \(S''\): \[ S'' = 2 + \frac{1372}{x^3} \] - Tại \(x = 7\): \[ S''(7) = 2 + \frac{1372}{343} > 0 \] - Điều này chứng tỏ \(x = 7\) là điểm cực tiểu, tức là giá trị \(x\) tối ưu để diện tích bề mặt \(S\) nhỏ nhất. Kết luận: Để sử dụng ít nguyên liệu nhất, cạnh đáy \(x\) của chiếc thùng phải là \(7 \, dm\). Câu 2. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4. - SA vuông góc với mặt đáy ABC. - Ta cần tính $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}$. Bước 1: Xác định các vectơ liên quan. - $\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. Bước 2: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}$. \[ \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB}).\overrightarrow{AC} \] Áp dụng tính chất phân phối của tích vô hướng: \[ = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \] Bước 3: Xét từng thành phần. - Vì SA vuông góc với mặt đáy ABC, nên $\overrightarrow{SA}$ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt đáy, bao gồm cả $\overrightarrow{AC}$. Do đó: \[ \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AC} = 0 \] - Tiếp theo, xét $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$. Vì ABC là tam giác đều, góc giữa AB và AC là 60°. Ta có: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 4$ và $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 8 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả. \[ \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC} = 0 + 8 = 8 \] Vậy, $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC} = 8$. Câu 3. Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( M(300;200;10) \) và \( N(600;400;20) \). Vectơ \( \overrightarrow{MN} \) là: \[ \overrightarrow{MN} = (600 - 300, 400 - 200, 20 - 10) = (300, 200, 10) \] Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{MN} \) là: \[ \begin{cases} x = 300 + 300t \\ y = 200 + 200t \\ z = 10 + 10t \end{cases} \] Trong 10 phút, máy bay di chuyển từ điểm \( M \) đến điểm \( N \). Do đó, thay \( t = 1 \) vào phương trình tham số, ta có: \[ \begin{cases} x = 300 + 300 \cdot 1 = 600 \\ y = 200 + 200 \cdot 1 = 400 \\ z = 10 + 10 \cdot 1 = 20 \end{cases} \] Sau 5 phút nữa, máy bay sẽ tiếp tục di chuyển với cùng vận tốc và hướng. Thay \( t = 1 + \frac{5}{10} = 1.5 \) vào phương trình tham số, ta có: \[ \begin{cases} x = 300 + 300 \cdot 1.5 = 300 + 450 = 750 \\ y = 200 + 200 \cdot 1.5 = 200 + 300 = 500 \\ z = 10 + 10 \cdot 1.5 = 10 + 15 = 25 \end{cases} \] Tọa độ của máy bay sau 5 phút nữa là \( (750, 500, 25) \). Bây giờ, ta tính kết quả của phép tính \( \frac{a + b + c}{2025} \): \[ a + b + c = 750 + 500 + 25 = 1275 \] \[ \frac{1275}{2025} \approx 0.63 \] Vậy kết quả của phép tính \( \frac{a + b + c}{2025} \) làm tròn đến hàng phần chục là \( 0.6 \). Đáp số: \( 0.6 \) Câu 4. Để tính $F(-2)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x}$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$. Ta có: \[ f(x) = \frac{x^2 - 2}{x} = x - \frac{2}{x} \] Do đó, nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \int \left( x - \frac{2}{x} \right) dx = \int x \, dx - \int \frac{2}{x} \, dx \] \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - 2 \ln |x| + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(2) = 3$. Thay $x = 2$ vào $F(x)$: \[ F(2) = \frac{2^2}{2} - 2 \ln |2| + C = 3 \] \[ 2 - 2 \ln 2 + C = 3 \] \[ C = 3 - 2 + 2 \ln 2 \] \[ C = 1 + 2 \ln 2 \] Vậy, nguyên hàm cụ thể của $f(x)$ là: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - 2 \ln |x| + 1 + 2 \ln 2 \] Bước 3: Tính $F(-2)$. Thay $x = -2$ vào $F(x)$: \[ F(-2) = \frac{(-2)^2}{2} - 2 \ln |-2| + 1 + 2 \ln 2 \] \[ F(-2) = \frac{4}{2} - 2 \ln 2 + 1 + 2 \ln 2 \] \[ F(-2) = 2 + 1 \] \[ F(-2) = 3 \] Vậy, giá trị của $F(-2)$ là: \[ \boxed{3} \] Câu 5. Điểm \( M \in Oy \) nên tọa độ của \( M \) có dạng \( M(0; y; 0) \). Ta tính \( MA^2 \) và \( MB^2 \): \[ MA^2 = (2 - 0)^2 + (-1 - y)^2 + (3 - 0)^2 = 4 + (y + 1)^2 + 9 = (y + 1)^2 + 13 \] \[ MB^2 = (1 - 0)^2 + (4 - y)^2 + (-2 - 0)^2 = 1 + (y - 4)^2 + 4 = (y - 4)^2 + 5 \] Biểu thức \( T \) được viết lại là: \[ T = MA^2 - 3MB^2 = (y + 1)^2 + 13 - 3((y - 4)^2 + 5) \] \[ T = (y + 1)^2 + 13 - 3(y - 4)^2 - 15 \] \[ T = (y + 1)^2 - 3(y - 4)^2 - 2 \] Phát triển các bình phương: \[ (y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1 \] \[ (y - 4)^2 = y^2 - 8y + 16 \] Thay vào biểu thức \( T \): \[ T = (y^2 + 2y + 1) - 3(y^2 - 8y + 16) - 2 \] \[ T = y^2 + 2y + 1 - 3y^2 + 24y - 48 - 2 \] \[ T = -2y^2 + 26y - 49 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( T \), ta sử dụng đạo hàm: \[ T' = \frac{d}{dy}(-2y^2 + 26y - 49) = -4y + 26 \] Đặt \( T' = 0 \): \[ -4y + 26 = 0 \] \[ y = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} \] Kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định cực đại: \[ T'' = \frac{d}{dy}(-4y + 26) = -4 \] Vì \( T'' < 0 \), \( y = \frac{13}{2} \) là điểm cực đại của \( T \). Vậy tung độ điểm \( M \) là \( \frac{13}{2} \). Đáp số: \( \frac{13}{2} \) Câu 6. Để tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M: - Ta biết rằng $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$. - Gọi tọa độ của điểm M là $(x, y, z)$. - Vectơ $\overrightarrow{MA}$ có tọa độ là $(1-x, 3-y, -3-z)$. - Vectơ $\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là $(3-x, -1-y, -1-z)$. - Theo điều kiện $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$, ta có: \[ (1-x, 3-y, -3-z) = 3(3-x, -1-y, -1-z) \] Điều này dẫn đến ba phương trình: \[ 1 - x = 3(3 - x) \\ 3 - y = 3(-1 - y) \\ -3 - z = 3(-1 - z) \] 2. Giải các phương trình: - Từ phương trình thứ nhất: \[ 1 - x = 9 - 3x \\ 2x = 8 \\ x = 4 \] - Từ phương trình thứ hai: \[ 3 - y = -3 - 3y \\ 2y = -6 \\ y = -3 \] - Từ phương trình thứ ba: \[ -3 - z = -3 - 3z \\ 2z = 0 \\ z = 0 \] 3. Tọa độ của điểm M: - Vậy tọa độ của điểm M là $(4, -3, 0)$. 4. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$: - Vectơ $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ là $(4, -3, 0)$. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$ là: \[ |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] Đáp số: Độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$ là 5.