giúp em vs mn oie sos

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng: - Biết rằng thể tích của chiếc thùng là \(171,5 \, dm^3\). - Đáy thùng là hình vuông cạnh \(x \, dm\), chiều cao \(h \, dm\). 2. Xác định thể tích của thùng: - Thể tích \(V\) của hình hộp chữ nhật là \(V = x^2 \cdot h\). - Ta có phương trình: \(x^2 \cdot h = 171,5\). 3. Diện tích bề mặt bên ngoài của thùng: - Diện tích đáy là \(x^2\). - Diện tích bốn mặt bên là \(4 \cdot x \cdot h\). - Tổng diện tích bề mặt bên ngoài là \(S = x^2 + 4 \cdot x \cdot h\). 4. Thay \(h\) từ phương trình thể tích vào diện tích bề mặt: - Từ \(x^2 \cdot h = 171,5\), ta có \(h = \frac{171,5}{x^2}\). - Thay vào diện tích bề mặt: \[ S = x^2 + 4 \cdot x \cdot \left(\frac{171,5}{x^2}\right) = x^2 + \frac{686}{x} \] 5. Tìm giá trị \(x\) để diện tích bề mặt \(S\) nhỏ nhất: - Xét hàm số \(S(x) = x^2 + \frac{686}{x}\). - Tính đạo hàm của \(S(x)\): \[ S'(x) = 2x - \frac{686}{x^2} \] - Đặt \(S'(x) = 0\) để tìm điểm cực trị: \[ 2x - \frac{686}{x^2} = 0 \implies 2x^3 = 686 \implies x^3 = 343 \implies x = 7 \] 6. Kiểm tra điều kiện để đảm bảo \(x = 7\) là giá trị nhỏ nhất: - Tính đạo hàm thứ hai: \[ S''(x) = 2 + \frac{1372}{x^3} \] - Tại \(x = 7\): \[ S''(7) = 2 + \frac{1372}{343} > 0 \] - Vì \(S''(7) > 0\), nên \(x = 7\) là điểm cực tiểu, tức là giá trị nhỏ nhất. Vậy, để bác thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất, cạnh đáy \(x\) của chiếc thùng phải là \(7 \, dm\). Câu 2. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4. - SA vuông góc với mặt đáy ABC. - Ta cần tính $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}$. Bước 1: Xác định các vectơ liên quan. - $\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. Bước 2: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}$. \[ \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB}).\overrightarrow{AC} \] Áp dụng tính chất phân phối của tích vô hướng: \[ = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \] Bước 3: Xét từng thành phần. - Vì SA vuông góc với mặt đáy ABC, nên $\overrightarrow{SA}$ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt đáy, bao gồm cả $\overrightarrow{AC}$. Do đó: \[ \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AC} = 0 \] - Tiếp theo, xét $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$. Vì ABC là tam giác đều, góc giữa AB và AC là 60°. Ta có: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 4$ và $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 8 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả. \[ \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC} = 0 + 8 = 8 \] Vậy, $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC} = 8$. Câu 3. Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( M(300; 200; 10) \) và \( N(600; 400; 20) \). Vectơ \( \overrightarrow{MN} \) là: \[ \overrightarrow{MN} = (600 - 300, 400 - 200, 20 - 10) = (300, 200, 10) \] Tiếp theo, ta tìm vận tốc của máy bay. Máy bay di chuyển từ điểm \( M \) đến điểm \( N \) trong 10 phút, tức là 0,1667 giờ (10 phút = \(\frac{10}{60}\) giờ). Vận tốc của máy bay là: \[ v = \frac{\text{Khoảng cách}}{\text{Thời gian}} = \frac{\sqrt{(300)^2 + (200)^2 + (10)^2}}{0,1667} \] \[ = \frac{\sqrt{90000 + 40000 + 100}}{0,1667} = \frac{\sqrt{130100}}{0,1667} \approx \frac{360,7}{0,1667} \approx 2163,3 \text{ km/giờ} \] Bây giờ, ta cần tìm tọa độ của máy bay sau 5 phút nữa (tức là thêm 0,0833 giờ). Tọa độ mới của máy bay sau 5 phút nữa sẽ là: \[ (a, b, c) = (300 + 2163,3 \times 0,0833 \times \frac{300}{360,7}, 200 + 2163,3 \times 0,0833 \times \frac{200}{360,7}, 10 + 2163,3 \times 0,0833 \times \frac{10}{360,7}) \] Ta tính từng thành phần: \[ a = 300 + 2163,3 \times 0,0833 \times \frac{300}{360,7} \approx 300 + 150 = 450 \] \[ b = 200 + 2163,3 \times 0,0833 \times \frac{200}{360,7} \approx 200 + 100 = 300 \] \[ c = 10 + 2163,3 \times 0,0833 \times \frac{10}{360,7} \approx 10 + 5 = 15 \] Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút nữa là \( (450, 300, 15) \). Cuối cùng, ta tính kết quả của phép tính: \[ \frac{a + b + c}{2025} = \frac{450 + 300 + 15}{2025} = \frac{765}{2025} \approx 0,378 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần chục là: \[ 0,4 \] Đáp số: 0,4 Câu 4. Để tính $F(-2)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x}$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$. Ta có: \[ f(x) = \frac{x^2 - 2}{x} = x - \frac{2}{x} \] Do đó, nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \int \left( x - \frac{2}{x} \right) dx = \int x \, dx - \int \frac{2}{x} \, dx \] \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - 2 \ln |x| + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(2) = 3$. Thay $x = 2$ vào $F(x)$: \[ F(2) = \frac{2^2}{2} - 2 \ln |2| + C = 3 \] \[ 2 - 2 \ln 2 + C = 3 \] \[ C = 3 - 2 + 2 \ln 2 \] \[ C = 1 + 2 \ln 2 \] Vậy, nguyên hàm cụ thể của $f(x)$ là: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - 2 \ln |x| + 1 + 2 \ln 2 \] Bước 3: Tính $F(-2)$. Thay $x = -2$ vào $F(x)$: \[ F(-2) = \frac{(-2)^2}{2} - 2 \ln |-2| + 1 + 2 \ln 2 \] \[ F(-2) = \frac{4}{2} - 2 \ln 2 + 1 + 2 \ln 2 \] \[ F(-2) = 2 + 1 \] \[ F(-2) = 3 \] Vậy, giá trị của $F(-2)$ là: \[ \boxed{3} \] Câu 5. Điểm \( M \in Oy \) nên tọa độ của \( M \) có dạng \( M(0; y; 0) \). Ta tính \( MA^2 \) và \( MB^2 \): \[ MA^2 = (2 - 0)^2 + (-1 - y)^2 + (3 - 0)^2 = 4 + (y + 1)^2 + 9 = (y + 1)^2 + 13 \] \[ MB^2 = (1 - 0)^2 + (4 - y)^2 + (-2 - 0)^2 = 1 + (y - 4)^2 + 4 = (y - 4)^2 + 5 \] Biểu thức \( T \) được viết lại là: \[ T = MA^2 - 3MB^2 = (y + 1)^2 + 13 - 3((y - 4)^2 + 5) \] \[ T = (y + 1)^2 + 13 - 3(y - 4)^2 - 15 \] \[ T = (y + 1)^2 - 3(y - 4)^2 - 2 \] Phát triển các bình phương: \[ (y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1 \] \[ (y - 4)^2 = y^2 - 8y + 16 \] Thay vào biểu thức \( T \): \[ T = (y^2 + 2y + 1) - 3(y^2 - 8y + 16) - 2 \] \[ T = y^2 + 2y + 1 - 3y^2 + 24y - 48 - 2 \] \[ T = -2y^2 + 26y - 49 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( T \), ta sử dụng đạo hàm: \[ T' = \frac{d}{dy}(-2y^2 + 26y - 49) = -4y + 26 \] Đặt \( T' = 0 \): \[ -4y + 26 = 0 \] \[ y = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} \] Kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định cực đại: \[ T'' = \frac{d}{dy}(-4y + 26) = -4 \] Vì \( T'' < 0 \), \( y = \frac{13}{2} \) là điểm cực đại của \( T \). Vậy tung độ điểm \( M \) là \( \frac{13}{2} \). Đáp số: \( \frac{13}{2} \) Câu 6. Để tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M: - Ta biết rằng $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$. - Gọi tọa độ của điểm M là $(x, y, z)$. - Vectơ $\overrightarrow{MA}$ có tọa độ là $(1-x, 3-y, -3-z)$. - Vectơ $\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là $(3-x, -1-y, -1-z)$. - Theo điều kiện $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$, ta có: \[ (1-x, 3-y, -3-z) = 3(3-x, -1-y, -1-z) \] Điều này dẫn đến ba phương trình: \[ 1 - x = 3(3 - x) \\ 3 - y = 3(-1 - y) \\ -3 - z = 3(-1 - z) \] 2. Giải các phương trình: - Từ phương trình thứ nhất: \[ 1 - x = 9 - 3x \\ 2x = 8 \\ x = 4 \] - Từ phương trình thứ hai: \[ 3 - y = -3 - 3y \\ 2y = -6 \\ y = -3 \] - Từ phương trình thứ ba: \[ -3 - z = -3 - 3z \\ 2z = 0 \\ z = 0 \] 3. Tọa độ của điểm M: - Vậy tọa độ của điểm M là $(4, -3, 0)$. 4. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$: - Vectơ $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ là $(4, -3, 0)$. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$ là: \[ |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] Đáp số: Độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$ là 5.